9.5. Прогиб балок. Расчеты на прочность

Прогибом балки z в каком либо сечении называют перемещение центра тяжести этого сечения в направлении, перпендикулярном исходному положению продольной оси балки. Наибольший прогиб (рис. 9.9) называют стрелой прогиба f.

Рис. 9.9. Прогиб балок

Прогибы определяют путем составления и решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Кривизна изогнутой оси балки выражены

, (9.23)

где M_и- изгибающий момент в рассматриваемом сечении, Е- модуль Юнга при растяжении балки, J_y- осевой момент инерции сечения. Известно /3/, что кривизна k любой кривой, выражается зависимостью

. (9.24)

Приравняв правые части формул (9.23) и (9.24) получим общее уравнение упругой линии балки

(9.25)

Выражение, полученное выше, представляет нелинейное дифференциальное уравнение и решается с помощью эллиптических интегралов.

Однако для определенных значений dz/dx его можно упростить заменив это выражение на угол наклона касательной к упругой линии и учесть, что этот угол достаточно мал.

Тогда пренебрегая (dz/dx)² можно уравнение (9.25) записать в виде

. (9.26)

При этом знак плюс в правой части выбирается, если ось аппликат z направлена вверх, а выпуклость изогнутой положительными моментами оси балки - вниз. Для консольной балки (рис. 9.9 а) определим прогиб, считая, что и после первого интегрирования имеем

,

и после второго интегрирования получим

, (9.27)

где С и D – постоянные интегрирования, которые находятся из граничных условий при x=0 и равны соответственно C=0 и D=0. Наибольший прогиб балки f получается, если x=l и после подстановки в формулу (9.27) имеем

(9.28)

Для балки закрепленной в шарнирно-подвижной и шарнирно- неподвижной опорах наибольший прогиб равен

. (9.29)

Расчет на жесткость балок заключается в определении максимального прогиба f и сопоставления его с допускаемым значением. Условие достаточной жесткости для консоли имеет

вид

, (9.30)

где [f]- допускаемое значение стрелы прогиба.

Контрольные вопросы

1. Как определяются осевые моменты инерции плоских сечений?

2. Запишите формулы для определения полярного и центробежного моментов инерции плоских фигур.

3. Как определяются осевые и полярные моменты сопротивления сечений?

4. Чему равны осевые моменты инерции для прямоугольного сечения?

5. Как определяются осевые моменты сопротивлений прямоугольного сечения балки?

6. Чему равны осевые и полярный моменты инерции для круглого сечения балки?

7. Как рассчитываются осевые моменты инерции сложного сечения, у которого известны моменты инерции J_y и J_z относительно главных центральных осей?

8. Используя теорему Штейнера определить моменты инерции двутавровой балки, у которой размеры имеют следующие значения: h₁ =15 мм, h₂ =2 мм, b₁=3 мм, b₂=20 мм.

9. Как определяются изгибающий момент и поперечная сила при поперечном изгибе?

10. Чем отличается поперечный изгиб от чистого изгиба?

11. Как производится расчет напряжений при поперечном изгибе?

12. Объясните правила построения эпюр изгибающих моментов и поперечной силы?

13. Запишите условие прочности при поперечном изгибе.

14. Как определяют прогиб и кривизну оси балки?

15. Запишите дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

16. Чему равен максимальный прогиб балки, представляющей консоль?