Учебное пособие 800669

из параметров или входит в коэффициент уравнения при старшем члене уравнения a0, то так как перемена знака a0 нарушает условия устойчивости,

мы получаем еще одну особую прямую a0 =0, вытекающую из (3.206) при

= . Эта прямая соответствует переходу в бесконечность одного корня и штрихуется однократно.

Правило штриховки кривых состоит в следующем. При перемещении по границе D-разбиения она штрихуется слева в тех точках, для которых >0,

и справа – при <0. Точка по кривой перемещается дважды: первый раз при

изменении в пределах от 0 до + и второй раз от = - до = 0.

Для особых прямых правило штриховки формулируется следующим образом: особая прямая штрихуется лишь в том случае, если она пересекает-

ся или имеет общую точку с кривой D-разбиения или приближается к ней асимптотически, причем в точке пересечения, или в общей точке, или в бес-

конечной точке сближения асимптоты и кривой определитель меняет знак.

При этом вблизи точки пересечения кривой D-разбиения и прямой заштрихо-

ванные стороны обращены одна к другой. Если в точке пересечения знака

не меняет, особая прямая не штрихуется.

Различные способы штриховки особых прямых показаны на рис. 3.42: а

– особая прямая и кривая D-

разбиения сближаются асим-

птотически, штриховка одно-

кратная; б – особая прямая имеет общую точку С с кри-

вой D-разбиения, но не пере-

секается с ней в этой точке,

штриховка однократная; пе-

ресечения в точках Е и F не

ховки, так как знак в этих точках не меняется; в – величина меняет знак в точке пересечения М, штриховка двойная; во второй точке пересечения N

знак не меняется, и направление штриховки сохраняется прежним; г – в

точке пересечения знак не меняется, и особая прямая не штрихуется.

3.8. Показатели качества свободных и вынужденных движений

систем автоматического управления

Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием ра-

ботоспособности систем автоматического управления. Устойчивость систе-

мы управления означает лишь то, что в системе происходит затухание пере-

ходного процесса под влиянием управляющего или возмущающего внешних воздействий. Динамика процесса, время его затухания, максимальное откло-

нение регулируемой величины и число колебаний в системе при этом не оп-

ределяются, однако эти величины являются очень важными показателями ка-

чества процессов управления. Очевидный комплексный характер понятия

«качество процессов управления» требует разработки ряда количественных показателей, характеризующих отдельные его составляющие, которые можно определить с помощью различных методов. К их числу в первую очередь следует отнести построение переходных процессов по заданным передаточ-

ным функциям замкнутых систем, определение показателей качества по рас-

положению нулей и полюсов, интегральные оценки качества, частотные оценки качества и частотные методы построения переходных процессов.

В соответствии с принятым в разделе 2.3.2. разделением переходного процесса в системе на свободную и вынужденную составляющие движения,

рассмотрим способы количественной оценки их качества.

3.8.1. Показатели качества собственных движений

Как известно, свободное движение характеризует автономные системы и определяется корнями характеристического уравнения и начальными усло-

виями. Характеризуют свободное движение прямые показатели качества

свободного движения: tp – время регулирования; ym1 – максимальное откло-

нение (рис. 3.43). Время регулирования позволяет оценить быстродействие

272

системы автоматического регулирования. Учитывая, что полное затухание в системе происходит лишь при t , условно стали считать концом переход-

ного процесса момент времени, когда абсолютная величина разности между выходным сигналом y(t) и его значением в установившемся режиме

yуст lim y(t ) становится во все последующие моменты времени меньше

t

некоторой заданной малой величины, которую, как правило, выбирают рав-

ной (2% – 5%) от yуст.

Поскольку прямые показатели качества свободного движения определяются полюсами характеристического уравнения системы, то их оценку можно осуществить по корневыми по-

казателями качества, устанавливающим связь между расположением корней на комплексной плоскости и параметрами переходного процес-

са. Следует отметить, что определенные суждения о процессах можно выска-

зать и в том случае, когда значения корней не вычисляются, но имеется неко-

торая информация об их расположении. Поскольку многие показатели каче-

ства имеют смысл лишь для устойчивых процессов, именно с определения устойчивости начинают анализ качества, лишь после этого устанавливая дру-

гие его количественные оценки. Например, установление факта принадлеж-

ности всех корней левой полуплоскости равносильно знанию об асимптоти-

ческом затухании процессов при любых начальных условиях.

Связь между прямыми показателями качества и расположением корней на комплексной плоскости может выражаться как соответствие между пара-

метрами некоторой области на комплексной плоскости, где расположены все корни, и области на плоскости временных характеристик (t,x), где рас-

положены решения однородного дифференциального уравнения при типовых начальных условиях /7/. Такая связь в общем виде, во-первых, достаточно сложна, во-вторых, область получается слишком обширной, что ведет к

273

то область определяется так:m1( ) y(t ) 1( ), где мажоранта та же,

что и в классе 0, а минорантой является кусочная кривая, описываемая урав-

нением

Здесь a eb 0 ;b eb 0 1. Коэффициенты а, b выбираются таким об- b 2

разом, чтобы кривая, соответствующая уравнению для m1( ) на интервале

показатель – максимальное отклонение ym1 (рис. 3.43).

Если кроме показателей качества и ввести еще один, например

max Re i (см. рис. 3.45, б), то область может быть сделана еще более

i

узкой. Следовательно, суждение о процессе станет более определенным.

Однако при этом выражения для границ области становятся более сложными и здесь не приводятся.

275

Иногда используется наиболее простая для вычисления корневая оцен-

ка - среднегеометрическое значение корней (собственная частота колебаний)

0 n ( 1)n 1 n n a0

an ,

которая может служить относительной мерой быстродействия систем с одно-

типным расположением корней.

Если требуется лишь определить, обладает ли система некоторой сте-

пенью устойчивости , можно обойтись без непосредственного вычисления корней характеристического полинома. Задача решается построением сме-

щенного полинома A ( z ) A( s )s z . Геометрически такая замена аргумен-

та означает смещение оси ординат плоскости корней влево на расстояние .

Применяя к смещенному полиному A (z) критерий Рауса или Гурвица,

можем сделать вывод о расположении его корней относительно мнимой оси.

Если все корни полинома A (z) левые, то система с характеристическим полиномом А(s) обладает степенью устойчивости , и наоборот.

3.8.2. Показатели качества вынужденных процессов управления

Все многообразие возможных устойчивых реакций звена или системы на ступенчатое входное воздействие (g(t)=k 1(t), k R ) можно разделить на четыре группы (рис. 3.46) /8/:

колебательный процесс, характеризуемый несколькими значениями перерегулирования,

т.е. превышения текущего значения регулируе-

мой величины над ее значением в установившемся режиме (заданным значе-

нием) (кривая 1);

малоколебательный процесс, т.е. переходный процесс с одним перере-

гулированием (кривая 2);

276

монотонный процесс (кривая 4), когда скорость изменения регулируе-

мой величины не меняет знака в течение всего времени регулирования;

апериодический процесс (без перерегулирования) (кривая 3), при кото-

ром скорость изменения регулируемой величины не меняет знака в течение всего времени регулирования и y(t)<y( ) с точностью до при всех t.

Количественно, все вышеперечисленные переходные процессы могут быть охарактеризованы прямыми показателями качества, которые определе-

ны при типовых входных воздействиях и нулевых предначальных условиях.

В частности, для типовой переходной характеристики системы управления по каналам воспроизведения задающего и подавления возмущающего воз-

действий (рис. 3.47). В дополнение к прямым показателям качества: времени регулирования tp и максимальному отклонению регулируемой величины ym1,

при оценке качества вынужденных движений используются такие показатели как /8/:

yуст

число колебаний Np регулируемой величины за время tp и максимальная

dy

скорость изменения выходного сигнала . Несмотря на то, что пере-

dt max

чень приведенных показателей качества не является исчерпывающим /8/, он

277

достаточен для определения области (рис. 3.48) на плоскости временных характеристик (t,y), где расположены решения соответствующего неодно-

для амплитудно-частотной характеристики являются: показатель колебатель-

ности M P( ) и частота резонанса р. Значение Р(0) равно установивше-

P(0)

муся значению ууст при постоянном единичном сигнале.

В отличие от оценок свободных движе-

ний, определяемых только расположением корней характеристического полинома, при исследовании вынужденных процессов в об-

щем случае оцениваются расположения по-

люсов и нулей передаточной функции по то-

Рис. 3.49. Частотные показатели качества канала воспроизведения му или иному каналу. Приближение нулей

передаточной функции к полюсам, т. е. обра-

зование диполей (неполнота характеристик), уменьшает переходные состав-

ляющие процессов при любых воздействиях.

Переходные составляющие процессов при нулевых предначальных ус-

ловиях yпер(t)=y(t)-yуст являются собственными (сопровождающими) состав-

ляющими вынужденных движений. Они могут рассматриваться как решение эквивалентного однородного дифференциального уравнения при послена-

278

чальных условиях, определяемых и правой частью неоднородного диффе-

ренциального уравнения (нулями передаточной функции).

3.8.3. Связь между расположением полюсов и нулей

передаточной функции непрерывной системы и

прямыми показателями качества процесса регулирования

Показатели качества замкнутой системы можно определить, имея кар-

тину расположения нулей и полюсов ее передаточной функции на плоскости корней /8/ (рис. 3.50).

Пусть система автоматического регулирования описывается диффе-

ренциальным уравнением в операторной форме, подобной (2.30). Тогда пре-

образование Лапласа для выходной координаты y(t) системы можно предста-

вить в виде

где В(s) – полином числителя передаточ-

ной функции замкнутой системы по кана-

лу передачи управляющего воздействия u(t); A(s) – характеристический полином

Рис. 3.50. Расположение нулей замкнутой системы; и полюсов

деляющий влияние начальных условий на переходный процесс в системе; yo, ….,yn-1 – начальные значения фазовых координат регулируемой величины; n

– порядок характеристического полинома системы.

Первый член уравнения характеризует влияние управляющего (возму-

щающего) воздействия u(t) (f(t)) на систему, а второй – воздействие началь-

ных условий. В зависимости от наличия комплексно сопряженных или крат279

ных корней характеристического полинома, решение (3.209) имеет различ-

ный вид. Это решение представляется некоторым набором экспонент, имею-

щим установившееся (при t ) значение, определяемое составляющими

дение системы оказывают корни характеристического полинома, наиболее близко расположенные к мнимой оси (медленные полюсы). Пусть наиболее близко к мнимой оси расположена пара комплексно сопряженных корней 1

и 2 характеристического полинома (рис. 3.50).

По мере удаления корней от мнимой оси амплитуды составляющих пе-

реходного процесса Ai (или Ci) убывают тем быстрее (быстрые полюсы), чем больше модуль полюса i по сравнению с доминирующими (медленными)

полюсами 1 и 2 . В случае, когда вблизи полюса расположены нули i , тогда значения Ai (или Ci) становятся нулевыми. Это обусловлено тем, что если

(3.209) можно представить в виде (при действительных, не кратных корнях)

Y(s) ( s 1 )(s 2 ) (s i ) (s m ) (s 1 )(s 2 ) ( s i ) (s n ) ,

то при i i соответствующие нули и полюсы можно сократить.

Для выбранной схемы расположения нулей и полюсов определяющей

раньше. Следовательно, время переходного процесса можно приближенно определить по формуле

где - установившаяся ошибка (отклонение) регулируемой величины от за-

данного значения.

280