27.Основные свойства определенного интеграла

28. Определенный интеграл как функция верхнего предела

Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число

определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x=a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx:

DI(x)=I(x+Dx)–I(x)=

Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение

В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx.

Из сказанного следует формула для производной функции I(x):

29. Формула Ньютона-Лейбница

НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА ФОРМУЛА

- формула, выражающая значение определенного интеграла от заданной функции f по отрезку в виде разности значений на концах отрезка любой первообразной Fэтой функции

Эта формула справедлива, если функция f интегрируема по Лебегу на отрезке [ а, b], в частности если функция f непрерывна на этом отрезке и

30. 31.32.33.Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения и длин дуг кривой.

ТРЕУГОЛЬНИК

	S =	bh	;	S =	abc
		2			2

S =

√

p(p−a)(p−b)(p−c)

S = pr

p = 1/2 (a + b + c)

П АРАЛЛЕЛОГРАММ

S = bh

РОМБ

	S =	Dd
		2

ПРЯМОУГОЛЬНИК

S = ab =

a √

d2 − a2

= b √

d2 − b2

ТРАПЕЦИЯ

S =	a + b	h
	2

КРУГ

S = πr2 =	πd2
	4
C = 2πr = πd

КОЛЬЦО

S = π (R2 − r2)