- •Введение
- •1. Вводные сведения
- •1.1. Предмет механики жидкости и газа
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •2. Основные физические свойства жидкостей и газов
- •2.1. Физическое строение жидкостей и газов
- •2.2. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2.3. Гипотеза сплошности
- •2.4. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.5. Неньютоновские жидкости
- •2.6. Термические уравнения состояния
- •2.7. Растворимости газов в жидкостях, кипение, кавитация. Смеси.
- •2.8. Законы переноса
- •2.9. Требования к рабочим жидкостям
- •3. Основы кинематики сплошных сред
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение жидкой частицы
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •3.5. Вихревое и безвихревое (потенциальное) движения
- •4. Силы, действующие в жидкостях
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Напряжения поверхностных сил
- •4.3. Напряженное состояние
- •5. Общие законы и уравнения статики и динамики жидкостей и газов
- •5.1. Уравнения движения в напряжениях
- •5.2. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.3. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.4. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •5.5. Примеры аналитических решений уравнений Навье-Стокса для ламинарного движения в цилиндрических трубах
- •6. Абсолютный и относительный покой (равновесие) жидких сред
- •6.1. Основная формула гидростатики
- •6.2. Определение сил давления покоящейся среды на плоские и криволинейные стенки
- •6.3. Относительный покой (равновесие) жидкости
- •Следовательно, вместо уравнения (6.5) можно записать:
- •7. Модель идеальной (невязкой) жидкости
- •7.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера
- •7.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения
- •8. Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента количества движения
- •8.1. Законы сохранения
- •8.2. Закон изменения количества движения
- •8.3. Закон изменения момента количества движения
- •8.4. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки
- •9. Общее уравнение энергии в интегральной и дифференциальной формах
- •10. Турбулентность и ее основные статистические характеристики
- •10.1. Турбулентное течение
- •10.2. Осредненные параметры и пульсации. Стандарт пульсационной скорости и степень турбулентности
- •10.3. Двухслойная модель турбулентности
- •11. Подобие гидромеханических процессов
- •11.1. Числа и критерии подобия
- •11.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
- •11.3. Методы моделирования
- •11.4. Методы аналогий
- •12. Одномерные потоки жидкостей и газов
- •12.1. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости
- •12.2. Гидравлические потери (общие сведения)
- •13. Ламинарное течение в круглых трубах
- •13.1. Течение при больших перепадах давления
- •13.2. Ламинарное течение с облитерацией
- •13.3. Ламинарное течение с теплообменом
- •14. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах
- •14.1. Потери напора при турбулентном течении в шероховатых трубах. График и.И. Никурадзе
- •15. Местные гидравлические сопротивления
- •15.1. Внезапное расширение русла
- •15.2. Внезапное сужение русла
- •15.3. Местные сопротивления при ламинарном течении
- •16. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре
- •16.1. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •17. Истечение через отверстия и насадки при переменном напоре
- •17.1. Неустановившееся движение жидкости в трубах
- •17.2. Гидравлический удар
- •18. Расчет простых трубопроводов
- •18.1. Основные задачи по расчету простых трубопроводов
- •18.2. Последовательное соединение простых трубопроводов
- •18.3. Параллельное соединение простых трубопроводов
- •18.4. Разветвлённое соединение простых трубопроводов
- •19. Расчет сложных трубопроводов
- •19.1. Трубопроводы с насосной подачей жидкости
- •19.2. Основы расчета газопроводов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Гоувпо «Воронежский государственный технический университет»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
8. Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента количества движения
8.1. Законы сохранения
На движение сплошных сред распространяются общие законы природы. Среди этих законов особенно важное и наиболее общее значение имеют законы сохранения. В механике обычно рассматриваются законы сохранения четырех величин: массы, количества движения, момента количества движения и энергии.
Все законы сохранения относятся к так называемым изолированным системам. Будем в дальнейшем называть систему изолированной или замкнутой в том случае, если через контрольную поверхность - окружающую систему - нет переноса массы, количества движения и энергии. На изолированную систему не действуют внешние силы.
Количество движения системы материальных точек, как известно из теоретической механики, есть векторная величина, равная произведению массы системы на скорость ее центра инерции.
Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во все время движения, т.е. количество вещества остается постоянным или
. (8.1)
Закон сохранения количества движения утверждает, что при движении изолированной системы общее количество движения остается постоянным во все время движения, т.е.
. (8.2)
Так как (m - масса данной системы, а - скорость ее центра инерции), то
.
Но по закону сохранения массы для данной системы m = const, поэтому
.
Отсюда видно, что ускорение центра инерции изолированной системы равно нулю
.
Если изолированная система состоит из отдельных частей, то
,
где - массы отдельных частей данной системы;
- скорости их центров инерции.
При = const, имеем
или
.
Отсюда следует, что если одна часть системы с массой получила некоторое изменение скорости дивижения , то остальные части изолированной системы должны изменить свои скорости так, чтобы выполнялось последнее равенство.
Закон сохранения момента количества движения утверждает, что при движении изолированной системы момент количества движения системы относительно некоторой точки, равный
,
где - радиус-вектор центра инерции части системы с массой ;
- скорость центра инерции этой части,
остается постоянным во все время движения, т.е.
, (8.3)
так как
.
Отсюда следует, что если внутри изолированной неподвижной системы в некоторый момент времени часть системы придет в движение, то остальная часть системы должна прийти в такое движение, чтобы общий момент количества движения оставался равным нулю.
Закон сохранения энергии гласит, что сумма всех видов энергии Е в изолированной или замкнутой системе остается во все время движения величиной постоянной, т.е.
. (8.4)
8.2. Закон изменения количества движения
Из курсов физики и теоретической механики известна теорема об изменении количеств движения, согласно которой производная по времени от главного вектора количеств движения массы, заключенной в некотором объеме , равна главному вектору всех внешних сил , приложенных к объему
. (8.5)
Рассмотрим применение этой теоремы к стационарно движущемуся потоку жидкости.
Когда количество движения жидкости в объеме , заключенном внутри некоторой неподвижной (так называемой контрольной) поверхности s, будет равно
.
Подставив значение в уравнение (8.5), получим
.
Так как, согласно закону о сохранении массы в течение всего времени масса частиц жидкости остается постоянной, т.е. , то предыдущее равенство запишется следующим образом
или в проекциях на оси координат
;
;
.
Сделаем далее преобразования лишь для проекции на ось х. Так как для стационарного движения и
а
;
;
,
то
Очевидно, что второй интеграл в правой части обращается в нуль, так как при стационарном движении сжимаемой жидкости .
Пользуясь формулой Остроградского - Гаусса для связи интегралов по поверхности s и по объему , заключенному в этой поверхности, в форме
,
получим выражение изменения количества движения в проекции на ось х в виде
где
есть проекция вектора скорости на нормаль к площадке ds и, следовательно, есть масса жидкости, проходящая через элементарную площадку контрольной поверхности s.
Проделав аналогичные операции с проекциями на оси у и z, получим
;
.
Следовательно, уравнение импульсов или закон изменения количеств движения для стационарного движения любых жидкостей и всех сплошных сред (мука, пыль, песок и пр.) можно представить в векторной форме в следующем виде
. (8.6)
Можно заметить, что полученный закон изменения количеств движения для сплошных сред существенно отличается от ранее приведенной его формулировки для твердого тела. Это отличие выражается в том, что вместо производной по времени от количества движения некоторого твердого тела с объемом для сплошной среды рассматривается так называемый перенос количества движения через замкнутую контрольную поверхность s. Причем для определения изменения количеств движения некоторой массы жидкости, заключенной внутри контрольной поверхности, достаточно изучить только то, что происходит на этой контрольной поверхности.