Экзамен 2021 / Панков Пособие по АСП
.pdf
работы каждого объекта. Если под обслуживанием находятся k объектов, то интенсивность потока заявок в системе массового обслуживания будет равна (m - k)λ. Граф такой системы массового обслуживания представлен на рисунке:
Поскольку очередь ограничена, то предельные вероятности такой системы всегда существуют. Сравнение графов из данной подтемы и подтемы про процессы размножения и гибели показывает, что данная система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):
g = n+(m-n), Si = Si, µi = µ, i 0,n (m n),
λi = (m-i) λ, i 0,n 1, λk = (m-n)λ, k n,n (m n),
С учётом данных замен формулы для предельных вероятностей запишутся в виде
|
|
n |
i m! |
n 1 m! |
1 m n m n 1 |
|||
p0 |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
1 m n |
||||||
|
|
i 1 |
m i ! |
m n 1 ! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 1 , m n
p |
i m! |
p ,i |
|
; p |
|
m n j j p , j |
|
. |
1,n |
|
1,m n |
||||||
|
|
|||||||
i |
m i ! 0 |
n j |
n |
|||||
Образование очереди происходит, когда в момент поступления в систему массового обслуживания очередной заявки все n каналов заняты, т.е. когда в системе массового обслуживания будет находиться либо n, либо (n + 1),., либо (n + m - 1) заявок. В силу несовместности этих событий вероятность образования очереди рq будет равна сумме соответствующих вероятностей pn,
pn+1, ., pn+m-1:
n m 1 |
|
1 m n |
m n |
|
||
|
|
|
||||
pq pn k |
pn |
|
|
|
m n . |
|
1 m n |
||||||
k 0 |
|
|
|
|||
Поскольку отказа в обслуживании заявки нет, то |
prej 0 и относительная |
|||||
пропускная способность Q равна
Q1 prej 1,
аабсолютная пропускная способность
А= λQ = λ.
Среднее число занятых каналов nb (оно равно Lmt - среднему числу
обслуживаемых заявок) в данном случае нельзя находить по формуле nb A,
поскольку состояние системы «поток заявок» зависит от состояния системы
71
«число объектов», и nb надо находить как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0,1,..., п и вероятностями этих значений p0 , p1 ,... , pп . В результате получим:
n |
n |
|
k |
m! |
|
nb k pk k |
|
p0 . |
|||
|
|
|
|||
k 1 |
k 1 |
m k ! |
|||
Среднее число заявок, находящихся в очереди (Lq), найдём по формуле
m n m n
LQ j pn j pn j m n j j .
j 1 j 1
Поскольку среднее число обслуживаемых заявок Lmt nb , то среднее число заявок, находящихся в системе массового обслуживания, равно
LQS nb LQ .
Среднее время, проводимое заявкой в системе массового обслуживания равно
|
|
|
|
|
|
|
LQ |
|
A |
|
|
LQ |
. |
|
|
|
T |
t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
QS |
|
QS |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При |
1 |
в последнем |
слагаемом |
в |
представлении p0 возникает |
|||||||||
m n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
неопределённость типа 0/0. Раскрывая эту неопределённость и отмечая штрихом соответствующие величины, получим:
|
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||
p ' m n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||||||
|
|
|
|
k 1 m k ! m n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
pi ' |
|
p0 ',i 1,n; |
|||||||||||||
|
m i ! m n i |
|||||||||||||||
|
|
|
pn j ' pn ', j |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
1,m n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
pq ' m n pn ', |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
m! |
p0 ' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
nb k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
m k ! m n |
k |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
m n m n 1
LQ ' p0 '.
2
Среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания и в очереди определяется формулами Литтла.
Пример. Пять ткачих обслуживают 20 ткацких станков. Средняя продолжительность бесперебойной работы станка-30 минут, устранение неисправности (обрывания нити) занимает в среднем 1,5 минуты. Найдем
характеристики системы массового обслуживания.
Мы имеем, что λ = 1/30 мин-1, µ = 2/3 мин-1, ρ = λ / µ = 1/20, n = 5, m = 20.
Поскольку ρ ≠ 1/(m - n), то p0 находим по приведенной выше формуле:
72
|
|
5 |
i |
|
1/ 20 |
n 1 |
20! |
|
1 20 5 1/ 20 |
20 5 |
1 |
|
p0 |
1 |
1/ 20 |
20! |
|
|
|
|
0,1463; |
||||
|
20 5 1 ! |
1 20 5 1/ 20 |
||||||||||
|
|
i 1 |
20 i ! |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
|
1/ 20 5 20! |
|
|
p 0,085 |
|||
n |
5 |
|
20 5 ! 0 |
|
-вероятность того, что заняты все ткачихи.
Вероятность образования очереди находим по формуле^
p |
p |
|
1 20 5 1/ 20 |
20 5 |
20 5 1/20 0,25. |
|||||
1 |
|
20 5 |
1/20 |
|
||||||
q |
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Среднее число ткачих, занятых обслуживанием станков, находим по формуле:
5 |
1/ 20 |
k |
20! p0 1,65. |
nb k |
|
||
k 1 |
20 k ! |
||
Среднее число станков, находящихся в очереди, находим по формуле:
20 5
LQ pn j 20 5 j 1/20 j 0,785.
j 1
Полное число неработающих станков равно
LQS nb LQ 2,435.
К анализу других систем массового обслуживания Вы вернетесь при изучении ряда общепрофилирующих и специальных дисциплин.
73
Литература
Основная литература:
1.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: КНОРУС, 2016. - 448 с.
Дополнительная литература:
1.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.:Юстиция, 2018. - 494 с.
2.Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 448 с.
3.Лабскер Л.Г. Вероятностное моделирование в финансово-экономической области. М.:Инфра-М, 2019. - 176 с
74
Приложение - греческий алфавит
Начертание |
Произношение |
|
; |
альфа |
|
; |
|
бета |
; |
гамма |
|
; |
дельта |
|
; |
эпсилон |
|
; |
|
дзета |
; |
|
эта |
; , |
тэта |
|
; |
|
йота |
; |
каппа |
|
; |
|
лямбда |
; |
|
мю |
; |
|
ню |
; |
кси |
|
; |
омикрон |
|
; |
|
пи |
; |
|
ро |
; |
сигма |
|
; |
|
тау |
; |
|
ипсилон |
; , |
фи |
|
; |
|
хи |
; |
|
пси |
; |
|
омега |
75
Оглавление
Введение .......................................................................................................... |
3 |
Тема № 1 Элементы теории множеств, комбинаторики и теории меры |
4 |
Тема № 1 Основные понятия. Стационарные процессы .................................. |
4 |
Классификация случайных процессов........................................................... |
8 |
Стационарные процессы................................................................................. |
9 |
Линейные преобразования случайных процессов, дифференцирование и |
|
интегрирование случайных процессов......................................................... |
11 |
Спектральное разложение стационарного случайного процесса ............... |
16 |
Белый шум..................................................................................................... |
24 |
Тема № 2 Дискретные цепи Маркова.............................................................. |
25 |
Классификация состояний цепи Маркова.................................................... |
27 |
Эргодическая теорема для неприводимых цепей Маркова ........................ |
30 |
Стационарные распределения ...................................................................... |
34 |
Тема № 3 Марковские процессы с непрерывным временем.......................... |
35 |
Интенсивности переходов ............................................................................ |
36 |
Процессы размножения и гибели................................................................. |
39 |
Тема № 4 Пуассоновский и винеровский процесс.......................................... |
43 |
Функционалы винеровского процесса......................................................... |
48 |
Тема № 5 Теория массового обслуживания.................................................... |
50 |
Основные понятия и классификация............................................................ |
50 |
Одноканальная СМО с отказами.................................................................. |
55 |
Многоканальная система с отказами (задача Эрланга)............................... |
57 |
Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди .............................. |
59 |
Одноканальная СМО с неограниченной очередью..................................... |
61 |
Многоканальная СМО с ограниченной очередью....................................... |
63 |
Многоканальная СМО с неограниченной очередью................................... |
66 |
Многоканальная СМО с ограниченной очередью и ограниченным временем |
|
ожидания в очереди....................................................................................... |
67 |
n- канальная СМО замкнутого типа с m источниками заявок.................... |
70 |
Литература..................................................................................................... |
74 |
Приложение - греческий алфавит................................................................. |
75 |
Оглавление..................................................................................................... |
76 |
76
План УМД на 2020/21 уч.г. С. __, п. __
Константин Николаевич Панков
АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Учебное пособие
Подписано в печать __.__.2021г. Формат 60х90 1/16. Объём усл.п.л. Тираж экз. Изд. № . Заказ
77