Решение

Для определения напряжённости магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора вдоль линий магнит- ной индукции поля: .

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индук- ции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряжённости одинаковы. Поэтому в выра- жении циркуляции напряжённость Н можно вынести за знак интеграла, а интегрирование проводить в пределах от нуля до 2πr, где r-радиус окружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычисляется циркуляция, т.е.

. (1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля равна сумме токов, охватываемых контуром, вдоль которого вычисля- ется циркуляция:

. (2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2) получим

. (3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинако- ва. Поэтому формула (3) примет вид 2πrН = NI, откуда

. (4)

Для средней линии тороида r = (R₁+ R₂)/2= (d₁+ d₂)/4. Подставив выражение в формулу (4), найдём

. (5)

Магнитная индукция В₀ в вакууме связана с напряжённостью поля соотношением В₀=μ₀Н. Следовательно,

. (6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим: Н =1,37 кА/м, В₀ =1,6 мТл.

Пример 8. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной l₀=5мм. Длина l средней линии кольца равна 1м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока I=4А индук- ция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5Тл. Рассеянием магнитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать.

Решение

Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна индукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем:

IN = Hl + H₀l_0.

По графику (см. приложение 5) находим что при B = 0,5 Тл, напряжённость Н магнитного поля в чугуне равна 1,6 кА/м. Так как для воздуха μ=1, то напряжённость поля в воздушном зазоре 0,4МА/м. Искомое число витков

N = (Hl+H₀l₀) / I = 900.

2.2. Колебания и волны

2.2.1. Основные формулы Механические колебания

1. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки и его решение

,

,

где x – смещение колеблющейся точки от положения равнове- сия; ω₀ = – собственная частота колебаний; m – масса точки; к – коэффициент упругой (квазиупругой) силы.

2. Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

.

3. Амплитуда и фаза результирующего колебания, возника- ющего при сложении двух одинаково направленных колебаний с одинаковыми частотами.

A² = A₁² + A₂² + 2 A₁ A₂ cos (₂ - ₁),

.

4. Период колебаний физического маятника

T = 2 ,

где L =J/ma – приведенная длина физического маятника, J – момент инерции маятника относительно оси колебаний, а - расстояние центра масс маятника от оси колебаний.

5. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

и

где =r/2m – коэффициент затухания; r – коэффициент сопротив- ления; – угловая частота затухающих колебаний; А=A₀ e^-t – амплитуда колебаний в момент времени t.

6. Логарифмический декремент затухания и добротность Q колебательной системы

,

где А(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колеба- ний, отстоящих по времени друг от друга на период; N_e – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е= 2,73 раз.

7. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение для установившихся колебаний:

где F₀ cos ω_в t - внешняя периодическая сила, действующая на материальную точку; f₀=F₀/m; – амплитуда вынужденных колебаний;

8. Резонансная частота и резонансная амплитуда

.