Пособие

Известно, что искомый определенный интеграл можно представить в виде суммы интегралов:

На каждом i-м отрезке функция интерполируется (заменяется) некоторой другой легко интегрируемой функцией gi(x). В результате получаем следующую квадратурную формулу:

необходимо заменить приближенной функцией, которая может быть проинтегрирована в аналитическим виде. В качестве такой функции обычно используют полином Рn(х) с узлами интерполяции в точках х0, х1, …,хn. В этих точках значения функции и интерполяционного полинома полностью совпадают f(xi) = Рn(xi).

Для получения простых формул интегрирования используют полиномы нулевой, первой и второй степени и соответственно получают формулы численного интегрирования: прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Очевидно, что замена функции f(x) интерполирующим полиномом приводит к образованию погрешности вычисления значения интеграла

Отметим, что увеличение числа подинтервалов n (или уменьшение значения длины шага интегрирования h) ведет к уменьшению погрешности.

5.2. Методы прямоугольников

Заменим подынтегральную функцию f(x) в пределах элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным многочленом нулевой степени (рис.5.2-1), то есть постоянной величиной, равной либо f(xi), либо f(xi+1).

41

Вприведенных выше формулах: a, b – границы интервала

арифметическое, соответственно, первых, вторых и четвертых конечных разностей.

Поскольку в формуле погрешности для метода трапеций присутствует вторая производная, а в формуле Симпсона – четвертая, то формула трапеций точна только для линейных функций, а формула Симпсона для линейных, квадратичных и кубических.

Из приведенных формул видно, что уменьшение шага интегрирования (h) приводит к уменьшению погрешности. При этом, поскольку квадратичная интерполяция представляет функцию с большей точностью, чем линейная, то при использовании формулы Симпсона требуемая точность достигается при меньших значениях n (количестве разбиений), чем, например, при использовании формулы трапеций и формулы прямоугольников.

Формулы для оценки погрешности могут быть также использованы для выбора числа разбиений n или шага интегрирования h, необходимых для обеспечения заданной точности. Однако практическое использование этих формул ограничено в связи с трудоемкостью их вычислений, поэтому при реализации численных методов на ПК используется прием, позволяющий получить оценку погрешности в неявном виде. Этот прием основан на двукратном вычислении значения интеграла вначале с шагом h(где h=(b-a)/n),

где: k=1–для формул левых и правых прямоугольников; k=2–для формул трапеции и средних прямоугольников; k=4–для формулы Симпсона.

Если полученная погрешность не удовлетворяет требуемой точности, то вычисляется значение интеграла при h=h/4 и снова оценивается погрешность, и т.д. до тех пор, пока не окажется, что погрешность стала меньше заданной точности. Это правило называется правилом Рунге (или правилом двойного просчета).

Пример 5.5-1. Вычислить значение определенного интеграла

Используем формулы правых и левых прямоугольников, считая, что h = 0.2,а n=(b-a)/h=5, имеем:

Используем формулы средних прямоугольников:

Iср 0.2 (0.99005 0.913913 0.77880 0.612626 0.444858) 0.7480496

Используем формулу Симпсона при m=2∙n=10(2∙5) и шаге h=0.1:

46

Произведем оценку погрешности каждого из полученных значений, используя известное аналитическое выражение подынтегральной функции f(x):

Следовательно,

Анализируя значения погрешностей, можно с уверенностью сказать, что самый точный результат получен с использованием формулы Симпсона.

Тема 6. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

6.1. Постановка задачи

Любое физическое явление, в котором рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, математически описывается дифференциальным уравнением (ДУ). Из курса высшей математики известно множество аналитических методов, позволяющих найти их решения. Однако, в некоторых случаях, например, если функция или коэффициенты ДУ представляют собой таблицу экспериментально полученных данных, использование аналитических методов невозможно.

Рассмотрим ряд численных методов, позволяющих без проведения сложных математических вычислений найти с заданной точностью решения

обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Из курса математического анализа известно, что обыкновенным называется такое дифференциальное уравнение от одной переменной, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x). В общем виде ОДУ можно представить следующим образом:

47

то для всякой внутренней точки (x0, y0) этой области данное уравнение имеет единственное решение.

Значения x0, y0 называются начальными условиями. Для ОДУ 2-го порядка, общее решение которого имеет две произвольные постоянные, в качестве начальных значений выступают x0, y0 = (x0) и y0 =φ (x0).

При решении ОДУ точным решением является аналитическое выражение функции y= (x), а результатом решения ОДУ численными методами является таблица значений y= (x) на некотором множестве значений аргумента х. Поэтому при постановке задачи численного решения ОДУ, наряду с начальными условиями (x0, y0), необходимо задать область решения - отрезок [a;b] и шаг изменения аргумента (h).

Таким образом, численное решение ОДУ представляет собой таблицу значений искомой функции для заданной последовательности аргументов, xi+1=xi+h, i=0, 1, …,n, гдеh =xi+1-xi называется шагом интегрирования.

Выделяют два класса методов решения ОДУ: одношаговые и многошаговые. В одношаговых методах для нахождения следующего значения функции требуется значение только одной текущей точки, то есть

а в многошаговых – нескольких, например

Начинать решение задачи Коши с использования многошаговых методов нельзя, сначала всегда используют одношаговые.

Основная идея решения ОДУ одношаговыми методами сводится к разложению искомого решения y(x) в ряд Тейлора в окрестности текущей точки и его усечению. Число оставшихся членов ряда определяет порядок и, следовательно, точность метода.

Рассмотрим наиболее распространенные одношаговые численные методы решения ОДУ.

6.2. Метод Эйлера

Пусть дано уравнение y =f(x,y) с начальными условиями x0, y0 = y(x0). Требуется найти решение данного уравнения на отрезке [a;b] (обычно x0=а) в n точках.

Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей и получим последовательность x0, x1,…, xn, где xi=x0+i∙h (i=0, 1, …,n), а h = (b-a)/n – шаг интегрирования.

49

Примем допущение, что на интервале [x0; x1] производная исходной функции постоянна и равна своему значению в точке (x0,y0). Тогда по формуле прямоугольников

Полученное выражение имеет наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 6.2-1) . Поскольку значение производной f’(x0,y0)=tg , то

впрямоугольном треугольнике ABD y0=h tg , и, следовательно, y1=y0+ y0=y0+h f (x0,y0). Таким образом, y1 может быть найдено геометрически

врезультате замены искомой кривой y(x) касательной, проведенной в точке А.

Рис. 6.2-1

Продолжая этот процесс и принимая подынтегральную функцию f(x) на соответствующем участке [xi,xi+1] постоянной и равной ее значению в начале отрезка, получим решение дифференциального уравнения в виде значений искомой функции y(x) на отрезке [a;b]. График решения представляет собой ломаную линию, которая называется ломаной Эйлера. При этом общая формула для определения очередного значения функции имеет вид:

Метод Эйлера является сравнительно грубым и применяется на практике в основном для проведения ориентировочных расчетов.

50