работы A, произведенную силой F(x) на всем отрезке [a b;]: |
|
A ≈ An = ∑n F(ci )∆xi . |
(2.3) |
i=1 |
|
Формула (2.3) тем точнее, чем мельче разбиение отрезка [a b;], поэтому неограниченно измельчают разбиение [a b;], т.е. n → ∞, max ∆xi → 0 , при
1≤i≤n
этом вычисляя для каждого разбиения приближенное значение An искомой
работы. В качестве искомой работы A берут предел, к которому стремится
An , т.е.
A = |
lim |
∑n F(ci )∆xi . |
(2.4) |
|
n→∞ |
i=1 |
|
|
max ∆xi →0 |
|
|
|
1≤i≤n |
|
|
Рассмотренные задачи привели к формулам (2.2) и (2.4), в которых для получения ответа проводится одинаковая процедура разбиения отрезка и вычисляются однотипные пределы. Можно привести примеры других геометрических и физических задач, в которых искомые величины ищутся таким же методом. Далее, отвлекаясь от конкретного содержания задачи, рассмотрим математическую задачу отыскания пределов, стоящих в правых частях формул (2.2) и (2.4).
2.1.2. Определение определенного интеграла
Пусть на отрезке [a b;] задана функция y = f (x). Разобьем отрезок произвольными точками x0 = a, x1 , , xn = b на n частей. Выберем на каждом отрезке разбиения [xi−1 , xi ] произвольную точку сi и вычислим в этой точке
значение функции f (ci ) (i =1, ,n ). Составим сумму |
|
Sn = ∑n f (ci )∆xi , |
(2.5) |
i=1 |
|
которую называют интегральной суммой для функции f (x) на [a b;].
Если провести процедуру неограниченного измельчения разбиения отрезка [a b;], т.е. n → ∞, max ∆xi → 0 и для каждого разбиения в этой
1≤i≤n
процедуре найти интегральную сумму (2.5), то получим последовательность {Sn } интегральных сумм.
|
Определение. Если существует lim Sn = |
lim |
∑n f (ci )∆xi , не зависящий |
||
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
max ∆xi →0 i=1 |
||
|
|
|
max ∆xi →0 |
1≤i≤n |
|
|
|
|
1≤i≤n |
|
|
|
|
|
|
|
|
от |
способа разбиения |
отрезка |
и выбора |
для |
каждого разбиения точек |
сi |
(i =1, ,n ), то этот |
предел |
называют |
определенным интегралом от |
|
функции f (x) на отрезке [a b;] и обозначают ∫b f (x)dx . Иными словами,
a
44
∫b f (x)dx =
a
lim |
∑n f (ci )∆xi . |
(2.6) |
n→∞ |
i=1 |
|
max ∆xi →0 |
|
|
1≤i≤n |
|
|
В обозначении определенного интеграла ∫ - знак интеграла, f (x) - подынтегральная функция, f (x)dx - подынтегральное выражение, [a b;] -
отрезок интегрирования, a и b - пределы интегрирования ( a - нижний предел, b - верхний предел) и x - переменная интегрирования. Если существует определенный интеграл от функции f (x) на [a b;], то эту
функцию называют интегрируемой на отрезке [a b;].
Теорема Коши. Если f (x) непрерывна на отрезке [a b;], то она
интегрируема на этом отрезке.
Из этой теоремы следует, что в формулах (2.2) и (2.4) пределы существуют и равны соответствующим определенным интегралам, поэтому эти формулы можно переписать в виде
S = ∫b f (x)dx |
(2.2') |
a |
|
и |
|
A = ∫b F(x)dx . |
(2.4') |
a |
|
Формула (2.2') говорит о геометрическом смысле определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной трапеции (см. рис. 2.1).
Чтобы научиться вычислять определенный интеграл, рассмотрим сначала его свойства, вытекающие из определения.
2.1.3. Свойства определенного интеграла
Ниже будем предполагать, что все определенные интегралы, о которых идет речь, существуют.
Свойство 2.1. Определенный интеграл зависит от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначать любой буквой, т.е.
∫b f (x)dx = ∫b f (t)dt .
aa
Свойство 2.2. При введении понятия определенного интеграла
∫b f (x)dx мы предполагали, что a <b. В случае b<a примем по определению
a
∫b f (x)dx = − ∫a f (x)dx .
a |
b |
Свойство 2.3. В случае a = b полагаем по определению, что для любой
45
f (x) |
имеет место равенство ∫a f (x)dx = 0 , |
то есть определенный интеграл с |
||||
|
|
|
a |
|
|
|
одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. |
|
|||||
|
Свойства 2.2 и 2.3 не противоречат определению определенного |
|||||
интеграла. Действительно, |
если a >b и по определению |
x0 = a, , xn = b , то |
||||
все |
∆xi < 0, т.к. |
x0 > x1 > |
> xn . Поэтому |
любая |
интегральная сумма для |
|
∫b f (x)dx равна |
некоторой интегральной |
сумме |
для |
∫b f (x)dx , взятой с |
||
a |
|
|
|
|
|
a |
противоположным знаком. А в свойстве 2.3 можно считать, что все ∆xi = 0 (i =1, ,n ), поэтому любая интегральная сумма равна 0.
Свойство 2.4. Для любого действительного числа m : ∫b mdx = m(b − a).
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
Доказательство: Вычислим ∫b mdx (m = const) с помощью нахождения |
||||||||
предела интегральной суммы |
a |
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|||||
b |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
∫ |
mdx |
= lim |
∑m∆xi = m lim |
∑∆xi и т.к. |
∑∆xi |
равна длине отрезка |
||
|
max |
∆xi →0 |
i=1 |
max ∆xi →0 |
= |
i=1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
[a b;], т.е. ∑∆xi |
= b − a , то свойство доказано. |
|
|
|||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 2.5. Постоянный множитель можно выносить за знак |
||||||||
определенного интеграла: если A = const , то |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∫b Af (x)dx = A∫b f (x)dx . |
|
||
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
Доказательство. Используем определение определенного интеграла |
||||||||
как предела интегральной суммы: |
|
|
|
|||||
|
∫b |
Af (x)dx = maxlim∆xi →0 ∑n |
Af (ci )∆xi = Amaxlim∆xi →0 |
∑n f (ci )∆xi = A∫b f (x)dx . |
||||
|
a |
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
a |
Свойство 2.6. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.
Так, в случае двух слагаемых
∫b [f1 (x)+ f2 (x)]dx = ∫b |
f1 (x)dx + ∫b f2 (x)dx . |
||
a |
a |
|
a |
Доказательство. По определению |
|
|
|
∫b [f1 (x)+ f2 (x)]dx = maxlim∆xi →0 |
∑n [f1 (ci )+ f2 (ci )]∆xi = |
||
a |
|
|
i=1 |
46
= lim |
∑n |
f1 (ci )∆xi + ∑n |
f2 (ci )∆xi |
|
= |
|
i |
→0 |
|
|
|
|
|
max ∆x |
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
∑n f1 (ci )∆xi + |
lim |
∑n f2 (ci )∆xi = |
||
max ∆x |
→0 |
i=1 |
max ∆x |
→0 |
i=1 |
i |
|
i |
|
||
= ∫b f1 (x)dx + ∫b f2 (x)dx .
aa
Доказательство проводится аналогично для любого конечного числа слагаемых.
Свойство 2.7. Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство:
∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx , |
(2.6) |
a |
a |
c |
|
|
если только все три интеграла существуют.
Доказательство. Предположим сначала, что a <c <b, и составим интегральную сумму для функции f (x) на отрезке [а;b]. Так как предел
интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [а;b] на части, то мы будем разбивать отрезок [а;b] на малые отрезки так, чтобы точка с была одной из точек xi . Представим интегральную сумму, соответствующую отрезку [а;b], в виде суммы двух слагаемых, одно из которых соответствует отрезку [а;c], а второе соответствует отрезку [c;b].
|
n |
n1 |
n |
|
|
|
|
Тогда ∑ f (ci )∆xi = ∑ f (ci )∆xi + ∑ f (ci )∆xi |
|
|
|
||||
|
i=1 |
i=1 |
i=n1 +1 |
|
|
|
|
Переходя в последнем равенстве к |
пределу |
при |
max ∆xi → 0, n → ∞, |
||||
получим формулу (2.6). |
|
|
|
1≤i≤n |
|
||
вне отрезка [а;b], например |
|
|
|||||
Если |
точка |
с лежит |
a < |
b< c , то на |
|||
основании доказанного можем написать |
|
|
|
|
|||
∫с f (x)dx = ∫b |
f (x)dx + ∫с |
f (x)dx или ∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx − ∫с |
f (x)dx . |
||
a |
a |
b |
a |
a |
|
b |
|
Из свойства 2.2 следует, что
∫с f (x)dx = − ∫b f (x)dx , поэтому ∫b f (x)dx = ∫c f (x)dx + ∫b f (x)dx .
|
|
|
|
|
b |
|
c |
|
|
|
a |
a |
|
c |
|
y |
|
|
|
|
y = f(x) |
|
|
|
|
На рис. |
2.3 |
дана |
геометрическая |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иллюстрация свойства 2.6 для случая, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда |
f (x)≥ 0 |
и |
a <c <b: площадь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трапеции равна сумме площадей двух ее |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частей. |
|
|
f (x)≥ 0 на [а;b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 2.8. Если |
|||
|
О |
|
|
а |
с |
b х |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( a <b), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 2.3
47
∫b f (x)dx ≥ 0.
a
Доказательство. По определению
∫b f (x)dx =
a
limn ∑n f (ci )∆xi .
→x∞ i=1 max ∆ i →0
1≤i≤n
Интегральная сумма всегда неотрицательна, |
т.к. |
f (ci )≥ 0 и |
∆xi > 0 |
|
(i =1, ,n ). По теореме о неотрицательности |
предела |
неотрицательной |
||
величины получаем доказываемое неравенство. |
|
|
|
|
Следствие 1. Если f (x)≤ 0 на [а;b] ( a <b), то ∫b |
f (x)dx ≤ 0. |
|
||
|
a |
|
|
|
Действительно, по свойству 2.4 имеем ∫b |
f (x)dx = − ∫b (− f (x))dx |
и т.к. |
||
a |
|
|
a |
|
(− f (x))≥ 0 на [а;b], то получаем нужное неравенство.
Следствие 2. Если f1 (x)≤ f2 (x) на [а;b] и a <b, то
∫b f1 (x)dx ≤ ∫b f2 (x)dx .
aa
Из условия ( f1 (x)− f2 (x)) ≤ 0 на [а;b] и из следствия 2
∫b (f1 (x)− f2 (x))dx ≤ 0 ,
a
но по свойствам 2.4, 2.5
∫b (f1 (x)− f2 (x))dx = ∫b f1 (x)dx − ∫b f2 (x)dx ≤ 0 ,
a |
a |
a |
откуда
∫b f1 (x)dx ≤ ∫b f2 (x)dx .
a |
a |
|
Свойство 2.9. Если a ≤ b и для a ≤ x ≤ b выполняется условие |
|
|
|
m ≤ f (x)≤ M , |
(2.7) |
то |
m(b − a)≤ ∫b f (x)dx ≤ M (b − a). |
|
|
(2.8) |
|
a
Доказательство. Из условия (2.7) и доказанного выше следствия 2 вытекает, что
∫b mdx ≤ ∫b f (x)dx ≤ ∫b Mdx ,
a |
a |
a |
а отсюда, с учетом свойства 2.4, следует (2.8).
Если в условии (2.7) m ≥ 0 , то неравенства (2.8) имеют простой геометрический смысл (рис. 2.4):
48
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольник с основанием [а;b] и |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высотой, равной m содержится в |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f(x) |
|
||||
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
криволинейной трапеции, а она, в |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свою |
очередь, |
содержится |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольнике с тем же основанием |
|||
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
и высотой, равной M , поэтому их |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площади |
связаны |
неравенствами, |
|
О |
|
а |
Рис. 2.4 |
b х |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующими (2.8). |
f (x) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Свойство 2.10 |
(теорема о |
среднем значении). Если функция |
|||||||
непрерывна на отрезке [а;b], то на этом отрезке найдется такая точка с, что справедливо равенство
∫b |
f (x)dx = f (c)(b − a). |
(2.9) |
a |
|
а<b. Т.к. f (x) |
Доказательство. |
Пусть для определенности |
непрерывна на [а;b], то она достигает на [а;b] наименьшего значения m и наибольшего значения M и поэтому f (x) удовлетворяет условию (2.7) на [а;b]. Значит, по свойству 2.9 выполнены неравенства (2.8), которые можно переписать в виде
|
|
|
m ≤ |
|
1 |
|
∫b f (x)dx ≤ M . |
|
||
|
|
|
b − a |
|
||||||
|
|
|
|
a |
|
|||||
Из этих неравенств следует, что число µ [m; M ], где |
|
|||||||||
|
|
|
µ = |
1 |
|
∫b f (x)dx . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
b − a a |
|
|||
Так |
как f (x) |
непрерывна на отрезке [а;b], то она принимает все |
||||||||
промежуточные значения, заключенные между m и M . |
f (c)= µ , то есть |
|||||||||
Следовательно, |
при некотором значении c ( a ≤ c ≤ b ) |
|||||||||
1 |
∫b f (x)dx = f (c), что равносильно (2.9). |
|
||||||||
|
b − a |
|
||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойство 2.11. Если f (x) - нечетная функция, то есть f (− x)= − f (x), |
||||||||
определенная на [− а;a], то |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∫a f (x)dx = 0. |
|
|||||
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|||
|
|
Иными словами: определенный интеграл от нечетной функции по |
||||||||
симметричному относительно нуля промежутку равен нулю. |
||||||||||
|
|
Если f (x) |
- четная функция, |
|
то есть f (− x)= f (x), |
определенная на |
||||
[− а;a], то ∫a f (x)dx = 2∫a f (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
49