- •1. Основные понятия
- •Функционал
- •1.2. Предмет вариационного исчисления
- •2. Первая вариация и необходимое условие экстремума
- •2.1. Приращения (вариация) аргумента функционала
- •2.2. Вариация функционала
- •2.3. Экстремум функционала
- •2.4. Необходимое условие экстремума
- •2.5. Уравнения Эйлера
- •2.5.1. Функционал
- •2.5.2. Функционал
- •2.5.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
- •2.6. Функционалы, содержащие производные высшего порядка
- •2.7. Функционалы от нескольких функций
- •Ответы и указания
- •3.1 Условный экстремум с интегральными связями
- •3.2. Условный экстремум с конечными или дифференциальными связями
- •3.3. Задачи с подвижными граничными на плоскости
- •3.3.1. Условия трансверсальности
- •3.3.2 Высвобождающие связи
- •4.Разрывные задачи
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы и указания
- •4. Достаточные условия экстремума
- •4.1 Вариации высших порядков
- •4.2 Условия экстремума в терминах второй вариации
- •4.3 Необходимые условия Лежандра
- •4.4 Поле экстремалей
- •4.6. Условие Якоби
- •4.7.Условия сильного экстремума. Функция Вейерштрасса
- •5. Канонические уравнения и вариационные принципы
- •5.1 Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду
- •5.2. Первые интегралы
- •6. Вариационные принципы
- •6.1 . Принцип Гамильтона в простейшем случае
- •6.2. Принцип Гамильтона для систем с конечным числом степеней свободы
- •6.3. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби
- •6.4. Вывод уравнения малых колебаний струны
- •6.5. Продольные колебания стержня
- •6.6. Поперечные колебания стержня
- •7. Общая схема вариационного подхода к физическим задачам
- •7.2. Диссипативные системы
- •7.3. Принцип минимума потенциальной энергии
- •7.3.1 Запас устойчивости
2.5.3. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера
1. F не зависит от : .
Уравнение Эйлера имеет вид , т.к. . (12)
Решение (относительно ) этого конечного уравнения не содержит произвольных постоянных, поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям , .
Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая проходит через граничные точки и , существует кривая, на которой может достигаться экстремум.
2. зависит лишь от : .
Здесь и уравнение Эйлера имеет вид . Отсюда или .
Если , то . Если же уравнение один или несколько действительных корней , то . Это решение содержится в двухпараметрическом семействе . Таким образом, в этом случае экстремалями являются всевозможные прямые линии.
Пример 4. Длина дуги .
Решение. Здесь тогда экстремали – прямые линии .
3. зависит лишь от и : . Из (15) следует, что уравнение Эйлера имеет вид
и, следовательно, имеет первый интеграл . Полученное уравнение первого порядка (относительно ) не содержит искомой функции.
Пример 5. Функционал определяет время, затрачиваемое на перемещение по кривой из одной точки в другую, если скорость движения . Действительно, из следует, что и .
Решение. Запишем первый интеграл уравнения Эйлера или .
Это уравнение проще всего решить, если ввести параметр, положив . Тогда
или , где .
;
. Таким образом,
; . Исключая , получим - семейство окружностей с центрами на оси ординат.
4. зависит лишь от и : . В этом случае в (16) отсутствует второе слагаемое
.
Умножим обе части этого уравнения на
.
Теперь это уравнение можно записать следующим образом:
.
Действительно,
.
Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл
,
где - произвольная постоянная.
Пример 6. Определить кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг оси абсцисс образуется поверхность наименьшей площади (рис. 8).
Р ешение. Запишем выражение для площади поверхности вращения
.
Подынтегральная функция зависит только от и , следовательно, первый интеграл уравнений Эйлера имеет вид
.
В данном случае .
Приведем в левой части к общему знаменателю
или . Проще всего это уравнение интегрируется подстановкой , тогда из уравнения . Так как , то ; .
Следовательно, уравнение искомой линии в параметрической форме имеет вид
Исключая параметр , получим и . Это – семейство цепных линий, от вращения которых получаются поверхности, называемые катеноидами. Постоянные и определяются из условия прохождения искомой линии через заданные граничные точки. В зависимости от положения точек А и В может существовать одно, два или ни одного решения.
П ример 7. Определить кривую, соединяющую точки А и В, при движении по которой материальная точка скатывается из точки А в точку В в кратчайшее время (трением и сопротивлением среды пренебречь) (рис. 9).
Решение. Запишем закон сохранения энергии
, т.е. , откуда , , .
Следовательно, , т.е. . Поэтому .
Искомая функция должна удовлетворять граничным условиям , .
Полученный функционал не содержит явно , поэтому уравнение Эйлера имеет первый интеграл . В данном случае
.
Упростим левую часть.
или .
Полученное уравнение можно преобразовать к виду y’=f(y) и решить его. Однако лучше совершить искусственную подстановку .
Отсюда дифференцируя, получим . Возведем обе части уравнения в квадрат и воспользуемся подстановкой , отсюда или . Далее следуют преобразования
Следовательно, . (Знак можно не писать , т.к. t можно заменить на –t). Получим уравнение линии в параметрической форме
Так как линия должна пройти через точку (0;h) при t=0, то из первого уравнения видно, что =0. Получаем
Эти уравнения определяют “перевёрнутую” циклоиду (семейство циклоид), получаемую при качении круга
По прямой y=h (рис.9).
Рис. 9
Значение R выбирается так, чтобы удовлетворить второму граничному условию, а именно, чтобы циклоида прошла через точку (b,0). Подставляя эти координаты в уравнения и, исключая t, можно получить трансцендентное уравнение для R.
Замечание. Если , тогда искомая линия частично проходит ниже точки финиша. Если трасса достаточно длинна, то выгодно сначала заглубить её, чтобы точка набрала достаточную скорость, быстро прошла трассу, а у финиша уже поднялась на требуемую высоту.