Добавил:

degenetard Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Численные методы

Файл:

Пособие

.pdf

Скачиваний:

126

Добавлен:

28.01.2022

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

a		x	1	a		x		2		.a		x	3	b		(1)
	11			12							13				1
		x		a			x			a		x		b		(2)
a					22				2		23		3		2
		21	1
		x		a			x			a		x		b		(3)
a					32				2		33		3		3
		31	1

(9.2-1)

Процесс решения СЛУ методом Гаусса сводится к последовательному исключению x1 из (2) и(3) уравнения, а затем x2 из (3) уравнения. Таким

образом, из СЛУ (9.2-1) получают эквивалентную систему, имеющую треугольную матрицу (прямой ход), а затем получают решение (обратный ход).

Прямой ход решения системы (1.9.2-1) заключается в следующем.

1) Домножим уравнение (1) на

m		a	21
m

	2	a
		a
			11

и вычтем из (2) уравнение (1):

(a	m a		)x (a	22	m a		)x	2	(a	23	m a		)x	3
21	2	11	1		2	12					2	13

b	2

m b
2	1

Уравнение (2) теперь имеет вид:

a	x	2	a	x	3	b
22		2	23		3	2

2) Домножим уравнение (1) на							m			a	31	и вычтем из
							m
								3
										a
										11
(a	m a		)x (a		m a			)x	2	(a			m a		)x	3
31	3	11	1	32	3	12			2		33		2	13		3

(3) уравнение (1):

b	m b		.
3	3	1

Уравнение(3) теперь имеет вид: уравнения (2) и(3).

a	x	2	a	x	3
32		2	33		3

b 3

x	1

исключен из

3) Домножим уравнение (2) на

m 3

		a
		31
		31
		a
		22

и вычтем из (3) уравнение (2):

(a	m a		)x	2	(a	m a	23	)x	3
32	3	22		2	33	3	23		3

b 3

m b
3	2

Уравнение (3) теперь имеет вид:	a
	33

В результате преобразований СЛУ

x	3	b
	3	3

(9.2-1) имеет вид:

a x			a	x			.a		x				b	(1)
	11	1	12			2		13			3		1
			a		x		2	a		x		3	b	(2) .	(9.2-2)
			22				2	23				3	2
								a	x			b		(3)
								a	x		3	b		(3)
								33			3		3

Последовательно решая уравнения (3), (2) и (1) (обратный ход), найдем решение системы.

В методе Гаусса ошибки округления (и их накапливание) приводит к неточным результатам. Особенно существенно это может сказаться в плохо обусловленных СЛУ. Уменьшение погрешностей может быть получено, если применить метод главного элемента: в методе Гаусса уравнения меняют местами так, чтобы по главной диагонали расположились наибольшие по абсолютной величине коэффициенты.

Пример 9.2-1.Решить систему уравнений методом Гаусса

x			1	x				2		x			3		4
			1					2					3
												x3					9 .
2x1 3x2												x3					9 .
		x		x						x					2
		x	1	x				2		x			3		2
			1					2					3
m						a		21				2				2 m		a	31	1	1
m																2 m					1

		2				a						1					3	a		1
						a						1						a		1
								11										11
x				x			2			x				4
		1					2				3
				x3						1
x2				x3						1
	x				2x							6
	x			2	2x						3	6
				2							3
		m							a						2		2
										31
									a						1
				3					a						1
				3
										22

x		x		2	x	3	4
	1
		x3			1
x2
	4x			4
			3

Решение имеет вид:

x	1;	x	2	2	x	3	1.
1			2			3

9.3. Метод итераций

Пусть задана СЛУ с n неизвестными:

a x a x			...	a x			b
11 1	12	2		1n		n	1
a21x1 a22 x2 ...				a2nxn b2

..............................................

a x a x		2	.. a x		n		b .
n1 1	n2	2		nn	n		n

Необходимо найти решение этой СЛУ (	1 2	3		с точностью
	x ,x	,x	)

(9.3-1)

ε .

Итерационная схема для решения систем линейных уравнений основана на приведении их к виду, удобному для итераций:

x β α x					α x	...	α x		b / a ;
	1	1	12	2	13	3	1n	n	1	11
x2 β2 α21x1 α23x3...							a2nxn		b2	/ a22;
..............................................											(9.3-2)

x	n	β α x α x				2	.. α		x	b / a ;
	n	n	n1 1		n2	2	nn 1 n 1			n nn
									82

где	βi bi / aii;	αij	aij		/ aii	при
Эта	система		получена
диагональные элементы					11	22
				a ,a			,

i j.

из	системы (9.3-2) в предположении, что
nn	отличны от нуля.
a

Обозначив через L(x1,x2,...,xn ) правую часть i-го уравнения, запишем СЛУ в виде:

x			L (x ,x				2		,x		3		,...,x		n		)
		1	1		1
	x		L		(x	,x				,x				,...,x				)
		2		2				2				3				n
					1
	..................................


x		n	L	n	(x	,x		2		,x		3		,...,x		n		)
					1

(9.3-3)

Зададимся начальными приближениями корней	x1	,x2	,...,xn	и подставим
	(0)	(0)	(0)

их в правую часть уравнений системы (9.3-3). Получим первые приближения к

корням:	x1	,x2	,...,xn .
	(1)	(1)	(1)

x		(1)	L (x				(0)	,x				(0)	,x				(0)	,...,x			(0)	)
						1				2					3					n
	1		1
		(1)	L				(0)					(0)					(0)				(0)
x					(x				,x					,x					,...,x			)
	2			2			1				2					3					n


..............................................
x		(1)	L		(x		(0)		,x			(0)		,x			(0)		,...,x		(0)	)
	n			n							2					3					n
						1

(9.3-4)

Продолжив подстановку, получим последовательность приближений:

x	(0),x (1)		,x	(2),...,x		(k ),...
1		1		1	1
x	(0),x	(1)	,x		(2),...,x	(k ),...	(9.3-5)
2		2		2		2	(9.3-5)
2		2		2		2
................................
x	(0),x (1)		,x		(2),...,x	(k ) ,...
n		n		n		n

Если существуют пределы последовательностей, то они являются решением СЛУ:

lim x	(k )	x	lim x	(k )	x	.....	lim x	(k )	x	.
	1			2				n
		1			2				k
k			k				k

Условие сходимости метода итераций основывается на следующей теореме:

Теорема: Если в системе уравнений

x β α x					α x		...	α x
	1	1	12	2	13	3		1n		n
x2 β2 α21x1 α23 x3...								a2nxn
..............................................											(9.3-6)

x	n	β α x α x					2	.. α x			1
	n	n	n1 1		n2		2		nn 1 n		1
										83

сумма модулей элементов строк, или сумма модулей элементов столбцов матрицы коэффициентов, меньше единицы, то процесс итераций для данной системы сходится независимо от начальных приближений.

Условие сходимости метода итераций можно формализовать следующим образом:

	n	ij				n	ij
		ij	1,	(i 1,2,...,n)			ij	1	(j 1,2,...,n).
max		α	1,	(i 1,2,...,n)	или max		α	1	(j 1,2,...,n).
i	j 1				j	i 1
	j 1					i 1

(1.9.3-7)

Оценим погрешность. В процессе решения СЛУ надо добиться выполнения условия:

		x x			k	ε.			(9.3-8)
Это условие выполняется, если
		x	k	x		k 1	1 A	ε,	(9.3-9)
		x		x				ε,	(9.3-9)

							A
где	A	норма матрицы.

Пример 9.3-1. Решить систему методом итерации с точностью

0.001

4x			0.24x	2	0.08x			3	8,
		1
					0.15x				9,
0.09x 3x				2				3
			1
							4x		20.
0.04x 0.08x						2		3
			1
x		1	2 0.06x			2	0.02x				3	,

			3 0.03x1				0.05x3
x2												,
	x		5 0.01x				0.02x					.
		3								2
					1

	Условие сходимости (9.3-7) выполнено. Тогда приведем систему к виду
(9.3-6).
	Выберем		в качестве начальных приближений следующие значения:
x(0)	2;	x(0) 3;	x(0) 5 . Подставляя эти значения в правые части уравнений, по-
1		2	3
лучим первое приближение
	x(1)	2 0.06 3 0.02 5 1.92 ,
	1
	x(1)2	3 0.03 2 0.05 5 3.19 ,
	(1)	5 0.01 2 0.02 3 5.04 .
	x3	5 0.01 2 0.02 3 5.04 .
			84

Выполним 3 итерации и сведем полученные значения в следующую таблицу:

					Таблица 9.3-1
k	x	(k)	x	(k)		x	(k)
		(k)		(k)			(k)
		1		2			3




0	2		3			5
1	1.92		3.19			5.04
2	1.9094		3.1944			5.0446
3	1.90923		3.19495			5.04485

Список литературы

1.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. -М., Лань, 2008. -400с.

2.Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М., Лань, 2009. -480с.

3.Бахвалов Н.С. Численные методы М., Наука, 1973. -630с.

4.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: М., Радио и связь, 1988.

-128с.

5.Кравченко О.М., Семенова Т.И., Шакин В.Н. Учебное пособие: Модели решения вычислительных задач (численные методы и оптимизация) по дисциплине «Информатика» для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Телекоммуникации». -

М.,2003. – 72с.

6.Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. Учебное пособие для вузов. –М.:Радио и связь, 1999.- 408с.

7.Шакин В.Н., Семенова Т.И. Основы работы с математическим пакетом Matlab. Учебное пособие/МТУСИ. -М.,2016. -133с.

8.Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. –М.: Высшая школа, 1994. -543с.

9.Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. -М.: Финансы и статистика, 2002, -256с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете Численные методы

#
28.01.20223.75 Mб67Алгоритмы пособие.pdf
#
28.01.20222.37 Mб126Пособие.pdf
#
28.01.20221.52 Mб57Практикум.pdf

a		x	1	a		x		2		.a		x	3	b		(1)
	11			12							13				1
		x		a			x			a		x		b		(2)
a					22				2		23		3		2
		21	1
		x		a			x			a		x		b		(3)
a					32				2		33		3		3
		31	1

a		x	1	a		x		2		.a		x	3	b		(1)
	11			12							13				1
		x		a			x			a		x		b		(2)
a					22				2		23		3		2
		21	1
		x		a			x			a		x		b		(3)
a					32				2		33		3		3
		31	1

a		x	1	a		x		2		.a		x	3	b		(1)
	11			12							13				1
		x		a			x			a		x		b		(2)
a					22				2		23		3		2
		21	1
		x		a			x			a		x		b		(3)
a					32				2		33		3		3
		31	1