- •1. Квантовая механика и физика атома
- •2. Элементы статистической физики и термодинамики.
- •1. Колебания.
- •2. Волны.
- •Вопросы для подготовки к экзамену По разделу «Элементы квантовой и статистической физики» Квантовая физика и физика атома.
- •Статистическая физика и термодинамика.
- •Основные физические постоянные (округленные значения)
- •Плотность твердых тел
- •Массы атомов легких изотопов
- •Масса и энергия покоя некоторых частиц
1. Колебания.
1.1. Общие представления.
Сформулируйте определение колебательного процесса. Какие различия по повторяемости и виду их колебательной функции можно выделить?
Как называются идеальные колебания и в чем заключается их совершенство?
В чем особенность периодических колебаний? Могут ли они представляться несинусоидальной зависимостью?
Обоснуйте роль инерции и наличие равновесного положения у системы в случае ее колебательного движения.
Какие колебания называют свободными, какие - вынужденными? В чем отличие последних от так называемых автоколебаний?
Могут ли свободные колебания быть затухающими? Какие реальные колебания являются незатухающими? Вспомните, при каком условии они возможны?
В чем состоят различия в путях восполнения энергетических затрат системы в случае вынужденных, параметрических и автоколебательных процессов?
Можно ли утверждать, что условие малости колебаний (малых отклонений от положения равновесия) - главный признак их линейности? Зависит ли период таких колебаний от амплитуды?
Являются ли линейными гармонические колебания и автоколебания?
Приведите связь периода T и частоты колебаний υ. Какова взаимосвязь этих параметров с циклической частотой ω?
Известно, что для периодической функции справедливо представление f(t+T)=f(T). Убедитесь, что функция cos(ωt+α) является периодической при α = const и с учетом того факта, что ω выражается через период T.
Что называют сложением колебаний? Являются ли «биения» при колебаниях примером указанного процесса?
Напишите уравнения для двух простейших взаимно–перпендикулярных колебаний.
Что понимается под термином «фигуры Лиссажу»? В каких случаях при сложении взаимно–перпендикулярных колебаний они возникают на экране осциллографа?
1.2. Свободные колебания.
Как известно, уравнение x(t)=Acos(ω0t+α0) описывает гармонические колебания величины х . Что здесь называют смещением и что – фазой колебаний?
Являются ли амплитуда А и начальная фаза α0 в уравнении п.15 величинами, независящими от времени? Может ли в принципе амплитуда свободных колебаний измениться с течением времени?
Может ли смещение х иметь одинаковые значения для двух разных фаз колебаний уравнения п.15 φ= (ω0t +α0)? Если да, то на какую минимальную величину должны отличаться фазы колебаний такой системы (осциллятора)?
Представьте направленный отрезок (вектор), который совершает с постоянной циклической частотой ω вращение относительно некоторой точки О в плоскости листа. Спроецируйте конец этого вектора на некоторую ось (назовем ее ОХ). Запишите функцию x(t). Сравните ее с законом гармонических колебаний груза на пружине. Что схожего в этих процессах. Может ли полученная векторная диаграмма моделировать линейные колебания груза на пружине?
Как известно, дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид , где ω0 – собственная циклическая частота колебаний. Убедитесь подстановкой, что уравнение п.15 x(t)=Acos( является решением указанного дифференциального уравнения.
Является ли дифференциальное уравнение п.19 однородным, линейным? Каков его порядок? Одинаков ли порядок двух уравнений и +βх=0? Если нет, то у какого из двух уравнений он выше?
Какие колебания описывает дифференциальное уравнение +2β∙ + =0? Каков смысл входящих в него параметров и β ?
Чему равна циклическая частота колебаний, описываемых дифференциальным уравнением п.21, в самом общем случае?
Отличаются ли собственные частоты свободных колебаний в случае затухающего и в случае незатухающего процессов?
Вспомните значения ω0 для трех простейших колебательных систем: математического маятника, идеального электрического контура, колеблющегося на пружине грузика?
Чему равно значение коэффициента затухания β в уравнении п.21 для колебаний грузика с массой m на пружине с жесткостью k при коэффициенте сопротивления среды r ?
Запишите выражение для β для случая затухающих колебаний электрического заряда в L–R–C контуре, считая известными значения индуктивности, емкости и активного сопротивления. Дайте выражение циклической частоты затухающих колебаний.
Как изменится частота гармонических колебаний математического маятника, если длина его нити увеличится в 4 раза? Как изменится период его колебаний?
Убедитесь, что период собственных затухающих колебаний груза на пружине при ω0 = 5,1π с -1 и β = π с -1 равен Т = 0,4 с.
Как изменится собственная частота колебаний груза на пружине, если ее жесткость уменьшится в 4 раза, а масса увеличится в 9 раз?
Уравнение гармонических (свободных, незатухающих) колебаний заряда в идеальном контуре Томсона имеет вид: q(t)= cos( . Используя выражение для силы тока в контуре i(t) = , убедитесь, что сдвиг по фазе между i(t) и q(t) равен (изменение тока опережает по фазе изменение электрического заряда на обкладках конденсатора).
Убедитесь, что при гармонических колебаниях в электрическом L – С –R контуре в случае известных начальных значений = q( при t = 0) и для начальной фазы колебаний справедливо соотношение .
Закон изменения напряжения на обкладках конденсатора в последовательном L–R–C контуре имеет вид .
Что здесь является амплитудой колебаний напряжения?
Функциональная зависимость изменения смещения x(t) для свободных затухающих колебаний представлена на рис.1. Штриховая огибающая удовлетворяет соотношению . Найдите на рисунке значение начальной амплитуды колебаний, определите период, частоту и время релаксации колебаний. Пользуясь данными рисунка, вычислите значение коэффициента затухания β и логарифмического декремента затухания .
Как называют физическую величину, равную ? Если за время τ амплитуда убывает в е = 2,7 раза, то следует ли из рис.1, что ?
Убедитесь, что значение β, приведенное в п.34, близко, к значению, полученному из выражения для логарифмического декремента затухания , где по определению . Здесь N – число полных колебаний, T – период, а под знаком логарифма приведено отношение амплитуды колебаний в разные моменты времени.
Дайте определение апериодического колебания и нарисуйте кривую , соответствующую такому процессу, называемому иначе релаксационным.
Емкость электрического контура, в котором проходят свободные затухающие колебания Ф, индуктивность Гн. Докажите, что критическое сопротивление для контура Ом.
Убедитесь, что величина добротности для L–R–C контура, в котором проходят затухающие колебания, безразмерна.
Покажите, что при апериодическом процессе ( активное сопротивление электрического контура равно критическому .
1.3. Вынужденные колебания.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний некоторой системы имеет вид . Запишите решение этого уравнения для установившегося режима колебаний. Объясните смысл входящих в него параметров.
С какой частотой в установившемся режиме происходят вынужденные колебания? Больше или меньше она , или всегда равна ей?
Может ли циклическая частота вынужденных колебаний в контуре, содержащем периодическую э.д.с, меняющуюся с частотой , быть больше или меньше резонансной частоты ?
Чему равна резонансная частота для силы тока в контуре п. 42?
Вынужденные колебания описываются уравнением . Для какого режима колебаний это возможно? Каков смысл параметра ? Имеется ли сходство таких (п.43) колебаний с гармоническими?
Выражение определяет амплитуду вынужденных колебаний некоторой колебательной системы. Здесь амплитуда вынуждающей периодической силы, т - масса колеблющегося элемента, β - коэффициент сил сопротивления, собственная частота системы, частота вынуждающей силы – частота колебаний. При каком значении амплитуда колебаний будет наибольшей?
Можно ли утверждать, что решением дифференциального уравнения п.40 при является уравнение п.44.
Сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смещением при вынужденных колебаниях дается выражением
.
Покажите, что для последовательного электрического контура, для которого смещение , для фазового сдвига справедливо равенство
.
Покажите, исходя из выражения п. 45, что резонансная (при
амплитуда вынужденных колебаний имеет вид
Как изменится эта формула, если затуханием в системе пренебречь, т.е. считать ?
На рис.2 приведена в условных единицах резонансная кривая колебаний заряда в электрическом контуре. Исходя из смысла резонансной и амплитуд, убедитесь, что добротность электрического контура численно равна 3.
На риз.3 приведены две качественные резонансные кривые для напряжения на конденсаторе – (1) и силы тока – (2) в контуре, содержащем периодическую э.д.с. Пронумеруйте эти кривые. Запишите выражения резонансных частот для обоих случаев.
Что определяет отношение для кривой рис.3 (см. пункт 49)?
Что даёт сечение резонансной кривой по уровню ? Что определяет отношение , где и – циклические частоты, отвечающие указанному сечению?