Учебное пособие 800669

Поэтому нелинейные системы автоматического управления представ-

ляют собой широкую и многообразную область теории, которая приближает нас к более полному пониманию реальных процессов управления.

В учебном пособии рассматривается класс нелинейных систем с одним обладающим нелинейной статической характеристикой элементом и методы их анализа. При этом предполагается, что статические характеристики эле-

ментов являются существенно нелинейными и не могут быть линеаризованы в требуемом диапазоне изменения входной величины, либо представляются функциями, которые не могут быть разложены в ряд Тейлора. Отличитель-

ной чертой этих характеристик является разрывный характер функции, а

также ее производных по входной координате.

4.2.Нелинейные элементы, их свойства и статические характеристики

4.2.1.Характеристики нелинейных элементов

В системах автоматического управления встречаются устройства с са-

мыми различными существенно нелинейными характеристиками. Из всего их многообразия выделим такие, которые могут быть отнесены к типичным не-

линейным характеристикам систем автоматического управления и регулиро-

вания. В первую очередь, это статические нелинейности, т.е. нелинейности,

характеризуемые нелинейностью статических характеристик элементов. Эти характеристики включают в себя зоны нечувствительности, неоднозначности

(или гистерезис), насыщения и др. Рассмотрим кратко основные виды типич-

ных нелинейностей наиболее характерных и часто встречающихся на прак-

тике, и дадим им определения.

Статические характеристики с зоной нечувствительности /58/. Если на вход системы автоматического управления или ее элементов, обладающих нечувствительностью, подается сигнал, то пока величина этого сигнала не превысит некоторого определенного значения, на выходе системы не воз-

никнет никакого ответного сигнала. Это пороговое значение входного сигна321

ла определяет величину нечувствительности данного устройства или систе-

мы.

Пороговые значения входных сигналов разных знаков (разных направ-

лений) определяют величину зоны нечувствительности.

Статическая характеристика с зонами нечувствительности показана на рис. 4.1. Ее уравнение может быть представлено в виде

2

где x – входная, - выходная координаты нелинейного элемента.

Появление зон нечувствительности в характери-

стиках элементов систем автоматического управления может вызываться различными причинами, зависящими от конструктивного выполнения данного устройства, его типа, вида вспомогательной энергии и т.

д. Как природа нечувствительности, так и то, в характеристике какого эле-

мента системы или механизма она имеется, существенно влияют на динами-

ку замкнутой системы. В одних случаях наличие зоны нечувствительности может способствовать устойчивости системы и подавлению в ней автоколе-

баний, в других, наоборот, — вызывать неустойчивость или автоколебания.

теристики. В зонах линейности выходная координата изменяется пропорцио-

нально разности текущего значения входной координаты и ее значения, соот-

ветствующего порогу нечувствительности. Угол наклона этой части характе-

ристики определяет передаточный коэффициент элемента или устройства при отсутствии зоны нечувствительности.

322

По мере увеличения угла наклона характеристика приближается к ре-

лейному виду.

ставляющие в аппроксимированном виде линейные участки, раздвинутые на ширину петли гистерезиса. Для характеристик с зонами неоднозначности обычным является то, что в динамике выходная координата того или иного устройства изменяется по одной ветви при положительном знаке скорости и по другой ветви — при отрицательном знаке скорости ее изменения. Однако могут существовать и частные (менее характерные) виды движения, которым не будут соответствовать изменения выходной координаты по той или иной ветви в зависимости от значения входной координаты и знака ее скорости.

Это обстоятельство указывает на то, что такая характеристика не может быть представлена однозначно в виде функции от входной координаты и скорости ее изменения.

Так же как и в случае зоны линейности, сужение участков пропорцио-

нальности приводит к увеличению угла их наклона, и в пределе такая харак-

теристика переходит в характеристику релейного типа с петлей, которая об-

разуется вертикальными участками характеристики.

В большинстве случаев для зон неоднозначности характерно то, что при нарастании или убывании входной координаты выходная начинает изме-

няться позже, чем в однозначной характеристике. Однако встречаются и та-

кие случаи, в которых эта закономерность не всегда выполняется, и при оп323

ределенных изменениях входного сигнала координата на выходе может из-

меняться даже раньше, чем это происходило бы при однозначной характери-

стике.

Такие зоны часто называют отрицательной петлей гистерезиса или

зоной опережения (рис. 4.2,б). Кроме того, у некоторых устройств автомати-

ки петлевые характеристики не остаются постоянными, например, ширина петли увеличивается по мере роста амплитуды периодически изменяющейся входной координаты.

Соответствующая характеристика определяется как

где k- тангенс угла наклона линейных участков характеристики; - ширина петли.

В неоднозначных характеристиках коэффициент передачи (условный,

для зоны линейности) может иметь меньшее и большее значения (характери-

стики 2 и 3 на рис. 4.2, а) по сравнению с передаточным коэффициентом уст-

ройства без петли (характеристика 1).

Появление зон неоднозначности в характеристиках может вызываться различными причинами и в основном тогда, когда имеется последействие.

Примером могут служить гистерезисные характеристики различных электри-

ческих элементов и устройств автоматики. Поэтому характеристики, имею-

щие зоны неоднозначности - петли, часто называют характеристиками гисте-

резисного типа.

Образование зон неоднозначности в характеристиках механических устройств обусловлено обычно наличием трения в их элементах, зазоров в передачах, гистерезисными свойствами и т. д.

Наличие зон неоднозначности в характеристике системы может вызы-

вать неустойчивые процессы или автоколебания. 324

Статические характеристики с зонами насыщения (рис. 4.3). В зонах насыщения выходная координата сервомеханизма или его элемента не изме-

няется с изменением входной координаты. В характеристике это отражается

наличием участков, параллельных оси абсцисс.

Если в линейном диапазоне передаточный коэффициент системы остается постоянным, то по мере вхождения в зону насыщения значение экви-

валентного коэффициента передачи будет падать,

т.е. коэффициент передачи такой нелинейной ха-

Рис. 4.3. Статическая рактеристики всегда будет меньше, чем у линей-

характеристика с зонами насыщения ной.

Наличие зон насыщения в характеристиках систем автоматического ре-

гулирования объясняется ограниченными мощностями вспомогательных ис-

точников энергии, ограничениями «свободного» хода элементов и устройств и т.д.

К динамическим нелинейностям относятся нелинейности связанные с дифференциальными уравнениями динамики звена /38/. К ним относится, на-

пример, нелинейное трение.

Так, нелинейная сила вязкого трения характеризуется выражением

вто время как сила сухого трения описывается соотношением (4.2).

Кчислу динамических нелинейных элементов относится и звено с из-

меняющейся постоянной времени

[T(x)D 1] kx,

где D d - оператор дифференцирования, или

Особенность такой динамической нелинейности состоит в том, что по сравнению с линейным звеном с переменным параметром вида

[T(t)D 1] kx,

в котором фигурирует зависимость коэффициентов от времени, нелиней-

ность характеризует их зависимость от координат (или производных). Точно так же, например, гистерезис (рис. 4.2,а) представляет собой нелинейное (ко-

ординатное) запаздывание, в отличие от временного или инерционного в ли-

нейных системах. Конечно, могут быть нелинейные звенья с переменным па-

раметром или нелинейные запаздывающие звенья.

Примерами динамических нелинейностей могут служить также любые нелинейные дифференциальные, разностные и интегральные уравнения.

4.2.2. Математические модели типичных нелинейных элементов

Для исследования динамики нелинейных систем необходимо распола-

гать математическими описаниями входящих в них нелинейных элементов

/58/. Реальные существенно нелинейные характеристики обычно не поддают-

ся точному описанию в классе непрерывно дифференцируемых функций, что следует из самого их определения. Поэтому характеристики аппроксимируют по участкам и строят математическую модель в классе кусочно-гладких функций вида (4.1) и (4.2). Среди большого многообразия существенно нели-

нейных характеристик следует выделить такие основные их классы, с кото-

рыми приходится наиболее часто сталкиваться на практике, а также при ис-

следовании и расчетах динамических систем.

При кусочно-линейных аппроксимациях получаются модели, среди ко-

торых в первую очередь следует выделить класс кусочнолинейных нечет-

ных функций. График таких функций симметричен относительно начала ко-

ординат, а все зоны линейных участков — одного наклона. Модель обобщен-

ной характеристики такого класса представлена на рис. 4.4, а; она имеет сле-

дующее математическое описание:

326

где 0 - значение функции в начальный момент времени; k - коэффициент пропорциональности на линейных участках.

Рис. 4.4. Кусочно-линейные характеристики

На рис. 4.4, б,в приведены примеры других видов характеристик данно-

го класса, описание которых, как нетрудно видеть, являются частными слу-

чаями обобщенной характеристики (4.3). В частности, характеристика рис. 4.4, б может быть получена из описания обобщенной характеристики (рис.

4.4,а), если положить x1=x2=xn, x x x . Уравнение такой характеристики

1 2 л

имеет вид

327

где Фо — начальное состояние реле.

Рис. 4.5. Релейные характеристики

На рис. 4.5, б - д приведены примеры релейных характеристик данного класса, которые представляют собой частные случаи обобщенной релейной характеристики.

Математическая модель характеристики без гистерезиса, но с зоной не-

чувствительности (рис. 4.5, б) получается из уравнений (4.7), если в послед-

них положить x1=x2=xn, она имеет вид

329

Уравнения характеристики с гистерезисом, но без зоны нечувствитель-

ности (рис. 4.5, е), могут быть получены из (4.7), если в последнем положить

Релейные характеристики, не содержащие зон гистерезиса и нечувст-

вительности, принято называть идеальными релейными характеристиками.

Среди них имеются как двухзначные (рис. 4.5, д), так и трехзначные характе-

ристики, т. е. принимающие нулевое значение при аргументе, равном нулю

(рис. 4.5, г).

Следует отметить, что релейные характеристики могут быть получены из кусочно-линейных, если в последних коэффициент пропорциональности k

принять стремящимся к бесконечности, поэтому характеристики с узкой зо-

ной линейности и высоким коэффициентом часто могут быть аппроксимиро-

ваны не кусочно-линейной функцией, а релейной. Это позволяет значительно упростить последующие расчеты по динамике такой системы.

Больше того, исследование некоторых динамических систем, содержа-

щих нелинейную характеристику, близкую к кусочно-линейной, может быть заменено (с некоторым приближением) рассмотрением двух релейных сис-

тем /58/.

4.2.3. Особенности и методы исследования динамических режимов

систем автоматического управления с нелинейными элементами

При исследовании линейных систем широко используется принцип су-

перпозиции (см. 1.4.2), который заключается в том, что выходная величина получается путем сложения на выходе эффектов от отдельных элементарных воздействий. При этом эффект каждого воздействия совершенно не зависит от других воздействий.

Для нелинейных систем принцип суперпозиции неприменим, так как реакция нелинейного элемента, а, следовательно, и системы в целом, различ-

330