10. Некоторые признаки существования предела функции

Теорема (о промежуточной функции).

Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями j (x) и y (x), имеющими одинаковый предел А при x ® a, то есть j (x) £ f(x) £ y(x) и

Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

Функция f (x) называется возрастающей на данном множестве X, если f(x1)<f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

Функция f(x) называется убывающей на множестве X, если f() > f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве X.

Если f() £ f() для x1< x2, то f(x) называют неубывающей, а если f(x1) ³ f(x2) для x1< x2 – не возрастающей. И в этом случае функцию называют монотонной.

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

11. Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

12.Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций. Непрерывность функции.

Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р₀(х₀,у₀)- рассматриваемая точка.

Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р₀, если выполняются 3 условия:

1)функция определена в этой точке. f(р₀) = f(x,y);

2)ф-я имеет предел в этой точке.

Lim f(р) = 

pp₀

3)Предел равен значению функции в этой точке:  = f(x₀,y₀);

Lim f(x,y) = f(x₀,y₀);

pp₀

Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.

Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.

Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.

Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.

13. Задачи приводящие к понятию производной.

1) Задачи, приводящие к понятию производной.

1. Пусть материальная точка m движется вдоль направления прямой S, по закону S(t), в момент времени точка находилась в , через время (т.е. в момент времени ) точка переместилась , мгновенной скоростью движения в момент равный , назовём .

2. Пусть имеется плоская кривая l,

Определение: предельное положение секущей при , называется касательной к l в точке , т.е. если между секущей и некоторой кривой стремится к определённому пределу , при расстоянии между , то прямую проходящую через называют касательной.

Задача: Пусть кривая l задаётся функцией y=f(x), допустим, сто в точке к ней существует касательная, причем наклонная(т.е. составляет с положительным направлением оси угол ) ; , -угол наклона касательной, значит

Итак, в разных задачах пришли к решению однотипных задач.

2) Понятия.

Пусть y=f(x),

Определение: производной функции f(x) в точке наз. (вводя ) . формула(1)- физический смысл производной, формула (2)- геометрический.

Производные:

1)

2) Функция имеет смысл. Берём фиксируем , ;

3) ; ;

4) , , ;

5) ; ; ;