4.1.2 Графическое и графо – аналитическое ре-

шение уравнения движения привода

Если невозможно аналитически решить урав­нение движения электропривода (2.1), то его решают, например, так называемым методом пропорций или мето­дом конечных приращений. Сущность этого метода заклю­чается в замене бесконечно малых приращений скорости dω и времени dt малыми конечными приращениями ∆ω и ∆t . При этом предполагается, что в уравнение движения. элек­тропривода подставляются средние значения момента дви­гателя и момента сопротивления для каждого интервала изменения скорости. Эти средние значения моментов обычнo находятся графическим путем на основании механических характеристик двигателя и производственного механизма. Рассмотрим применение метода пропорций на примере привода вентилятора от асинхронного двига­теля с короткозамкнутым ротором. Метод пропорций осно­ван, как указывалось выше, на следующей записи урав­нения движения электропривода:

М – М_с = J∆ω / ∆t

Считая, что в некотором интервале времени Д/ раз ность моментов М — М_с остается величиной постоянной получаем пропорцию

(M – M_c) / J = ∆ω / ∆t ( 4.2 )

На рис. 4.2 показан ход графического построение кривой скорости ω = f(t), выполненного на основании пропорции (4.2), и нахождения времени пуска двигателя. Построение ведется следующим образом. В левом квадранте строятся характеристики ω = f(M) и ω= f₁(М_с). Графически находится их разность ω = (М — М_с) — кривая динамического момента, изображаемая в том же квадранте. Последнюю кривую заменяют ступенчатой с участками М — М_с = соnзt. От числа участков зависят точность построений и конечные результа-

114

ты. Точность тем выше, чем на большее число участков разбита кривая ω = (М — М_с) .

Полученные на отдельных участках значения динами­ческих моментов откладывают вверх на оси ординат. Так, для первого участка получаем отрезок 0В, для второго ОВ₁ и т. д. Отмеченные на оси ординат точки В, В_г, В₂ и т. д. соединяют прямыми с точкой А, находящейся от начала координат на расстоянии, пропорциональном величине J. Затем из начала координат проводят прямую ОС, парал­лельную АВ. Последняя прямая характеризует искомую функцию ω = I (t) для первого участка моментов. Это следует из подобия треугольников АОВ и ОDС.

Действительно, ОВ/ОА = СD/ОD, но 0В = М₁ — М_с1, ОА — J; СD = ∆ω, следовательно, отрезок ОD согласно уравнению (4.2) соответствует времени пуска на первом участке, т. е. ОD = ∆t₁.

Рис. 4.2. Построение переходного процесса методом

пропорций.

Проведя аналогичное построение для всех последующих участков М — М_с, строим кривую скорости двигателя и находим искомое время пуска привода.

115

При построении следует учитывать масштабы величин, связанные между собой соотношением

m_M / m_J = m_{ω /} m_t,

где т_м — масштаб момента; т_J — масштаб момента инер­ции J; т_ω — масштаб скорости двигателя; т_t — масштаб времени.

Если задаться масштабами трех величин: момента, ско-рости, времени, то из приведенного соотношения находится масштаб четвертой величины — момента инерции J.

Подобный метод построения кривой скорости для опре­деления времени пуска применим также для двигателей постоянного тока, если механические характеристики не мо­гут быть выражены аналитически. Этот метод расчета может быть применен не только для пусковых, но и для тормозных режимов.

Кроме метода пропорций, для построения кривой угло­вой скорости ω = f{t) и определения времени пуска дви­гателя используется метод площадей, сводящийся к графоаналитическому интегрированию уравнения дви­жения. Задаются механическими характеристиками дви­гателя и производственного механизма.

Н-м 200 100 0 0,1 0,2 0,3 0,4 с.

Рис. 4.3. Определение времени пуска привода

вентилятора

116

Затем эти две характеристики совмещаются и, как в предыдущем слу­чае, определяется кривая динамического момента М_дин = М — М_с (рис.4.3). Кривая динамического мо-мента делится на ряд участ­ков, на каждом из которых момент предполагается постоян­ным и равным среднему значению. Для каждого участка будет справедливо следующее выражение:

∆t = J ∆ω / (М – М_с).

При равенстве значений ∆ω> на всех участках общее время пуска определится по формуле

t = .

где т — число участков; ∆ω = соnst; — перепад угловой скорости на каждом участке; М — М_с — соответствующее значение динамического момента (М₁, M₂ ...) на каждом из участков.

Графическое построение кривой скорости для торможения привода выполняется аналогично. Следует лишь иметь в виду, что при торможении динамический момент обычно представляет сумму моментов дви­гателя и статического (реактивный статической момент, потенциаль­ный момент при подъеме груза) и имеет отрицательный знак. Поэтому при построении он откладывается по оси ординат вниз от точки 0. Соответственно и треугольники, основанием которых является отрезок ОА, располагаются в третьем квадранте. Для случая вентиляторного статического момента графическое построение выполнено на рис. 4-4. Построение носит тот же характер, что на рис. 4-2

Очень часто при анализе работы электропри­водов ряда исполнительных механизмов требуется построение кривой пути, проходимого рабочим органом механизма.

Пройденный рабочим органом механизма путь может быть выражен углом поворота якоря двигателя α (или числом оборотов двигателя N).

Угловой путь за время dt равен:

dα = ωdt (4.3)

117

Рис.4.4. Построение кривой скорости привода в

режиме торможения

В соответствии с (4.3) путь, пройденный как за весь процесс, так и на отдельных его уча­стках, может быть определен в результате интегрирования кри­вой скорости ω== f(t).

Площадь, ограниченная осью абсцисс, этой кривой и двумя ординатами, соответствующими началу и концу участка t₁ и t₂ пропорциональна пройденному пути:

α =

Для построения кривой пути также может быть применен принцип пропорций. Используя равенство (4.3) и переходя к конечным прира­щениям, получим:

118

При графическом построении все величины выражаются в отрезках определенной длины соответственно выбранным масштабным коэффи­циентам. Если принять масштабы: для угла поворота μ_а, для времени μ_t и для скорости μ_ω, то равенство (4.3) в отрезках может быть пред­ставлено так:

, (4.4)

где R = – произвольная величина, определяемая соотношением мас­штаба. Величина R имеет размерность длины.

Построение кривой пути на принципе пропорций показано на рис. 4.5. Кривая ω =f(t), построение которой было рассмотрено выше, разбивается на ряд участков и заменяется ступенчатой. Скорость на каждом участке принимается равной среднему значению (точнее, разбивка производится таким образом, чтобы площадки, создаваемые ступенчатой кривой по обе стороны исходной кривой ω= (t), были равновеликими). На оси абсцисс откладывается величина R— О А и проводится вертикаль АВ.

Путь за первый участок, соответствующий времени ∆t, находится следующим образом. Линия G₁T₁, проведенная на уровне среднего значения скорости на первом участке, продолжается до пересечения с вертикалью АВ. Точка О соединяется с полученной точкой H₁ прямой линией. Из точки T1 на ось абсцисс опускаем перпен­дикуляр. Отрезок Q₁S₁ в соответствующем масштабе представляет путь, пройденный на первом участке. Действительно, из подобия треугольников ОАН₁ и ОQ₁S₁ находим:

119

ω₄

Рис. 4.5. Построение кривой пути

Так как

АН₁ = ; ОА = R; OQ₁ = ,

то

Q₁S₁ = .

Для определения пути на втором участке продолжается вправо линия G₂T₂. Полученная точка H₂ соединяется с на чалом координат, и из точки Т₂ опускается перпендикуляр.

Из подобия треугольников ОАН₂ и 0'Q₂S₂ вытекает, что от-

120

резок S₂Q₂ = . Проводя через точку S₁ линию, параллельную 0'S₂, получаем отрезок S₁ кривой а = f(t), соответствующий второму участку. Все дальнейшее построе­ние аналогично и понятно из чертежа.

Величина пути на каждом участке может быть вычислена и анали­тически. Путь за х-ыи участок будет равен:

∆α_x = ,

где ω _x-1 и ω_х — скорости вращения привода в начале и в конце рассмат­риваемого участка.