Добавил:

Mffff4 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Физика

Файл:

Fizika_Ch_1_Fizicheskie_osnovy_mekhaniki_Elektrichestvo_Elektromagnetizm_4553276

.pdf

Скачиваний:

190

Добавлен:

20.04.2022

Размер:

1.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

C1 U1

C1 C2

Подставив выражение U2

в формулу (3), получим

C U

C C

C 2

2 C1 C2

После простых преобразований найдем

C1 C2

U 2 .

C1 C2

В полученное выражение подставим числовые значения и вычислим W′:

3 106 5 106

1600 1,5 мДж.

10 6

5 10 6

П р и м е р

8. Потенциометр с сопротивлением r = 100 Ом подключен к

батарее, ЭДС которой ε = 150 В и

внутреннее

сопротивление

ri =50 Ом

(Рис.

11). Определить

•

показания

вольтметра

сопротивлением rв

500

Ом,

соединенного с одной из клемм

потенциометра

подвижным

контактом,

установленным

посередине

потенциометра.

Рис. 11

Какова

разность

потенциалов

между

теми

же

точками

потенциометра при отключенном вольтметре?

Р е ш е н и е.

Показание

U1 вольтметра, подключенного к точкам А и В

(рис.11), определяется по формуле:

U1 I1 r1,

(1)

где I1 - сила тока в неразветвленной части цепи;

r1 - сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.

Силу тока I1 найдем по закону Ома для всей цепи:

I1	ε	,	(2)

	rL ri

где rL - сопротивление внешней цепи.

Внешнее сопротивление rL есть сумма двух сопротивлений:

r		r	r .	(3)

L	2		1

Сопротивление r1 параллельного соединения может быть найдено по формуле:

	1		1	1		,
					r
	r1		rв
				2
откуда
r1			r rв				.
		r 2
				rв

Подставив числовые значения, найдем

r1		100 500		45,5	Ом.

	100		2 500

Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), определим силу тока

I1		ε		150	1,03	А.

	r			45,5 50
	r		50	45,5 50
		r1	ri
	2	r1	ri
	2

Если подставить значение I1 и r1 в формулу (1), то можно определить показание вольтметра

U1 = 1,03 45,5 = 46,9 В.

Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления

потенциометра, т. е.

U		= I			r	или U		=	ε		r	.
U	2	= I	2			или U	2	=				.
	2		2	2			2		r + r	2
				2					r + r	2
									i

Подставляя сюда числовые значения, получим

U		150		100	50 В.
	2	100 50
			2

П р и м е р 9. ЭДС батареи ε = 12 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, Imax = 6 А. Определить максимальную мощность Pmax , которая

может выделиться во внешней цепи.

Р е ш е н и е. Воспользуемся законом Ома для полной цепи

I		,

	R r
	i
		42

R ri 4

где ε – ЭДС источника;

R- сопротивление внешней цепи;

ri - внутреннее сопротивление источника тока.

Максимальное значение тока достигается в случае, когда

R = 0; т. е. Imax . ri

Мощность, выделяемая в цепи, в общем виде определяется формулой

P I2	R	2	R	.
		R ri 2

Для того чтобы определить экстремальную мощность, воспользуемся условием dRdP 0 , в результате дифференцирования дробного выражения получим

dRdP 2 R ri 2 R 2 R ri 0 .

Следовательно, для равенства нулю первой производной достаточно, чтобыR ri 2 R 2 R ri = 0, т. е. экстремальная мощность выделяется в цепи при условии R ri , а максимальная мощность выделяется в цепи при максимальном токе, поэтому можно записать

P P	2	I	max	18 Вт.

max	4 ri	4
R ri

П р и м е р 10. Сила тока в проводнике сопротивлением r = 20 Ом нарастает в течение времени t = 2 с по линейному закону от I0 0 до I = 6 А.

Определить теплоту Q1 , выделившуюся в этом проводнике за первую и Q2 -

за вторую секунды, а также найти отношение Q2 . Q1

Р е ш е н и е. Закон ДжоуляЛенца в виде Q I2 r t справедлив для случая постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде

dQ I2 r dt .	(1)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае
I k t ,	(2)
	43

где k- коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени, т. е.

k I		6	А/с.

t	2
С учетом (2) формула (1) примет вид
dQ k2 r t 2 dt .				(3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный промежуток времени t, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t1 до t 2

Q k2 r t 2 t2dt 1 k2 r t23 t13 .

t1 3

При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы интегрирования t1 0 , t 2 1 с и, следовательно,

	1	6	2
Q1			20 1 0 60 Дж.
	3
		2

При определении теплоты Q2 пределы интегрирования t1 1 с, t 2 2 с и
		1		6		2
Q2						20 8 -1 420 Дж.
		3
				2
Следовательно,
	Q2		420		7 ,

	Q1	60

т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.

П р и м е р 11 . Электрон , влетевший в однородное магнитное поле под некоторым углом к линиям индукции В 0,1Тл, движется по винтовой

линии с радиусом R=0,2 мм и шагом h =1,4 мм. Определить скорость электрона .

Дано: B 0,1Тл;		R 0,2 мм 2 10-4	м; h 1,4 мм 1,4 10-3 м.
Найти : v
				Р е ш е н и е. На
	V┴ V			движущийся	в
			B	магнитном поле электрон
			B	(рис. 12) действует сила
	V║			(рис. 12) действует сила
	V║				Лоренца,
					Лоренца,
				перпендикулярная

	h	h	44

Рис. 12

векторам магнитной индукции B и скорости электрона v . Абсолютная величина силы Лоренца выражается формулой

F	e		^	^
F	e	v Bsin v	B	, где v B α.

Известно, что постоянная сила, перпендикулярная скорости, вызывает движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной

вектору В , со скоростью v .

Одновременно он будет двигаться и вдоль поля со скоростью v | | : v v sinα , v| | v cosα

В результате происходит движение электрона по винтовой линии

e v B sinα e v sinα B e v B	m v2	; R	m v	. (1 )
	R
			e B

Шаг винтовой линии, т.е. путь, проходимый электроном вдоль поля за время

одного оборота,

h v| | T .

Поскольку T

2π R

, для шага получаем выражение

2π m

(2)

e B

| | .

Выразим составляющие скорости электрона из (1) и (2):

v v sin α

v v cos α

2π

Исключая угол α , находим

v :

R 2

h 2

4π 2

Проверим размерность результата:

Кл

Н с

B R 2

Тл

м2

4π2

кг

Кг м Кл

Рассчитаем результат:

v	2 10 4 2	1,42 10 6	1,6 1019	м	1,6 106	м/с
		4π2	9,1 1031	с
						‒

П р и м е р 12. При наблюдении эффекта Холла в пластине с шириной в 1см (рис. 13) холловская разность потенциалов составила

				_
			_
		_
	‒	Fл	V	+
	‒	Fл		+

		e		+
		e
		+
j =nev		+

Рис. 13

Ux 3мкВ.Определить

скорость

упорядоченного движения носителей тока v ,

bесли магнитная индукция B 1Tл .

Дано:

B	B 1Тл, U	x	3ммк 3 106	В, в 1см 102 м
B		x

Найти: v

Р е ш е н и е . Получим выражение для U x . Пусть ток течет по пластине, помещенной в магнитное поле, перпендикулярное ее широким граням. На носители тока, имеющие скорость упорядоченного движения v ,

действует сила Лоренца Fл :

Fл e v B .

Сила Fл перпендикулярна v , она отклоняет носители к ”горизонтальным” (см. рис. 13) граням, вызывая перераспределение зарядов и, следовательно, дополнительное поперечное электрическое поле E и связанную с ним холловскую разность потенциалов Ux . Величину последней найдем из

условия стационарности возникшего электрического поля, выражаемого равенством силы Лоренца силе, действующей со стороны этого поля :

		e v B e E .	(1)
Поскольку E	Ux	получим
Поскольку E	в	получим
	в
		Ux v в B .	(2)

Скорость v можно выразить из формулы для плотности тока j n e v , где n – концентрация носителей тока:

v	j		(3)
		.
	n e
С учетом этого имеем
	Ux R в jB ,		(4)

где R	1	-постоянная Холла.
	n e

Ответ на вопрос задачи получим из формулы (2):

v	Ux
		.
	в B

Проверим размерность результата:

В м

м В с

в B

мТл

Рассчитаем результат:

3 106

3 10

4 м

102

П р и м е р 13. Плоский квадратный контур со

стороной

а 10 см, по

которому

течет ток

I 100A ,

свободно установился в однородном

магнитном поле с индукцией B=1Тл (рис. 14).

Определить работу A , совершаемую внешними

силами при повороте контура относительно оси,

проходящей

через

середину

его

Рис. 14

противоположных сторон,

на угол:

1) 1

90 ;

2) 2 3 .

При

повороте

контура сила

тока в

нем поддерживается неизменной.

Дано: I 100 А , B 1Tл , 1

90 , 2 3 , a 0,1м

Найти: А1, A2 .

Р е ш е н и е . Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент сил

M pm B sin ,

(1)

где pm -магнитный момент контура, B –магнитная индукция; - угол между вектором pm , направленным по нормали к контуру, и вектором B.

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю M 0 , а значит, 0 ,

т.е. вектора pm и B совпадают по направлению.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникающий момент сил, определяемый формой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота ), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

		dA M d
Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что p							m	I S I a 2	,
							m
где I - сила тока в контуре, S a 2 -					площадь контура, получим
		dA I B a 2 sin d				(2)
1. Работа при повороте на угол 1 90 :
	π			π

	2


A1 = I Ba 2	sin d I B a 2 cos		2		I Ba 2	(3)
	0		0
	0

2. Работа при повороте на угол 2 3 . В этом случае, учитывая малость угла 2 , заменим в выражении (2) sin :

		1
A2 I B a2	2 d		IB a2	22
		2
	0

Здесь 2 следует выразить в радианах .

Рассчитаем результат:

A1 100 1 0,1 2			Дж 1 Дж,
A2	1	100 0,1 2	0,052 2 Дж 1,37 мДж.
	2

Отметим, что задача могла быть решена и другим способом. Известно, что работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур

		A I Ф I Ф1 Ф2 ,
	где	Ф1 -магнитный	поток	,
	пронизывающий контур до перемещения ;
	Ф2 -то же после перемещения .
α	П р и м е р 14. В однородном магнитном
l ∆φ	поле (B = 0,2 мТл) равномерно вращается
l ∆φ	с частотой n 1,5Гц проводник длиной
Bn	с частотой n 1,5Гц проводник длиной
Bn	ω
l∙∆φ		48
l∙∆φ

Рис. 15

l 1 м , с током I 2А .	Ось вращения	проходит	через один	из концов
проводника и составляет	угол α 60 c	вектором	B (рис.15).	Определить

мощность N , затрачиваемую на вращение проводника.

Дано: B 0,2мТл, I 2A, l 1м, α 60 , n 1,5Гц .

Определить : N .

Р е ш е н и е . Работа перемещения проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на изменение потока индукции магнитного поля через площадь поверхности, которую описывает проводник при своем движении :

A I

Φ .

(1)

Мощность определяется работой, совершаемой за единицу времени :

(2)

Используя (1), получим выражение

для мощности, затрачиваемой на

перемещение проводника,

N I

ΔΦ

(3)

Для нахождения

ΔΦ

определим площадь

S ,

которую

описывает

проводник за время

t (см. рис. 15):

l l

l2 ω

t ,

(4)

где 2 n

Магнитный поток через площадь

S равен

ΔΦ Β

l2 ω

t .

(5)

Подставив (5) в (3) , получим необходимое выражение искомой мощности

N	1	I B		l2	ω π n l2 I B cosα .
N		I B	n	l2	ω π n l2 I B cosα .
2			n
2
Проверим размерность результата :
					N n l2 I B с1	м2 А Тл Вт .

Произведем вычисления:

N 3,14 1,5 2 103 0,2 Вт 18,8 104 Bт 1,88 мBт .

П р и м е р 15. В однородном магнитном поле B 0,1Tл равномерно с частотой n 10об/с вращается рамка, содержащая N 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу (рис. 16). Площадь

n			рамки	S 150см2 . Определить			мгновенное
			значение ЭДС индукции εi , соответствующее
	φ = ωt		углу поворота рамки			30 .
	φ = ωt
		B	Дано:			B 0,1Tл , n 10 об/с ,
		B	N 103		S 150 см2	1,5 10-2 м2	, 30 .
			N 103	,	S 150 см2	1,5 10-2 м2	, 30 .
			Найти	εi .
	Рис. 16		Р е ш е н и е . Мгновенное значение ЭДС
	Рис. 16		индукции		εi определяется		основным
			индукции		εi определяется		основным

уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла :

(1)

где ψ - потокосцепление.

Потокосцепление ψ связано с магнитным

потоком

и числом

витков, плотно прилегающих друг к другу, соотношением

ψ NΦ .

Подставляя выражение для ψ

в формулу (1), получим

(2)

При вращении рамки

(рис.

16)

магнитный поток

Φ ,

пронизывающий

рамку в момент времени t , изменяется по закону

Φ B S cosω t

где B –магнитная индукция, S

площадь рамки,

- круговая

(или

циклическая) частота.

Подставив в формулу (2) выражение для

и продифференцировав по

времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции

εi N BSω sinω t .

(3)

Круговая частота ω связана с частотой вращения n соотношением

ω 2 π n .

Подставляя значение ω в формулу (3),получим

εi 2 π nNВS sinω t .

(4)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>