Добавил:

Mffff4 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Физика

Файл:

Fizika_Ch_1_Fizicheskie_osnovy_mekhaniki_Elektrichestvo_Elektromagnetizm_4553276

.pdf

Скачиваний:

190

Добавлен:

20.04.2022

Размер:

1.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>


Е Е1		Е2 .

Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе ( =1) первым зарядом,

E1		Q1			,	(1)
				r 2
	4		0
				1
Вторым зарядом –

E2	Q2			,		(2)
			r 2
4		0
			2
Вектор		(рис.6) направлен по силовой линии от заряда Q1, так как заряд
	E1
Q1 положителен; вектор						направлен также по силовой линии, но к заряду
					Е2

Q2, так как заряд Q2 отрицателен.

Абсолютное значение вектора Е найдем по теореме косинусов:

E 2 E

2 E

cos ,

(3)

где - угол между векторами

, который может быть найден из

Е1

Е2

треугольника со сторонами r1 , r2

и d:

cos

r 2

2 r1 r2

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos вычислить отдельно:

cos 0,1 2 0,09 2 0,07 2 0,238. 2 0,09 0,07

Подставляя выражение Е1																из формулы (1) и Е2 из формулы (2) в равенство
(3) и вынося общий множитель																								1				за знак корня, получим

																						4					0
																						4					0

E		1			Q	2			Q			2			2			Q Q					2			cos .
					1						2								1				2							(4)
		0				4						4							2		r 2									(4)
4		0			r	4				r		4						r	2		r 2
				1						2								1			2
Проверим правильность наименования результата:
							1
	Н м2			Кл 2									Н м2 Кл Н
E	Н м2			Кл 2				2					Н м2 Кл Н																В
																											или			.

		Кл	2		м	4								Кл		2	м			2					Кл				м
		Кл			м									Кл			м								Кл				м

Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем вычисления


Е		1		10 9	2	2 10	9 2	2	10 9 2 10		9	( 0,238)	3,58 103
Е		1		(0,09)4		0,07 4		2	(0,09)2	(0,07)2		( 0,238)	3,58 103
	4	1		(0,09)4		0,07 4			(0,09)2	(0,07)2
	4	9	109
4		9	109

В/м =3,58 кВ/м.

При вычислении Е знак заряда Q2 опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряженности, а направление Е2 было учтено при его графическом изображении.

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал результирующего поля, созданного двумя зарядами Q1 и Q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т. е.

1 2 .

(5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

	Q
	4 0 r .	(6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим:

	Q1					Q2
	4	0	r		4			0	r
		0	1					0	2
или
	1					Q2
	1		Q1			Q2
							.
	4			r		r	.
	4	0		r		r
		0		1		2

Подставив в это выражение числовые значения физических величин, получим

		1			10 9	2 10 9
							157	В.
							157	В.
		1
	4	1		0,09		0,07

		9
4		9	109

П р и м е р 3. Точечный заряд Q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно

заряженным с поверхностной плотностью = 0,2 нКл / см2 . Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра равно

10 см.

Дано: Q 2,5 10-8 Кл; 2 106 Кл / м2 ; R 10-2 м; r 101 м.

Найти: F.

Р е ш е н и е . Численное значение силы F, действующей на точечный заряд Q, находящийся в электрическом поле, определяется по формуле

F Q E ,	(1)
где Е- напряженность поля.

Как следует из теоремы Гаусса, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

E		,	(2)
	2 0 r

где - линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность заряда через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд Q двумя способами:

Q S 2 R l ;

Q l .

Приравняв правые части этих равенств, получим l 2 R l .

После сокращения на l найдем

2 R .

С учетом этого формула (2) примет вид

E		R		.
E				.
		0 r
Подставив это выражение в (1), получим искомую силу
F	Q R				.			(3)
F					.			(3)
		0	r
Учтем,			что			0	8,85 1012 Ф/м,		и	подставим в (3) числовые значения
						0
величин:
F	2,5 109 2 106 102							5,65 104 Н = 565 мкН.
F		8,85 1012 101						5,65 104 Н = 565 мкН.
		8,85 1012 101

Направление						силы F		совпадает	с	направлением напряженности E , а

последняя в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.

П р и м е р 4. Найти силу взаимодействия тонкого кольца радиусом R = 9см, несущего заряд q =2 нКл с точечным зарядом Q = 8 нКл, находящимся в точке А на оси кольца, проходящей через центр кольца, если концы его диаметра видны из этой точки под углом = 90°.

Дано: R = 0,09 м ; q 2 10-9 Кл; Q 8 10-9 Кл; = 90°

Найти: F .

Р е ш е н и е . Заряд на кольце в данном случае нельзя считать точечным, так как радиус кольца одного порядка

dl1

величины

расстоянием

от

его

dF2y

dF2

центра

до

заряда

Поэтому

применить

непосредственно

dF2x

формулу

Кулона

указанным

dF1x x

зарядам

нельзя.

Результирующая

dF1y

dF1

сила взаимодействия может

быть

получена

результате

dl2

геометрического

сложения

Рис.7

элементарных сил

взаимодействия

точечных

зарядов

dqi

каждого

участка

кольца dli

точечным

зарядом Q (рис.7 ): F

Fрез

dFi .

В силу симметрии задачи удобно рассмотреть два элементарных участка dl1 dl2 dl , расположенных на противоположных концах диаметра

с одинаковыми зарядами dq dl, где - линейная плотность заряда

кольца. Она равна = q/l, где l- длина окружности. Результирующая двух

элементарных сил dF1 dF2				dF	в силу симметрии расположения участков

dl1 и dl2	, равенства соответствующих проекций сил dF1x						и dF2x на ось х и

противоположного направления dF1y						и dF2y , по модулю равна
dF dF	dF	2 dF	2 dF cos			2 dF
1x	2x	1x		1	2	x
					2

и направлена по оси x. Переходя от суммирования к интегрированию, определим модуль результирующей силы

F dF 2 dFx ,

где интегрирование производится по всей длине кольца. Поскольку согласно

условию r

R , а dq dl имеем:

dq Q

cos

τ dl Q

cos

4 π ε0 r2

8 π ε0 R 2

Тогда

πR

l/2

2 τ Q dl

q Q

2 q Q

cos

8 π ε0 R 2

8 π2 ε0 R3

16 π ε0 R 2

6,32 10 6 Н .

П р и м е р 5. Две проводящие сферические поверхности, центры которых

совпадают, имеют радиусы R1 = 20 мм и R2 =30 мм . На сферах равномерно распределены одинаковые по величине, но противоположные

+q2 ‒q1

по знаку заряды, равные 4,2 108 Кл, причем заряд сферы меньшего радиуса отрицателен. Все пространство между сферическими поверхностями заполнено однородным диэлектриком (ε =7).

S	r	Найти		модуль		вектора
		напряженности			электрического
		поля	Е,	модуль		вектора
	Рис. 8	электрического			смещения		D и
		потенциал		электрического			поля

		как функцию расстояния r от
		центра			сферических
		поверхностей.

Построить графики Е = f(r); D = f(r) и = f(r) для случаев

1)r R1 ;

2)R1 r R 2 ;

3)r > R 2 .

Графики E = f(r) и D = f(r) расположить на одном чертеже, а = f(r)- на другом.

Дано: R1 0,02 м; R 2 0,03 м; q1 4.2 108 Кл; q2 4.2 108 Кл; = 7.

Найти: Е = f(r); D = f(r); = f(r).

Р е ш е н и е. Поскольку рассматриваемое электрическое поле обладает

сферической симметрией, воспользуемся теоремой Гаусса для вектора D , взяв в качестве замкнутой поверхности сферу S радиусом r (рис. 8):

Dn dS q ,		(1)
S

где Dn - проекция вектора D на нормаль к поверхности S. Вычислим поток

смещения D через сферическую поверхность S. Так как Dn D const, то

Dn dS DdS D dS D S D 4 π r 2 . (2)
s	s	s
		35

Из (1) и (2) следует

D 4 r2 q .

(3)

Поскольку алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри выбранной поверхности S, равна q1 q2 , из выражения (3) следует

(4)

4 π r2

Напряженность

электрического

поля

E связана

со смещением D

соотношением

D 0

E .

(5)

Следовательно, из формул (4) и (5)

q1 q2

(6)

Рассмотрим значения D и E в каждой из заданных областей.

r R1 .

Так как внутри сферы

с радиусом r R1

заряды отсутствуют

( q1

q2 0 ), то

смещение

D1 и

напряженность

электрического поля

равны нулю. D1 0 ; E1 0 .

R1 r R 2 . Так как внутри сферы с радиусом R1 r R 2 содержится

заряд q1 , из формул (4) и (6) следует

;

3) r > R 2 . Так как внутри сферы с радиусом r > R 2

содержится заряд q1 q2 ,

но эти заряды равны по величине и противоположны по знаку, то q 0 .

Следовательно D3 0 и E3

0 .

Для построения требуемых графиков D = f(r) и E = f(r) следует вычислить несколько значений D и E, меняя значения r в заданных пределах. Результаты занесем в табл. 1.

Таблица 1

r 102 , м	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2

E 10-5 , В/м	-1,35	-1,11	-0,94	-0,80	-0,69	-0,6	0
D 106 , Кл/м2	-8,36	-6,90	-5,80	-4,94	-4,26	-3,71	0

			36

По данным таблицы, учитывая, что при r R1 D = 0 и E = 0, построим графики E f1 r и D f2 r (рис. 9).

E, В/м D, Кл/м

2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

0
-1	E=f1(r)
-2

-3 -4 -5

-6	D=f2(r)
-7	D=f2(r)
-8
-9
	Рис. 9

Для нахождения потенциала электрического поля = f(r)

воспользуемся			соотношением				между
напряженностью				поля	и	градиентом

потенциала:			E -grad .			Для	поля,
создаваемого						сферической
поверхностью,				это	соотношение
можно записать в скалярном виде:
E -	d	или		d - E dr .
	dr

					Интегрируя это выражение, найдем
разность потенциалов		двух точек, отстоящих на расстояниях r1						и r2	от
центра сфер:
2	r2	1		r2		r2
	d Edr ;		d	Edr ;	1	2 Edr .	(7)
1	r1	2		r1		r1
Потенциал в бесконечности				принимаем		равным нулю	0 .	Если	в

формуле (7) положить 2			0 , то она примет вид:
r
r	Edr .

Поскольку значения E для каждой из рассматриваемых областей различны, получим выражения (r) для каждого случая в отдельности:

1) r R1

R 2

r Edr

E1dr

E2dr

E3dr E2dr ,

R 2

так как первый и третий интегралы равны нулю ( E1 0 и E3

0 , см. первую

часть решения задачи)

R 2

4 0

R 2

. Так как q1 0 (r) < 0;

4 0

R 2

2) R1 r R 2

Edr

E2dr

E3dr

E2dr ,

R 2

так как второй интеграл равен нулю ( E3 0 , см. первую часть решения

задачи)

R 2

4 π ε0 ε r

π ε0

4 π ε0 ε r

R 2

. Так как q1

(r) < 0.

4 0

R 2

3) r R 2

r E3dr 0 ,

так как

E3 0

(см. первую

часть решения

задачи).

Для построения графика (r) следует вычислить несколько

значений ,

меняя значения r в заданных пределах. Результаты занесем в табл. 2.

Таблица 2

r, м

0,010

0,020 0,022

0,024

0,026

0,028

0,030

0,04

(r),

899

654

450

277

128

По данным таблицы построим график = (r)

(рис. 10).

r,м

Рис. 10

П р и м е р 6. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью

V1 106 м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.

Р е ш е н и е. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда электрона е на разность потенциалов U

A e U .

(1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона

A T T		m V	2	m V	2
		2		1		,	(2)
						,	(2)
2	1	2		2
		2		2
где T1	и T2	- кинетические энергии электрона до и после прохождения

ускоряющего поля; m- масса электрона; V1 и V2 - начальная и конечная его скорости.

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

e U		m V 2				m V 2
			2				1
		2					2
		2					2
или
e U	m n2		V		2			m V	2
				2				1		,
		2					2			,
		2					2

где n V2 . V1

Отсюда искомая разность потенциалов

U	m V12	n 2 1 .	(3)
	2 e

Подставим числовые значения физических величин и выполним вычисления

U 9,1 10-31 106 2 22 1 В = 8,53 В. 2 1,6 1019

П р и м е р 7. Конденсатор емкостью С1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор

был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C2 = 5мкФ. Какая энергия W′ израсходуется на образование искры

в момент присоединения второго конденсатора? Дано: С1 3 106 Ф; U1 40 В; С2 5 106 Ф. Найти: W′.

Р е ш е н и е. Энергия W′, израсходованная на образование икры,

W/ W W ,		(1)
1	2

где W1 - энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;

W2 - энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W	C U2	,	(2)
	2

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов; U – разность потенциалов на обкладках конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и принимая во

внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим:

W/	C U		2	C C	2	U	2
		1 1		1	2	2		,	(3)
		2		2				,	(3)
		2		2
где С1		и С2 - емкости первого и второго конденсаторов;

U1 - разность потенциалов, до которой был заряжен первый конденсатор;

U2 - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежний, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>