Экзамен 2021 / Панков Пособие по АСП

Если начальное распределение совпадает со стационарным ( pn 0 qn , n 0 ), то распределение в любой момент времени t 0 также будет совпадать со стационарным:

pn t qi pi,n t qn n 0 .

i 0

Таким образом, если начальное распределение равно стационарному, то pn(t) не зависит от t.

Выведем дифференциальное уравнение для pn(t). Будем считать, что 1 0, тогда для всех n 0 можно выписать

pn t t pn 1 t n 1 t o t

pn t 1 n n t o t

pn 1 t n 1 t o t o t .

Тогда

Получаем бесконечную систему линейных уравнений для отыскания стационарного распределения. Она легко решается последовательно: из

41

Методом математической индукции можно доказать, что qn 0 1 n 1 q0

1 2 n

для всех n . Так как qn 1, то

i 0

Отметим, что в некоторых прикладных дисциплинах (к примеру, в теории массового обслуживания) под процессами размножения и гибели понимают и консервативные цепи Маркова процессы с конечным числом состояний (N=g), аналог графа переходов для которых выглядит следующим образом:

Здесь вершины Si i - это значения принимаемые сечениями случайного процесса, стрелки обозначают ненулевые вероятности переходов за малый промежуток времени (нагружены они интенсивностями переходов), а в силу консервативности интенсивности переходов из i-ого состояния в i-ое не отмечены вовсе.

Стационарное распределение для подобного процесса размножения и гибели q q0,q1,q2,...,qg в этом случае определяют и ищут аналогично

вышерассмотренному случаю. Отметим, что в этом случае стационарное распределение является предельным (это понятие определяется аналогично понятию из раздела о дискретных цепях Маркова):

42

Тема № 4 Пуассоновский и винеровский процесс

Рассмотрим процесс t ,t T , который состоит из случайных величин,

принимающих значения из 0 , т.е. 0,1,2,.... Эти значения можно интерпретировать как количество наступлений некоторых (одинаковых) событий. Потоком событий в прикладной теории случайных процессов называют последовательность событий, наступающих одно за другим в какието, вообще говоря, случайные моменты времени.

0 ;

P t h t 2 o h .

Ординарность случайного процесса можно интерпретировать таким образом, что события в некотором потоке за достаточно малый промежуток времени либо не наступают, либо наступают по одному, а не по несколько.

параметром 0, то для всех t 0 имеет место равенство

P t k t k e t k!

для всех k 0 , т.е. случайная величина t имеет распределение Пуассона с параметром t.

Доказательство. Применим метод характеристических функций.

независимости приращений пуассоновского процесса, то с использованием теоремы о характеристической функции суммы независимых случайных величин получаем:

t h Eei t h t i t 0 Eei t h t Eei t 0 t Eei t h t

43

t Eei h h t .

Это выполняется потому, что по условию однородности во времени величина t h t распределена так же, как и h 0 0 h .

характеристическая функция распределения Пуассона с параметром t. Отсюда по теореме единственности получаем, что - случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром t.

Теорема доказана. Утверждение. Пуассоновский процесс является цепью Маркова с

непрерывным временем.

Доказательство. Докажем, что для пуассоновского процесса выполняется определение цепи Маркова:

44

Вследствие независимости приращений это отношение равно:

P tn 1 tn kn 1 kn P tn tn 1 kn kn 1 P t1 t0 k1 P tn tn 1 kn kn 1 P t1 t0 k1

– число появлений события на отрезке [0;x]. Поэтому

P 1 x P x 1 1 P x 0 1 e x ,

так как случайная величина ξx распределена по закону Пуассона с параметром

λx.

Следовательно, случайная величина τ1 имеет показательное распределение с параметром (т.к. ее функция распределения равна 1 e x ).

В теории массового обслуживания и в некоторых других практических областях вместо понятия пуассоновского процесса используется термин

пуассоновский поток. Иногда употребляется термин простейший поток событий.

Пуассоновский процесс можно интерпретировать как процесс появления некоторого события (поток событий) в моменты времени t T 0, . Тогда

ξt - число появлений этого события до момента времени t. Траектория пуассоновского процесса является ступенчатой функцией с разрывами первого рода.

В силу рассуждений для τ1 и в силу однородности во времени делаем вывод, что в пуассоновском потоке интервалы времени между появлениями событий имеют показательное распределение.

45

Поток событий называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины T1,T2,...,Tn..., представляющие собой интервалы времени между соответственно 1-м и 2-м, 2-м и 3-м и т.д., n-м и (п+ 1)-м событиями и т.д., независимы.

Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала. Стационарность потока означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени, т.е. не изменяются с течением времени.

Стационарный поток с ограниченным последействием называется потоком Пальма.

У потока Пальма случайные величины T1,T2,...,Tn... имеют один и тот же закон распределения (имеют одну и ту же функцию распределения). Пуассоновский процесс является потоком Пальма, поскольку он стационарен, случайные величины T1,T2,...,Tn...распределены по показательному закону (докажите это) и независимы в силу независимости приращений.

Важными специальными случаями потока Пальма являются потоки Эрланга. Потоком Эрланга k-го порядка с параметром 0 называется поток, получающийся из пуассоновского с интенсивностью 0 сохранением в нем

каждого k-то события.

Например, поток Эрланга 1-го порядка совпадает с исходным пуассоновским потоком и, следовательно, пуассоновский поток является потоком Эрланга 1-го порядка.

Для случайной величины Tk - промежутку времени между двумя соседними

событиями в потоке Эрланга k-го порядка, порожденном Пуассоновским процессом с интенсивностью 0 можно найти плотность:

а также функцию распределения

Пользуясь методами теории вероятностей можно доказать, что распределение Эрланга k-го порядка есть распределение суммы k независимых в совокупности, экспоненциально распределенных случайных величин с одним и тем же параметром . Следовательно,

46

Интенсивность потока Эрланга k-го порядка совпадает с математическим ожиданием Tk .

Отметим, что обобщением пуассоновского процесса является нестационарный пуассоновский процесс или поток, для которого выполняется условие независимости приращений, 0 0, и ординарности, но вместе с тем

интенсивность t limP t h t 1 зависит от t [0; ).

h 0 h

Если для нестационарного пуассоновского потока с интенсивностью t ,

некоторый рассмотреть промежуток времени длиной 0, начинающийся с момента t0 и дискретную случайную величину X t0, — число событий,

наступающих в потоке за промежуток времени t0,t0 , то выполняется свойство, что X t0, имеет распределение Пуассона с параметром, равным

распределены.

4). При h 0 для моментов случайных величин h выполняются следующие свойства:

E h ah o h ,

E h2 bh o h ,

В отличие от пуассоновского процесса, винеровский имеет непрерывную траекторию.

47

Винеровский процесс служит математической моделью одномерного броуновского движения и часто называется процессом броуновского движения.

В случае a 0 и b 1 винеровский процесс называется стандартным винеровским процессом.

Функционалы винеровского процесса

Рассмотрим траекторию стандартного винеровского процесса t ,t 0, и

зафиксируем некоторое вещественное число a.

Пусть a - момент первого достижения уровня a траекторией случайного винеровского процесса.

Величина a является случайной величиной.

Фиксируем некоторое вещественное T 0. Рассмотрим выражение

P T a| a T P T a| a T P T a| a T 1

Утверждается, что

P T a| a T P T a| a T .

Если сформулировать нестрого, то число траекторий, входящих в левую часть, совпадает с числом траекторий, входящих в правую (т.е. происходит «отражение»). Каждой траектории мы сопоставляем отражённую траекторию.

Для винеровского процесса, обладающего непрерывной траекторией, выполняется равенство P T a| a T 0. Следовательно,

P T a| a T P T a| a T 1/ 2.

Данное выражение есть принцип отражения.

В силу непрерывности траекторий винеровского процесса верно следующее включение: T a a T . Следовательно,

48