Учебное пособие 800669

нием времени приближается к началу координат, которое является точкой равновесия; при отрицательном значении ξ колебания в системе нарастают и изображающая точка удаляется от точки равновесия.

Рассмотрим теперь случай, когда интенсивность рассеивания энергии свободного движения настолько мала, что ее можно пренебречь, полагая ξ

=0. При этом в уравнении (4.30) окажется возможным разделить переменные,

преобразовав его к виду

Полученное уравнение (4.41), связывающее значения переменных x и y,

является уравнением фазовой траектории рассматриваемой системы.

Обозначим через А максимальное (амплитудное) значение координаты x. Очевидно, что координата x будет достигать своих экстремальных значе-

ний в моменты, когда скорость ее изменения y равна нулю. Положив в урав-

нении (4.41) y=0, найдем

Учитывая (4.42), уравнение фазовой траектории (4.41) можно предста-

вить в виде

Легко заметить, что уравнение фазовых траекторий (4.43) для различ-

ных значений x0 и y0 описывает семейство эллипсов, форма которых (отно-

шение осей) определяется значением ω0, а размер зависит от значения А (рис. 4.13).

351

Поскольку для заданной системы значение собственной частоты коле-

баний ω0 фиксировано, то эллипсы, соответствующие различным фазовым траекториям системы, оказываются подобными и расположенными концен-

трично. Из уравнения (4.43) видно, что когда A 0, (т. е. x0 0 и y0 0), фа-

зовая траектория вырождается в точку, расположенную в начале координат.

Очевидно, что при положительных значе-

ниях скорости y значение координаты x будет возрастать, а при отрицательных - убывать. По-

этому в процессе движения системы точка а, изо-

бражающая ее состояние, будет перемещаться по

фазовым траекториям в направлении, указанном

Рис. 4.13. Фазовые траектории консервативной системы стрелками на рис. 4.13. Сравнивая рис. 4.13 и рис.

4.12, можно сделать вывод, что вид фазовых тра-

екторий вблизи точки равновесия (начала координат) на них существенно различается. При наличии рассеяния энергии (ξ 0) все фазовые траектории

«навиваются» на точку равновесия (рис. 4.12), в то время как при отсутствии рассеяния энергии (ξ= 0) все фазовые траектории окружают точку равновесия

(рис. 4.13).

Точка равновесия, окруженная фазовыми траекториями, называется

центром, а точка равновесия, на которую «навиваются» фазовые траектории

- фокусом.

Применяя определение Ляпунова к точкам равновесия фазовых портре-

тов, приведенных на рис. 4.12, легко убедиться в том, что при отрицательном рассеянии энергии (рис. 4.12, б) равновесие системы является неустойчивым и точку равновесия можно в этом случае охарактеризовать как неустойчивый фокус в отличие от точки равновесия системы с положительным рассеянием энергии (рис. 4.12, а), которую можно называть устойчивым фокусом.

Кроме указанных типов точек равновесия системы, встречаются также такие точки равновесия, к которым изображающая точка по некоторым тра-

352

екториям приближается, а по другим - удаляется, как это показано на рис. 4.14. Точка равновесия такого типа носит название седла.

Приведенные на рис. 4.14, а,б,в фазовые портреты соответствуют слу-

чаю, когда корни характеристического уравнения системы удовлетворяют условиям (4.36), но имеют разные знаки (в первом случае положительный корень больше, во втором равен, а в третьем - меньше абсолютного значения отрицательного корня).

Рис. 4.13. Фазовые траектории систем с разными знаками корней характеристического уравнения

На всех трех портретах имеются фазовые траектории, являющиеся прямыми с угловыми коэффициентами, равными корням характеристическо-

го уравнения системы. Двигаясь по одной из этих прямых, изображающая точка асимптотически приближается к нулю, а по второй - уходит в беско-

нечность.

4.3.2. Особенности фазовых портретов нелинейных систем

Точки равновесия, являющиеся особыми точками фазовых портретов систем, полностью определяют поведение линейной системы. Для нелиней-

ной системы характер особой точки не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. Нелинейная система может иметь несколь-

ко положений равновесия, а ее фазовые траектории имеют различный вид в разных областях фазовой плоскости.

353

Выше было показано, что при чисто мнимых корнях характеристиче-

ского уравнения консервативная линейная система может совершать перио-

дические движения любой амплитуды и одной строго определенной частоты.

Вся фазовая плоскость такой системы заполнена вложенными друг в друга замкнутыми траекториями. Нелинейная система также может иметь в этом случае особую точку – центр, около которого все фазовые траектории явля-

ются замкнутыми кривыми. Однако, кроме таких фазовых траекторий, для нелинейной системы в этом случае обязательно будут существовать в других областях фазовой плоскости и незамкнутые фазовые траектории. Примером такой системы может служить обычный плоский маятник (математический или физический), уравнение которого имеет вид

y 02 sin y 0

Маятник имеет счетное множество положений равновесия:

y=k ; k=0, 1, 2,… .Здесь за начальное положение маятника принято верхнее.

Линеаризованное уравнение для малых отклонений y от нижних по-

ложений равновесия (нечетных k= 1, ±3,...) запишем в виде y 02 y 0, а

для отклонений от верхних положений равновесия (четных k= 0, ±2,...) - в ви-

де y 02 y 0.

Характеристический полином дифференциального уравнения для ниж-

них положений равновесия D(s) s2 02 имеет пару мнимых корней s1,2 j 0

. Следовательно, этим положениям равновесия отвечает особая точка типа

«центр». Характеристический полином для верхних положений равновесия

D(s) s2 02 имеет действительные корни разных знаков s1,2 0 этим поло-

жениям равновесия отвечает особая точка типа «седло» (рис. 4.14).

Для получения аналитических выражений для фазовых траекторий ма-

ятника запишем его дифференциальное уравнение в форме Коши:

354

dy x, dt

dx 02 sin y dt

Деление второго уравнения на первое дает дифференциальное уравне-

ние первого порядка:

решая которое при различных начальных условиях (y0, x0) получаем выраже-

ния для интегральных кривых на плоскости (y0, x0). уравнение (4.44) допуска-

ет разделение переменных: xdx 02 sin ydy . После интегрирования имеем

Фазовые траектории маятника, не обладающего затуханием, изображе-

ны на рис. 4.15.

Маятник имеет два положения равновесия:

нижнюю точку устойчиво-

го равновесия и верхнюю точку неустойчивого рав-

Рис. 4.14. Фазовый портрет маятника новесия. При отклонении от положения устойчивого равновесия маятник совершает колебания с ам-

плитудой, равной начальному отклонению. Фазовая траектория его является замкнутой кривой, охватывающей точку устойчивого равновесия — центр.

При увеличении начального отклонения до маятник при нулевой скорости

(x= 0) оказывается в верхней точке неустойчивого равновесия — седле. Дви-

жение маятника может происходить из этой точки в любом направлении.

355

Этому движению соответствуют фазовые траектории, отмеченные на рис. 4.15 жирными линиями.

Если маятнику сообщить достаточно большую начальную скорость, то он станет вращаться относительно точки подвеса в соответствующем на-

правлении, а его скорость нигде не будет обращаться в нуль. Фазовые траек-

тории, соответствующие этому случаю движения, расположены вне траекто-

рий, отмеченных на рис. 4.15 жирными линиями. Последние являются осо-

быми фазовыми траекториями - сепаратрисами, проходящими через особые точки типа седел, и служат разграничительными кривыми, разделяющими области с траекториями разных типов. Следовательно, фазовая плоскость ма-

ятника содержит особые точки типа центра и седла и заполнена интеграль-

ными кривыми двух видов: эллипсами внутри сепаратрис и волнообразными кривыми вне сепаратрис.

Однако в задачах практики часто встречаются и такие нелинейные сис-

темы, у которых существуют только отдельные изолированные замкнутые фазовые траектории, называемые предельными циклами. Всякая траектория,

соседняя с замкнутой траекторией, уже не является замкнутой, она либо на-

матывается на предельный цикл, либо сходит с него. Если фазовые траекто-

рии, близкие к предельному циклу, наматываются на него, то предельный цикл устойчив и ему соответствует устойчивое периодическое движение системы. Если при движении по фазовой траектории, близкой к предельному циклу, изображающая точка удаляется от него, то предельный цикл неустой-

чив и соответствующее периодическое движение системы неустойчиво.

На рис. 4.16, а, показан фазовый портрет системы, имеющей особую точку неустойчивого равновесия типа неустойчивого фокуса и один устойчи-

вый предельный цикл. Изображающие точки, находящиеся внутри предель-

ного цикла, движутся по развертывающейся спирали, приближаясь к пре-

дельному циклу. Все изображающие точки, находящиеся вне предельного цикла, с течением времени по свертывающимся спиралям приближаются к

356

предельному циклу. Таким образом, если система не находится в состоянии равновесия, то с течением времени в ней устанавливается периодический ре-

жим, не зависящий от начальных условий. Такие периодические колебания называются автоколебаниями. На рис. 4.16, б показан фазовый портрет не-

линейной системы с одним неустойчивым предельным циклом. Предельный цикл может также быть полуустойчивым в случае, когда фазовые траектории с одной стороны приближаются к нему, а с другой стороны удаляются от не-

го (рис. 4.16, в).

Рис. 4.15. Фазовые портреты нелинейных систем

Неустойчивый и полуустойчивый предельные циклы соответствуют неустойчивым автоколебаниям в системе. Неустойчивые автоколебания практически невозможны, так как при малейшем возмущении изображающая точка сходит с соответствующего предельного цикла и удаляется от него.

Если система имеет несколько предельных циклов, соответствующих одной и той же особой точке, то неустойчивые и устойчивые предельные циклы всегда череду-

ются.

щей точки в начальный момент времени. Если, например, система имеет не-

устойчивый фокус, то ближайший к нему предельный цикл является устой-

чивым (сплошная линия), затем следует неустойчивый (пунктир) и устойчи-

вый циклы, чередуясь, как показано на рис. 4.17. В этом случае при любом возмущении в системе всегда устанавливается один из устойчивых режимов автоколебаний. При этом устанавливается тот режим, предельный цикл кото-

рого на фазовом портрете ближе всего к начальному положению изобра-

жающей точки системы. Такие системы носят название систем с мягким ре-

жимом возбуждения колебаний.

Если система имеет устойчивый фокус, то ближайший к нему предельный цикл является неустойчивым. Затем могут следовать, череду-

ясь, устойчивые и неустойчивые предельные циклы, как показано на рис. 4.18. В этом случае колебания в системе возбуждаются только при достаточно больших начальных отклонениях или

при достаточно большом возмущении, при которых изображающая точка окажется вне первого неустойчивого цикла. При этом система раскачивается до возникновения автоколебательного режима, соответствующего ближай-

шему устойчивому циклу. Если в начальный момент изображающая точка окажется внутри первого неустойчивого цикла, то колебания в системе зату-

хают. Такие системы называются системами с жестким режимом возбужде-

ния колебаний.

Таким образом, фазовая плоскость нелинейной системы может иметь весьма сложную структуру. В окрестности особых точек фазовые траектории могут иметь различный характер. Границами между различными частями фа-

зовой плоскости являются особые фазовые траектории - сепаратрисы.

В заключение приведем некоторые отличия фазового пространства от фазовой плоскости, на которые указывал М.А. Айзерман /76/.

358

1. На фазовой плоскости предельный цикл (см. является не только об-

разом колебательного движения, но и границей области устойчивости для другого предельного цикла или особой точки.

Иногда границей служат и сепаратрисные кривые, но это имеет место в сравнительно редких случаях (главным образом при наличии нескольких особых точек, когда сепаратрисами служат траектории, проходящие через седла).

В фазовом же пространстве никакая кривая (в том числе и предельный цикл) не может быть границей области.

Области ограничиваются сепаратрисными поверхностями, целиком состоящими из фазовых траекторий.

В результате для фазовой плоскости нахождение особых точек, пре-

дельных циклов и определение их устойчивости «в малом» решают обычно задачу и об их устойчивости «в большом». В фазовом же пространстве нужно для этого найти и сепаратрисные поверхности, что является задачей чрезвы-

чайно сложной.

2. В системах второго порядка колебания могут быть только периоди-

ческими.

При более высоких порядках могут сосуществовать колебания разных частот, например

x A sin t B sin t.

Если частоты и Ω не связаны целочисленными соотношениями n +mΩ=k (где n, m и k—целые числа), то сумма этих двух колебаний есть тоже колебание, но непериодическое.

Такое колебание в фазовом пространстве определяет уже не замкнутую траекторию, а траекторию, полностью заполняющую некоторый замкнутый объем (например, тор). Такая траектория может быть устойчивой и неустой-

чивой.

359

4.3.3. Метод точечных преобразований и

многолистная фазовая плоскость

Рассмотренные в предыдущем разделе особенности фазовых портретов нелинейных систем характеризуют, в первую очередь, системы автоматиче-

ского управления с гладкими, дифференцируемыми нелинейностями /58/. В

практике автоматического управления наиболее распространены нелинейно-

сти кусочно-линейного и релейного типов, фазовые траектории которых мо-

гут определяться на различных участках статической характеристики раз-

личными дифференциальными уравнениями. Возникающая при этом задача построения фазового портрета системы управления решается на основе ме-

тода точечных преобразований (отображений), разработанного в применении к нелинейным задачам теории автоматического управления А. А. Андроно-

вым и его школой, и представляющего собой рациональное сочетание метода припасовывания решений и приемов теории отображений /77, 78/.

В основе метода лежат представление и изучение движений динамиче-

ских систем в фазовом пространстве. Метод является точным, поскольку при этом отыскиваются точные, а не приближенные решения дифференциальных уравнений движения. Следует подчеркнуть, что метод позволяет выяснить не только качественную картину всевозможных движений системы, но и полу-

чить полные (и точные) количественные оценки этих движений в общем ви-

де, т. е. задача, один раз решенная методом точечных преобразований, позво-

ляет получить исчерпывающие результаты, которые могут использоваться при исследованиях любых конкретных систем данного типа.

Известные трудности возникают при использовании метода для иссле-

дования систем выше второго порядка. Однако они могут быть преодолены,

если применить существующие приемы и методы, в частности — редуциро-

вание n-мерного фазового пространства в многолистную фазовую поверх-

ность /79/. Это удается выполнить путем неособого линейного преобразова-

360