Следовательно, вместо уравнения (6.5) можно записать:

, (6.15)

или после интегрирования и определения постоянной подстановкой параметров свободной поверхности

. (6.16)

Полученное уравнение совпадает с формулой (6.13).

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постоянной угловой скоростью w вокруг его вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменяется; в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок - повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 6.6).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы - сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w²r.

Рис. 6.6. Поверхность жидкости при вращении открытого

сосуда вокруг вертикальной оси

Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому наклон этой поверхности с увеличением радиуса возрастает. Найдем уравнение кривой АОВ в системе координат z и r с началом в центре дна сосуда. Учитывая, что сила j является нормалью к кривой АОВ, из чертежа находим

tg a = dz/dr = w²r/g, (6.17)

откуда dz = w²rdr/g, или после интегрирования

z = w²r²/(2g) + C. (6.18)

В точке пересечения кривой АОВ с осью вращения r = 0, z = h = С, поэтому окончательно будем иметь:

, (6.19)

т.е. кривая АОВ является параболой, а свободная поверхность жидкости - параболоидом. Такую же форму имеют и другие поверхности уровня.

Пользуясь уравнением (6.19), можно определить положение свободной поверхности в сосуде, например максимальную высоту Н подъема жидкости и высоту h расположения вершины параболоида при данной угловой скорости w. Для этого необходимо использовать еще уравнение объемов: объем неподвижной жидкости равен ее объему во время вращения.

Для определения закона изменения давления во вращающейся жидкости в виде функции радиуса и высоты выделим вертикальный цилиндрический объем жидкости с основанием в виде элементарной горизонтальной площадки dS (точка М) на произвольном радиусе r и высоте z и запишем условие его равновесия в вертикальном направлении. С учетом уравнения (6.19) будем иметь

.

После сокращений получим

. (6.20)

Это значит, что давление возрастает пропорционально радиусу и уменьшается пропорционально высоте z. Если сосуд, вращающийся вокруг вертикальной оси, имеет крышку и заполнен жидкостью доверху, то ее форма измениться не может, но изменяется давление в соответствии с выражением (6.20).

Уравнение свободной поверхности жидкости можно найти, если положить р = р₀ После сокращений и преобразований уравнения (6.20) будем иметь

. (6.21)

7. Модель идеальной (невязкой) жидкости