1.2. Формирование математических моделей потокораспределения на основе интегральных принципов аналитической механики

Известно [31, 34], что ключевое место в принципе У. Гамильтона - М.В. Остроградского играет функция (Н), представляющая собой разность между потенциальной энергией системы (U), зависящей только от координат и кинетической энергией (Т). Функцию (Н) Г. Гельмгольц называет кинетическим потенциалом.

Для обобщения принципа У. Гамильтона – М.В. Остроградского на немеханические системы, Г. Гельмгольц добавляет к кинетическому потенциалу сумму работ внешних сил, действующих на систему, в результате чего расширенный вариационный принцип наименьшего действия можно записать в виде (1.2) [131-133]:

В условиях покоя или установившегося потокораспределения кинетический потенциал переходит в потенциальную энергию. Стационарные состояния системы адекватны покою, следовательно, для них вариационный принцип переходит в минимум потенциальной энергии [34].

Дополнительное слагаемое в (1.2) предусматривает наличие в системе внешних сил, величина и направление которых известны в любой момент времени (например, силы трения), но консервативность которых однозначно не установлена.

Стационарность интеграла (1.2) устанавливается путем варьирования q_i, в результате него получаются расширенные уравнения движения системы, называемые уравнениями Ж. Лагранжа второго рода:

(1.3)

Стационарность интеграла (1.2) была установлена в наиболее общей форме еще Л. Эйлером и получила название системы дифференциальных уравнений Эйлера:

(1.4)

Независимой переменной в (1.4) является , через q_i в системах подачи и распределения природного газа обозначены объемы ЦП, проходящие через соответствующие сечения за время ; – объемные расходы среды; – производная по времени от соответствующего расхода и т.д.. Отметим, что, (1.4) в данном случае прокомментировано применительно к природному газу низкого давления, поскольку во времена Л. Эйлера природный газ не фигурировал как ЦП.

При изучении транспортных гидравлических систем может быть использована электрогидравлическая аналогия, поэтому постановка экстремальных задач анализа потокораспределения содержит в своей основе тепловую теорему Дж. Максвелла [136].

В гидравлических системах роль координат выполняют объемы среды, проходящие через контрольные сечения, однако в качестве переменных при описании их движения (состояния) выбирают расходы транспортируемой среды через произвольное сечение трубопровода. Учитывая постоянство диаметра трубы и плотность природного газа низкого давления (условие несжимаемости) расход можно представить через среднюю по сечению скорость течения с помощью уравнения неразрывности. Выбор макроскопических переменных для описания состояния транспортной ГС посредством выражения скоростей частиц от времени и координат пространства принадлежит Л. Эйлеру [82]. Поскольку скорости среды (природного газа) на участках нельзя рассматривать как независимые переменные, в подинтегральную функцию (1.2) должно быть введено условие непрерывности среды, выражающее связь между скоростями через неопределенные множители Лагранжа.

Условие сплошности потоков среды при анализе сетевых систем принято выражать в форме первого закона Кирхгофа [60,61] для гидравлических систем.

Конкретный вид уравнений движения системы можно получить, подставив подинтегральную функцию в соотношения Г. Гельмгольца (1.1), которые по форме являются частным случаем условий Л. Эйлера для стационарности интеграла в любой вариационной задаче. При этом два первых члена в правой части пропадают, поскольку потенциальная энергия в составе энергетического функционала не выделена вообще, а кинетическая энергия от координат не зависит, поэтому уравнения движения вдаль отдельно взятой переменной преобразуются к виду:

(1.5)

Второй индекс у неопределенных множителей обозначает соответственно входной и выходной узлы структурного элемента системы. Остальные обозначения аналогичны (1.1).

Тривиальный вид уравнений (1.5) обусловлен отсутствием явной зависимости, не только активных сил, но и накладываемых связей от координат. Это условие особо оговаривается при формировании расширенного вариационного принципа наименьшего действия Г. Гельмгольца [34-36].

Дифференцирование кинетической энергии по скорости (вместо используется традиционное обозначение расхода на участке Q_i) приводит к выражению:

где – скорость потока на участке i при неустановившемся одномерном течении среды; m_i – масса столба жидкости, заполняющая полость трубопровода; h_i^ин– инерционный член.

Формируя уравнение движения (1.5) для каждой переменной получим следующую систему уравнений, из которой следует, что неопределенные множители суть узловые потенциалы:

Кроме того, отдельно взятое в них соотношение есть уравнение Д. Бернулли (если пренебречь изменением скорости потока), которое таким образом является экстремалью вариационных задач (1.2).

Объединяя подсистемы контурных и цепных уравнений, дополнив их подсистемой узловых балансов, получаем модель неустановившегося потокораспределения в векторно-матричной форме записи:

(1.7)

(1.8)

(1.9)

где - число узлов с фиксируемым (задаваемым) потенциалом; р – предельное число независимых цепей в расчетной схеме (р=е-1); – элемент диагональной матрицы; – гидравлические индуктивности.

Замкнутость системы (1.7) - (1.9) устанавливается однозначно, поскольку подмножества охватывают все узлы ИФС и количество (е-1)+(m+е) уравнений, совместно с числом контуров (r), равно числу участков (n) по соотношению Л. Эйлера для плоских графов, то есть числу неизвестных.

Модель установившегося потокораспределения может быть получена из (1.7) - (1.9) посредством исключения составляющих, зависящих от времени, кроме того в этом случае отпадает необходимость внешнего итеративного цикла:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

Общая форма записи системы уравнений (1.10) - (1.12) позволяет выделить из нее набор как уже известных, так и альтернативных моделей, достаточно полно отражающих все многообразие проектных сетевых задач.

Первая модель, реализуемая при условии р=0, е=1 [129] содержит r контурных и m-1 узловых балансовых уравнений при фиксированных отборах (притоках) и узловом напоре (последнее необходимо в качестве «стартового» условия для получения расчетной информации по узловым потенциалам). Режим потребления «жестко закреплен», процедура внешней увязки с потребителями проблематична.

Вторая модель [5], известная как модель, построенная на «циклических» схемах, реализуется при , помимо r контурных и узловых, она включает цепных уравнений (уравнений фиктивных контуров). Система замыкается при фиксированных узловых отборах потребителей и напорах источников. Внешняя увязка сети с потребителями по-прежнему проблематична.

Третья модель, изученная в [101] – фиксирует напоры в узлах. Система уравнений содержит цепных, r контурных и узловых уравнений и замыкается при фиксированных узловых отборах. Модель обеспечивает внешнюю увязку с источниками и частью потребителей.

Обозначим четвертой (альтернативной) моделью все варианты потокораспределения при условии <е≤ . Система содержит е-1 цепных, r-контурных и m-e узловых уравнений (здесь m – полное число узлов в сети) и замыкается при фиксированных отборах и е-напорах, позволяя достигать наиболее полной увязки при соблюдении нормативных требований со всеми «внешними субъектами».

Рассмотрим теперь те моменты, на которых акцентируют внимание авторы известных к настоящему времени исследований в области применения вариационных принципов механики к построению математических моделей потокораспределения. Прежде всего отметим, что формализация этой задачи в виде (1.7) - (1.9), (1.10) - (1.12) не является новой и известна по работам [102,107,108]. Единственным уязвимым звеном в данном представлении является физическая интерпретация структуры кинетического потенциала, поскольку за отправной пункт здесь выбран принцип наименьшего действия в форме У. Гамильтона, а не расширенный принцип Г. Гельмгольца. В результате возникла необходимость трактовки суммы работ внешних сил как потенциальной энергии системы. Кроме того, относительно недавно [40, 42] получена аналитическая форма модели с неустановившимся течением на основе использования только сетевых законов. В двух последующих разделах рассматриваются две автономные задачи. Первая – в проверке применимости дифференциальных принципов для описания потокораспределения при изотермических течениях. Вторая непосредственно направлена на достижение конечной цели, то есть построение математической модели потокораспределения в ГС, как объектах с распределенными параметрами, а следовательно к неизометрическому течению вязкой среды.

Присутствие множества не должно смущать, имея ввиду постоянство рабочего давления после РП, поскольку именно в задачах управления это присутствие необходимо.

На рис. 1.1 представлен внешний вид газорегуляторного пункта (ГРП), включающего диафрагму на входе для изменения расхода газа, с регулятором непрямого действия типа РДУК, предохранительный запорный клапан, работающий в полуавтоматическом режиме, волосяной фильтр, задвижки на байпасе и систему продувки газа.

На рис. 1.2 приведена технологическая схема газорегуляторного пункта с системой обогрева газа (основного потока) и обогрева ГРПШ, с задвижками на байпасе, двумя обогревателями, предохранительным запорным клапаном СПЗК, функционирующим в полуавтоматическом режиме и предохранительным сбросным клапаном (ПСК), функционирующим в автоматическом режиме, входными и выходными задвижками на основной линии подачи газа и на байпасе. Такая система обеспечивает постоянство рабочего давления РП.