2.2. Вариационные принципы и эквивалентирование

Известно, например [34-36,133], что математическая модель потокораспределения в БГС может быть сформирована на основе расширенного (по Гельмгольцу) вариационного принципа наименьшего действия на уровне энергетического функционала, формализуемого нижеследующим выражением для реальной и эквивалентированной ПГС (системы газоснабжения низкой ступени давления)

Здесь Q_i, L_i, F_i, S_i – соответственно расчетный расход, длина, площадь сечения трубы, коэффициент гидравлического сопротивления участка i.

Как уже отмечалось выше, структура и содержание (2.3) нуждается в определенных обоснованиях, каковые мы постараемся привести ниже.

Левая часть равенства (2.3) представляет собой сумму реальных энергетических составляющих РЗ (как интересующего нас гидравлического объекта) и метасистемы в составе городской системы газоснабжения.

Первая группа слагаемых (2.3) выражает кинетическую энергию ГС, определяемую как сумму кинетических энергий «столбов жидкости» с площадью сечения F_i и длиной L_i . Отметим, что рассматривается наиболее представительная составляющая многоиерархической ступени: низкой ступени давления, в пределах которой природный газ выступает как несжимаемая среда (жидкость).

Следующие после кинетической энергий четыре группы определяют работы внешних сил, воздействующих на систему. Их знаки устанавливаются по взаимной ориентации направления силы и соответствующей ей координаты. Если эти направления совпадают, например, для работы проталкивания (вторая и третья группы), то знак принимается положительным, поскольку обеспечивается энергоприток (через питателей) в систему. Четвертая и пятая группы от начала отсчета выражают работу, совершаемую системой против сил давления окружающей среды (энергоотток потребителям). Отметим, что в этих группах суммирование осуществляется лишь на множестве узлов с фиксируемым потенциалом (давлением) или технологической характеристикой элемента . Узлы с задаваемым отбором (притоком) исключаются, поскольку работа механического взаимодействия РФС с метасистемой из-за постоянства координаты равна нулю.

Шестая группа соответствует диссипации энергии за счет внешних сил трения.

Следует особо остановиться на третьем слагаемом, учитывая то что рабочее давление после РП поддерживается как правило постоянным (соответствует второй группе слагаемых). Однако принимая во внимание функционирования системы в процессе управления ею, допускаем включение третьего слагаемого (от начала отсчета) ( ) в состав полноразмерного функционала в левой части равенства.

Энергетическое эквивалентирование достигает своих целей благодаря практически неограниченному укрупнению энергетики ограниченного множества источников потребления энергии в сравнении с полноразмерным реальным функционалом.

Обращает на себя внимание отсутствие в обоих частях равенства условий сплошности потоков газа, которые присутствуют в составе энергетического функционала, отражающем принцип наименьшего действия. Такое расхождение обусловлено конечными целями: а) принципа наименьшего действия и б) энергетического эквивалентирования (ЭЭ).

Если принцип наименьшего действия ставит своей целью получение математической модели потокораспределения, функционирующей в рамках условий сплошности (обеспечивающих ей однозначность решения этой задачи), то ЭЭ преследует другую цель, а именно преобразование полноразмерной (реальной) гидравлической системы – в ее гидравлический эквивалент, функционирующий, также в рамках условий сплошности. То есть и в полноразмерной ГС и в ее гидравлическом аналоге (МПГС) фигурирует одна и та же модель, обеспечивающая адекватность гидравлических процессов натуры и модели. Поэтому повторно вводить уже введенные однажды условия сплошности газопотоков – неправомерно.

Таким образом, ЭЭ позволяет «масштабировать» ПГС для возможности использования в полной мере ресурсов ЭВМ (ПЭВМ).

Исходя из вышеизложенного, сформулируем условия энергетического эквивалентирования на основе (2.3), для наиболее общего нестационарного случая: равенство (2.3) имеет практически бесчисленное множество решений, в соответствии с труднореализуемыми алгоритмами, однако одно решение все-таки, достаточно наглядное, а именно равенство одноименных переменных в левой и правой частях системы.

Воспользовавшись подобной возможностью, сформулируем условия ЭЭ на основе (2.3) для нестационарного случая:

(2.3.1)

(2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)

(2.3.5)

(2.3.6)

Условия (2.3.1) – (2.3.6) трудновыполнимы, поскольку , – неизвестные функции времени. Удовлетворить эти условия можно в процессе численного решения задачи потокораспределения, что заметно перегружает алгоритм.

Сформулируем условия ЭЭ для стационарного случая (кинетические энергии левой и правой частей равенства практически не отличаются):

а) системы газоснабжения низкой ступени давления:

(2.3.7)

(2.3.8)

(2.3.9)

(2.3.10)

(2.3.11)

б) системы газоснабжения средней (высокой) ступени давления:

(2.3.12)

где – осредненное по длине участка i абсолютное давление газа.

Остальные условия энергетического эквивалентирования систем средней (высокой) ступени давления полностью аналогичны условиям (2.3.7) – (2.3.10).

В итоге получаем:

(2.3.13)

Если характеристика источника (стока) в рамках ГУ II рода аппроксимируется квадратичным трехчленом

,

то аппроксимационные коэффициенты эквивалентного источника (стока) определяются формулами:

(2.3.14)

Условия (2.3.14) не определяют схему микросети, эквивалентирующей метасистему, однако ее конфигурация существенно влияет на скорость сходимости решения задачи потокораспределения, и всякое упрощение схемы влечет за собой замедление сходимости. По результатам вычислительного эксперимента [104.126], найден разумный компромисс на основе «диспетчерских» узлов, присоединяемых через эквивалентные участки к энергоузлам РЗ. К диспетчерским узлам (эквивалентирующим вершины СТГ метасистемы) подключаются эквиваленты источников и стоков. Кроме того, к соответствующим ЭУ РЗ присоединяются фиктивные технологические линии – стоки, эквивалентирующие АП. Полученный в итоге бинарный граф рассматривается как единая сетевая структура, отражаемая функционалом в правой части (2.3), к которой применимы все известные сетевые законы и теоремы теории графов (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Бинарный структурный граф гидравлической модели ПГС

rf– энергоузел расчетной зоны; – источник, сток и нейтральный узел соответственно; D – диспетчерский узел; – фиктивные стоки, присоединенные к РЗ и метасистеме соответственно.

Условия (2.3.2) – (2.3.14) используются для гидравлической настройки линейных (фиктивных) элементов, источников и стоков, причем условия (2.3.11), (2.3.12) являются основополагающими. Левая часть этих условий может быть определена в рамках соответствующего алгоритма по значениям узловых потенциалов и отборов (притоков) в энергоузлах РЗ в режиме, который имел место до внесения возмущения в РЗ.

Рассмотрим более подробный механизм формирования предельного числа независимых цепей, определяемых формулой (2.1).

Под фиксированным узловым потенциалом понимается абсолютное давление газа (в виде числа) или «параметрически и функционально» определенным законом его изменения. В качестве исходной основы (2.1) используется известное следствие из формулы Л. Эйлера для плоских графов (n=m+r-1); r – число элементарных независимых контуров, n – число участков, m – число узлов.

Поскольку одним из фундаментальных условий независимости цепи является исключение внутренних (петель) и внешних (то есть образующихся с другими независимыми цепями) контуров, то, следовательно, цепной подграф всегда может быть представлен в форме «дерева», ветви которого ограничены узлами с фиксированными давлениями при условии игнорирования всех промежуточных узлов. В сформированном подобным образом «подграфе-дереве» участками являются независимые цепи.

После подобной процедуры формирования подграфа-дерева появляется возможность использования для него следствия из формулы Л. Эйлера для плоских графов (деревьев), которое вырождается в формулу (2.1), содержащей р-число участков дерева в форме независимых цепей, е-число фиксированных узлов в составе дерева, при условии отсутствия в составе подграфа-дерева любых (внутренних или внешних) контуров (r=0). Появление контура (любого) в составе подграфа-дерева свидетельствует о вырождении соответствующей цепи, участвующей в появлении означенного контура и теряющей статус независимой.

Остается невыясненным вопрос, действительно ли условия (2.3.7) – (2.3.11), (2.3.13), (2.3.14) являются условиями ЭЭ, дающими возможность после масштабирования идентифицировать гидравлические процессы в составе БГС (ПГС) и РЗ.

Под идентификацией будем понимать тождественное равенство гидравлических процессов (параметров процессов, например ∆P, Q, и параметров системы, например S, D) происходящих в ИФС, в составе ПГС и РЗ.

Рассмотрим эти (квазистационарные) процессы на простейшем примере незакольцованной системы низкого давления, берущей начало от регуляторного пункта, рис. 2.4.

Согласно (2.3.8) в преобразованном виде (энергия источника представлена в виде соответствующей суммы потерь энергии из условия баланса):

а)

б)

Рис. 2.4. Расчетная схема системы газоснабжения низкого давления: а – реальная, б – энергетически эквивалентированная; ЭП – эквивалентный потребитель; 2, 3 – реальные потребители; (2-4), (3-5) – фиктивные участки; (РП-1), (1-3), (1-2) – реальные участки; (РП-ЭП) – фиктивный участок в составе ЭЭ.

Условие (2.3.8) используем, имея ввиду взаимосвязь параметров процесса в функциональной форме, вытекающей из довольно распространенного режима гидравлической гладкости. Перепишем условие ЭЭ, введя в подинтегральную функцию режим гидравлической гладкости:

Приведем последнее равенство к расходу через систему, подаваемому в сеть от источника:

,

откуда получаем формулу для определения коэффициента гидравлического сопротивления энергетически эквивалентной системы

Согласно условию (2.3.8), идентификация гидравлических процессов достигается при тождественном равенстве левой и правой частей (2.3.8), т.е. в итоге получаем:

С учетом того, что схема 2.4а может включать практически неограниченное множество структурообразующих элементов различной конфигурации и структуры (кольцевые, разветвленные, смешанные) приходим к выводу, что 2.3.8 (а можно предположить, что и остальные условия (2.3.13), (2.3.14)), также могут быть использованы как условия ЭЭ, будучи энергетически эквивалентными реальным ИФС в составе ПГС и РЗ, о чем будет сказано ниже.

Учитывая то, что перепад давления от конкретного узла j до давления окружающей среды , поскольку продукты сгорания истекают (как правило) в окружающую среду, можно допустить и переписать условие (2.3.8) в виде:

Используем последнее условие для более сложного случая системы низкого давления с несколькими (двумя) источниками (регуляторными пунктами – РП, см. рис. 2.5):

где P_a=const - давление окружающей среды; Q_j– расчетный расход на участке j, зависящий от диаметра газопровода (т.е. S_j).

а)

б)

Рис. 2.5. Расчетная схема системы газоснабжения низкого давления с двумя источниками питания сети: а – реальной; б – энергетически эквивалентированной; ЭП – эквивалентный потребитель; 5,6 – реальные потребители; (4-5), (3-6) – фиктивные участки; (РП1-1), (1-2), (2-3), (1-4), (РП2-3) – реальные участки; РП – объединенный источник питания ЭЭ системы; (РП-ЭП) – фиктивный участок энергетически эквивалентной системы.

С учетом объединения двух реальных источников (РП1 и РП2) в один эквивалентный (РП) получаем:

откуда коэффициент гидравлического сопротивления фиктивного участка энергетически эквивалентной системы с объединенными источниками:

Согласно формуле (2.3.8) идентификация гидравлических процессов соответствует тождественному равенству левой и правой частей этого условия, то есть:

Далее рассматривается кольцевая сеть смешанной структуры (рис. 2.6.)

а)

б)

Рис. 2.6. Расчетная схема системы газоснабжения низкого давления смешанной структуры: а – реальной; б – энергетически эквивалентной; ЭП – эквивалентный потребитель; 7,8 – реальные потребители; (3-7), (6-8) – фиктивные участки; (1-2), (1-5), (2-3), (1-4), (5-6), (4-3), (4-6) – реальные участки; РП – источник питания системы; (РП-ЭП) – фиктивный участок энергетически эквивалентной системы.

Рассмотрим преобразование условия (2.3.8) для случая смешанной структуры, в виде соответствующей суммы потерь энергии из условия энергетического баланса для узла источника (с учетом всех предыдущих преобразований):

В итоге получаем формулу для определения коэффициента гидравлических потерь фиктивного участка ЭЭ системы:

Тождественное равенство условия (2.3.8) а следовательно и идентификация гидравлических процессов полноразмерной (реальной) системы ЭЭ, получаем, используя последнее выражение для смешанной структуры:

Рассмотренные три варианта структуры подтверждают достоверность условий идентификации гидравлических процессов натуры и модели ЭЭ (2.3.1) – (2.3.14).