Пособие

3.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Вторая формула Ньютона обладает аналогичными свойствами относительно левой части таблицы. Для ее построения используют многочлен

Продолжая подстановку, получим выражение для всех коэффициентов многочлена (3.3-8) и запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона:

Подставив х в (3.3-8), получаем формулу Ньютона для интерполяции назад:

Воспользуемся этой формулой для вычисления значения функции, заданной табл. 3.3-1, в точке х = 1.7.

Точка х=1.7 расположена в конце таблицы. В качестве узлов интерполяции выберем: х3=1.8, х2=1.6 и х1=1.4:

Погрешности интерполяционных формул Ньютона определяются соотношением:

для первой формулы Ньютона:

На практике, если интерполируемая функция y =f(x) задана таблично, полагая, что n+1 постоянны, а h – достаточно мало, используют приближенные равенства:

Пример 3.3-1.Вычислить c использованием 1-й и 2-й формул Ньютона значение функции, заданной таблицей равноотстоящих узлов, в точке х=1.23.

Таблица 3.3-1

Используем 1-ю формулу Ньютона. Выберем х0=1.2; х1=1.3; х2=1.4.

Построим таблицу конечных разностей:

Таблица 3.3-2

Тогда:

32

Практическая погрешность оценивается соотношением:

1 = |Р2(х)-Р1(х)|=|0.206958-0.206335|=0.000623.

Решим ту же задачу с помощью 2-й формулы Ньютона. Пусть хn=1.3;

хn-1=1.2; хn-2=1.1.

Таблица конечных разностей имеет вид: Таблица 3.3-3

3.4.Сплайн – интерполяция

Впоследние годы интенсивно развивается новый раздел современной вычислительной математики – теория сплайнов. Сплайны позволяют эффективно решать задачи обработки экспериментальных зависимостей между параметрами, имеющими достаточно сложную структуру.

Рассмотренные выше методы локальной интерполяции, по существу, являются простейшими сплайнами первой степени (для линейной интерполяции) и второй степени (для квадратичной интерполяции). Наиболее широкое практическое применение, в силу их простоты, нашли кубические сплайны.

33

Сплайн – это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

Пусть интерполируемая функция f(x)задана своими значениями yi, в узлах хi, (i = 0, 1,..., n). Кубический сплайн на каждом из частичных отрезков [хi-1;хi] представляется в виде:

численными методами [6].

Тема 4. Аппроксимация функций

4.1. Постановка задачи аппроксимации

Замена таблично заданной функции f(x) интерполяционными многочленами на практике не всегда рациональна. Так, например, если для получения интерполирующего полинома требуется использовать100 узлов, то его степень будет равна 99 (на единицу меньше числа узлов). Или значения функции в узлах получены со значительной погрешностью, то добиваться выполнения основного условия интерполяции - совпадения значений функции и интерполяционного многочлена в узлах интерполяции - теряет смысл. В таких случаях принято решать задачу не интерполяции, а аппроксимации функции.

Задача аппроксимации (приближения) функции заключается в замене некоторой функции y=f(x) другой функцией g(x, a0, a1, ..., an) таким образом, чтобы отклонение g(x, a0, a1, ..., an) от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве Х) определѐнному условию.

Подбор эмпирических формул состоит из двух этапов – выбора вида формулы и определения содержащихся в ней коэффициентов.

Если неизвестен вид аппроксимирующей зависимости, то в качестве эмпирической формулы обычно выбирают один из известных видов функций: алгебраический многочлен, показательную, логарифмическую или другую функцию в зависимости от свойств аппроксимируемой функции. Поскольку аппроксимирующая функция, полученная эмпирическим путем, в ходе последующих исследований, как правило, подвергается преобразованиям, то стараются выбирать наиболее простую формулу, удовлетворяющую требованиям точности. Часто в качестве эмпирической формулы выбирают зависимость, описываемую алгебраическим многочленом.

Наиболее распространен способ выбора функции в виде многочлена:

34

где φ(x,a0,a1,...,an)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+amφm(x), аφ0(x), φ1(x),...,φm(x) –

базисные функции (m-степень аппроксимирующего полинома).

На рис. 4.1-1 показана аппроксимация таблично заданной функции алгебраическим многочленом 1-й и 2-й степени.

Рис. 4.1-1.

Задача построения аппроксимирующей функции – нахождение коэффициентов полинома (a0,a1,...,an).

Один из возможных базисов – степенной: φ0(x)=1, φ1(x)=х, ..., φm(x)=хm. Обычно степень аппроксимирующего полинома m<<n, aT=(a0,a1,...,am) –

вектор коэффициентов. Отклонения между опытными данными и значениями эмпирической функции

ei = φ(xi, a0, a1, ..., am)–yi, i=0,1,2,...,n.

Методы определения коэффициентов выбранной эмпирической функции различаются критерием минимизации отклонений. Одним из наиболее распространенных методов аппроксимации функции является метод наименьших квадратов.

4.2. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов – это один из способов определения параметров (коэффициентов) эмпирической формулы. В этом методе параметры a0, a1, ..., an определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от табличных данных.

Вектор коэффициентов aT определяют из условия минимизации

35

где (n+1) – количество узловых точек.

Для получения искомых значений параметров следует составить и решить систему (m+1) уравнения

Пусть в качестве аппроксимирующей функции выбрана линейная зависимость y = a0+a1x . Тогда

Принимая во внимание условия минимума функции двух переменных

(E(a0,a1):

Первое уравнение имеет вид

Раскрывая скобки и разделив на постоянный коэффициент, получим

Первое уравнение принимает следующий окончательный вид:

Для получения второго уравнения, приравняем нулю частную производную по а1:

36

Эта система называется системой нормальных уравнений, а еѐ матрица называется матрицей Грама. Элементами матрицы Грама являются суммы скалярных произведений базисных функций

исходных данных. Во введенных обозначениях решениями системы являются

В случае применения метода наименьших квадратов для определения коэффициентов аппроксимирующего многочлена второй степени y=a0+a1x+а2х2 критерий минимизации имеет вид

37

равна m) матрица Грама системы нормальных уравнений G и столбец правых частей системы нормальных уравнений B имеют вид:

При решении системы уравнений могут быть применены численные методы решения систем линейных уравнений, рассмотренные в теме 9.

В качестве меры уклонения заданных значений функции y0, y1, ..., yn от многочлена степени m - φ(x)=a0 φ0(x)+a1 φ1(x)+...+amφm(x), принимается величина

где(n+1) – количество узлов, а m – степень аппроксимирующего многочлена (n+1 m).

Пример 4.2-1.Аппроксимировать следующие данные многочленом второй степени, используя метод наименьших квадратов.

Таблица 4.2-1