Добавил:

Mffff4 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Физика

Файл:

Fizika_Ch_1_Fizicheskie_osnovy_mekhaniki_Elektrichestvo_Elektromagnetizm_4553276

.pdf

Скачиваний:

190

Добавлен:

20.04.2022

Размер:

1.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

	m V 2			m	V 2		m U 2		m	U 2
	1	1		2		2	1	1	2	2	,	(1)
2					2			2		2

Где m1			и m2			- массы тел;
V1		и V2 - скорости тел до соударения;
U1		и U 2 - скорости тел после соударения.
Согласно закону сохранения импульса в замкнутой системе
m1V1 m2 V2						m1U1		m2 U2 .				(2)

Так как движение происходит по одной прямой, то можно перейти от векторного уравнения (2) к алгебраическому:

m V m V m U m							U	2	.	(2/)
1	1	2	2	1	1	2		2

Решая систему двух уравнений (1) и (2/) относительно U1 и U 2 получим

U		(m1 m2 )V1 2m2 V2		,
	1
		m1	m2

U2 (m2 m1)V2 2m1V1 . m1 m2

Условимся считать направление движения первого тела положительным.

1.		Если тела движутся навстречу друг другу, то V1 5 м / с и
V2 4 м / с. Тогда
U		(2 3) 5 2 3 ( 4)			5,8 м / с,
U	1				5,8 м / с,
	1		2 3
			2 3
U			(3 2)( 4) 2 2 5	3,2 м / с.
U	2		2 3	3,2 м / с.
	2

При столкновении тела меняют направления скоростей на обратные.

2. Если первое тело догоняет второе, т.е оба тела движутся в одну сторону, то V1 5 м / с и V2 4 м / с и

U1 (2 3) 5 2 3 4 3,8 м / с, 2 3

U 2 (3 2)4 2 2 5 4,8 м / с. 2 3

В данном случае после столкновения направление движения тел не меняется.

Б. Тела абсолютно неупругие.

При абсолютно неупругом столкновении нет упругих сил, которые заставили бы столкнувшиеся тела отталкиваться друг от друга. Поэтому после столкновения они будут двигаться вместе с одной скоростью U . Из закона сохранения импульса следует

m1V1 m2 V2 (m1 m2 )U

(3)

Так как движение происходит по одной прямой, то можно перейти от векторного уравнения к алгебраическому:

m V m V (m m						)U.	(3/)
1	1	2	2	1	2

откуда

U m1V1 m2 V2 . m1 m2

Условимся считать направление движения первого тела положительным.

Если тела движутся навстречу друг другу, т.е. в противоположные стороны, то V1 5 м / с и V2 4 м / с , следовательно

U 2 5 3 ( 4) 0,4 м / с 2 3

После столкновения тела движутся в ту же сторону, в которую двигалось второе тело, так как числовое значение его импульса было больше, чем у первого тела.

2.Если первое тело догоняет второе, т.е тела движутся в одну сторону, то V1 5 м / с и V2 4 м / с , следовательно

U 2 5 3 4 4,4 м / с 2 3

Направление движения тел остается неизменным.

3.При неупругом столкновении часть энергии переходит во внутреннюю, поэтому кинетическая энергия тел после соударения стала меньше на величину

W T1 T2 T ,

			m V 2						m V			2					(m		1	m	)U2
где T					1 1	; T			2		2			; T					1	2
где T						; T								; T
1					2	2				2										2
					2					2										2
Итак,
	m			V 2			m V		2		(m		1		m			)U 2
W		1			1	2		2					1			2					(4)
W		2						2							2						(4)
		2						2							2

Подставляя числовые значения в формулу (4) в первом случае получим

W	2 52	3 4	2	(2 3)( 0,4)2	22	45 Дж.
	2	2		2	25 24 4

Во втором случае будем иметь

W	2 52	3 4	2	(2 3)(4,4)	2	25 24 19,36 30 Дж
W	2	2				25 24 19,36 30 Дж
	2	2

П р и м е р 6. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m 80 г

(рис.3) перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m1=100г и m2=200г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

		r
	׳	O
T1			T2׳
T1			T2

X m1g

m2g

Рис. 3

m1g T1 m1a.

Дано:

m 80 г 0,080кг ; m1 100г 0,1кг ;

m2 200г 0,2кг .

Найти: a .

Р е ш е н и е .Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый

груз действует две силы: сила тяжести m1g ; и сила

упругости (сила натяжения нити) T1 .Спроектируем

эти силы на ось X, которую направим вертикально вниз, напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:

(1)

Уравнение движения для второго груза запишется аналогично

m2g T2 m2a.	(2)
Под действием двух моментов сил T1 ' r	и T2 ' r относительно оси О,

перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение

	a
		. Согласно основному уравнению	динамики вращательного

	r
движения
T2 ' r T1 ' r I			(3)

Где I 12 mr2 - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси О.

Сила T1 ' согласно третьему закону Ньютона по абсолютной величине равна силе T1 . Соответственно сила T2 ' по абсолютной величине равна силе T2 .

Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо T1 ' и T2 ' , выражения для T1 и T2 , получив их предварительно из уравнений (1)и (2):

(m			g m				a)r (m g m a)r								1	mr2	a
(m	2		g m			2	a)r (m g m a)r									mr2
	2					2					1		1	2			r
														2			r
После					сокращения на									r и перегруппировки членов найдём искомое
ускорение
а				m2 m1								g .				(4)
		m			m					m		g .				(4)
		m		2	m			1
				2				1	2
									2

Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому числовые значения масс m1 , m2 и m можно выразить в граммах,

как они даны в условии задачи. Числовые значения ускорения g надо взять в единицах СИ. После подстановки получим

a	(200 100)г			9,81 м / с2 2,88 м / с2 .

	(200 100	80	)г

		2

П р и м е р 7. Маховик в виде сплошного диска радиусом R 0,2 м и массой
m 50 кг раскручен до частоты вращения n1					480 об / мин и предоставлен
самому себе.		Под действием сил трения			маховик остановился через

t 50 с . Найти момент M сил трения.

Дано: R 0,2 м ;	m 50 кг ;	n1 480 об / мин 8об / c ;	n 2 0 ;	t 50 с .
Найти: M .

Р е ш е н и е .Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде

dLZ MZdt,			(1)
где	dLZ	– изменение	момента импульса маховика, вращающегося
относительно оси Z, совпадающей с геометрической осью маховика, за
интервал времени dt ;
M Z -момент		внешних	сил (в нашем случае момент сил трения),

действующих на маховик относительно той же оси.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени ( MZ const), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к

выражению

LZ MZ t.

(2)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса

LZ IZ ,				(3)
где – изменение угловой скорости маховика;
IZ – момент инерции маховика относительно оси Z.
Приравняв правые части равенства (2) и (3), получим
MZ t IZ ,
Откуда
M		IZ	.	(4)
	Z
		t

Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле

I Z 12 mR 2

Изменение угловой скорости 2 1, выразим через конечную n 2 и начальную n1 частоты вращения, пользуясь соотношением 2 n

2 1 2 n 2 2 n1 2 (n 2 n1 ).

Подставив в формулу (4) найденные выражения Iz и , получим

M		mR 2 (n			2		n	1		)		.	(5)
M	Z				2			1				.	(5)
	Z			t
				t
Выполним проверку размерности результата:
M			mR 2	(n		2	n		1		)		кг м2 с1
						2			1					Н м
				t										Н м
				t									с

Подставляя числовые значения в формулу (5), получим:

M		3.14 50 (0,2)2	(0 8)	Н м 1 Н м.
M	Z	50		Н м 1 Н м.
	Z

Знак минус показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.

П р и м е р 8. Горизонтальная платформа в виде диска массой M 180 кг и радиусом R 1,5 м вращается с частотой n1 10 об / мин около вертикальной оси без трения.

На краю платформы стоит человек, масса которого m 60 кг . С какой частотой n 2 будет вращаться платформа, если человек перейдёт в точку

платформы, находящуюся на расстоянии r2 R2 от центра платформы?

Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки. Какую работу совершит человек при этом переходе?

Дано: M 180 кг ; R 1,5 м ; n1 10 об / мин ; m 60 кг ; r1 R ; r2 R2 .

Найти: n 2 ; A .

Р е ш е н и е .Так как силы тяжести платформы и человека параллельны вертикальной оси, то момент внешних сил относительно этой оси вращения Z, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю.

При этом условии момент импульса	L Z системы платформа-человек
остаётся постоянным
LZ IZ const,	(1)

где IZ – момент инерции платформы с человеком относительно оси Z,

–угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому IZ I1 I2 , где I1 - момент инерции платформы; I2 - момент инерции человека.

С учетом этого равенство (1) примет вид

(I1 I2 ) const

или

(I1 I2 ) (I'1 I'2 ) '

(2)

Здесь нештрихованные значения величин относятся к начальному состоянию, штрихованные - к конечному состоянию.

Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси Z при переходе человека не изменяется:

I1 I'1 12 MR 2 .

Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассчитывать момент инерции человека как для материальной точки, то

I2 mR 2 , а		R		2	mR 2
	I'2	m				.
					4
			2

Подставим в формулу (2) найденные выражения моментов инерции, а также выразим угловые скорости через частоту вращения 2 n1 и ' 2 n 2 :

MR 2													MR 2						mR 2
					mR 2					2 n		1									2 n	2	,
					mR 2					2 n											2 n		,
	2														2			4
	2														2			4
откуда
			2 R 2				M							M
									m n1								m n1
								2	m n1						2		m n1
n 2								2							2					.			(3)
n 2				2 R			2	M			m					M		m		.			(3)
								M			m					M		m



								2			4				2			4
После подстановки числовых значений получим
		180				60
n 2				2		60			10 14,3 об / мин.
				2
		180					60
		180					60
			2					4
			2					4

Работу, совершаемую человеком при переходе, найдем как изменение кинетической энергии системы платформа–человек:

						I' I'			2			2		2		I	1	I			2	2
A T2			T1			1			2			2					1				2	1
A T2			T1					2												2
								2												2
				2			2													2
1					mR					2				2									2		2			2
1	MR				mR			4		2				2		MR						mR	2	4	2			2
											n															n
											n		2													n	1
2		2				4							2					2									1
2		2				4												2


2 2 R 2			M			m			2		M										2
							n		2						m n						2	.							(4)
							n	2							m n							.							(4)
						4		2			2								1
			2			4					2
Из формулы (4) видно, что наименование результата получится в																														кг м2	,
																														с2	,
																														с2

т.е. в джоулях.

Подставляя числовые значения в (4), получим

		180	60	14,3	2	180	10	2
A 2 3,142		180	60	14,3		180	10
	1,5						60		30 Дж.
	1,5						60		30 Дж.
		2	4	60		2	60

П р и м е р 9. Сколько времени t	будет скатываться без скольжения обруч с
наклонной плоскости длиной	l 2 м и высотой h 0,1 м ? Начальная
скорость

обруча V0 0 .

VЛ

Дано: l 2 м ;

h 0,1 м .

VП

Найти: t .

VП

Р е ш е

и е

.Движение

обруча

вдоль

наклонной

плоскости

можно

считать

равноускоренным,

так

как

равнодействующая

всех

внешних сил Fравн const .

Рис. 4

При

равноускоренном

движении

a const,

Vo V

, так как

Vo 0

Пройденный путь l V t , откуда искомое время

(1)

Чтобы найти t , необходимо рассчитать конечную скорость V обруча у основания наклонной плоскости (рис. 4). Скатывание происходит без скольжения, поэтому малыми силами трения качения мы можем пренебречь. Кроме того, так как нет скольжения, то


VA VП VЛ 0,		(2)
где	VП - скорость поступательного движения обруча, VЛ - линейная

скорость движения точки касания А обруча с плоскостью. Из уравнения (2) получим, что VЛ VП V .

При качении полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движения

mV2 П

mr2V2

mV2

T T

ПОСТ

ВРАЩ

2r 2

Так как V

то T

mV2

В системе действуют только консервативные силы тяжести, поэтому полный запас механической энергии не меняется, а возрастание

кинетической	энергии T T T T mV2 численно равно			убыванию
		0
потенциальной	mgh,	т.е.	mV2 mgh, откуда	V2 gh .
(3)

Подставляя (3) в (1) , имеем

(4)

Проверим размерность результата:

M c

Рассчитаем значение ,подставив в данное значение l и h :

t	2	2	4	4,04 4c.


	9,8	0,1	0,98

ЭЛЕКТРОСТАТИКА, ПОСТОЯННЫЙ ТОК И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 1. Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотность заряда на стержне.

Дано: l = 0,2 м; а = 0,1 м; Q1 4 10-8 Кл; F = 6∙10-6 Н

Найти: .

Ре ш е н и е. Сила взаимодействия

заряженного

стержня

•

точечным зарядом Q1 зависит от

линейной плотности заряда на

стержне. Зная эту зависимость,

можно

определить .

При

вычислении силы F следует иметь

Рис. 5

в виду,

что заряд на стержне не

является точечным, поэтому закон

Кулона

непосредственно

применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделить на стержне (рис. 5) дифференциально малый участок dr с зарядом

dQ dr . Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда согласно закону Кулона

dF	Q1 dr
				.
	4	0	r2

Интегрируя это

выражение в

пределах от

до а + l, получим

Q τ

a l dr

Q τ

Q τ l

π ε0

a l

4 π ε0 a a l

откуда интересующая нас линейная плотность заряда

4 0 a a l F .

Q1 l

Проверим правильность наименования результата:

Кл2 м2 Н

Кл

Н м2 Кл м

Учитывая,

что 4 0

Ф/м, подставим

числовые

значения

109

полученную формулу и произведем вычисления:

0,1 0,1 0,2 6 106

Кл/м = 2,5 109 Кл/м = 2,5 нКл/м.

9 109

4 108 0,2

П р и м е р

2. Два точечных электрических заряда Q1 = 1 нКл и Q2 = -2 нКл

находятся

в воздухе на

расстоянии d = 10 см друг от друга.

Найти

напряженность E и потенциал поля,

создаваемого этими зарядами в точке А,

удаленной от заряда Q1 на расстояние r1 =

9 см и от заряда Q2 на r2 = 7 см.

Дано: Q 109 Кл; Q

2 109

Кл; d =

0,1 м; r1 = 0,09 м; r2 = 0,07 м.

Найти: E и .

Р е ш е н и е. Согласно принципу

суперпозиции электрических полей,

каждый заряд создает поле независимо от

Рис. 6

присутствия в

пространстве

других

зарядов. Поэтому

напряженность

электрического поля в искомой точке

может быть найдена как геометрическая

сумма напряженностей

Е1 и

Е2

полей,

создаваемых каждым зарядом в отдельности

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>