2.4.Алгоритмы методов численного интегрирования
В основу всех методов численного интегрирования положена замена подынтегральной функцию f(x) приближенной функцией, которая может быть проинтегрирована в аналитическим виде. В качестве такой функции обычно используют полином Рn(х) с узлами интерполяции в точках х0, х1, …,хn. Для получения простых формул на элементарных отрезках интегрирования используют полиномы нулевой, первой и второй степени и соответственно получают формулы численного интегрирования:
прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Во всех алгоритмах оценка погрешности проводится с использованием метода двойного просчета [3], который основан на двукратном вычислении значения интеграла вначале с шагом h(где h=(b-a)/n), а затем с шагом h/2. Значения интегралов Ihи Ih/2 могут быть применены для оценки погрешности интегрирования по формуле Рунге:
I |
I |
R, |
|
h |
|
h / 2 |
|
|
|
||
2 |
|
1 |
|
k |
|
|
|
где: k - порядок точности метода.
2.4.1. Метод средних прямоугольников
Схема алгоритма процедуры для вычисления определенного интеграла
методом средних прямоугольников представлена на рис. 2.4-1. Эта схема требует дополнения процедуры-функции f(x), в которой вычисляется значение подынтегральной функции.
Алгоритм метода основан на замене подынтегральной функции f(x) в пределах элементарного отрезка [xi;xi+1] интерполяционным многочленом нулевой степени, равным значению функции в середине отрезка [3]. Вычисление интеграла проводится с использованием формулы:
n 1 |
h |
|
|
I h f(a |
i h). |
||
2 |
|||
i 0 |
|
||
|
|
Оценка погрешности проводится с использованием метода двойного просчета, где в формуле Рунге k=2.
30
Рис. 2.4-1. Метод средних прямоугольников
31