Экзамен 2021 / Панков Пособие по АСП

математическими ожиданиями, равными 0, и одинаковыми ненулевыми дисперсиями 2 , то t,t - стационарный в широком смысле случайном процесс с корреляционной функцией R cos w .

Докажите это самостоятельно.

Для данной случайной величины не существует плотности. Следовательно, наш процесс не обладает нормированной спектральной плотностью.

Случайный процесс t,t представляет собой гармоническое колебание

распределения которых не зависят от времени t.

Линейные преобразования случайных процессов, дифференцирование и интегрирование случайных процессов

Определение. Назовем оператором отображение, ставящее в соответствие одной функции другую функцию. Примеры оператора являются:

Оператор дифференцирования

y dy A dx

11

Например:sinх cosх,х2 2х

A A

Оператор интегрирования

х

y ydx

A 0

Определение. Оператор A называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства и любого λ из произвольного числового поля (к примеру, поля вещественных чисел) выполняются соотношения

1.A(x1+x2)=Ax1+Ax2.

2.A(λx)=λAx.

Определение. Производная случайного процесса определяется как предел lim X t t X t X ' t dX

Так как X(t) случайный процесс, то предел нужно понимать в вероятностном смысле: это может быть, к примеру, сходимость с вероятностью единица либо сходимость в среднем порядка 2 (в среднем квадратическом).

Рассмотрим случайный процесс X(t) с математическим ожиданием mX(t) и автоковариационной функцией KX(t1,t2). Обозначим производную случайного процесса X(t) как Y(t) :

Y t dX X ' t dt

Требуется найти математическое ожидание и автоковариационную функцию производной случайного процесса, т.е. mY(t) и KY(t1,t2).

Найдем математическое ожидание левой и правой частей равенства из определения производной случайного процесса, предполагая, что соответствующие переходы возможны:

Следовательно, можно сделать вывод, что математическое ожидание производной от случайного процесса равно производной от его математического ожидания. Т.е. операцию дифференцирования можно менять местами с нахождением математического ожидания случайного процесса.

Для определения KY(t1,t2) перейдем к центрированным случайным функциям

случайных величин их математические ожидания. Тогда получим:

d X t Y t .

dt

По определению автокорреляционной функции:

KY t1,t2 E Y t1 Y t2 .

12

дисперсию и нормированную автоковариационную функцию производной случайного процесса.

Легко можно найти, что:

E X t ae t Kx t1,t2 2e t1 t2

Rx t1,t2 1

Найдем математическое ожидание производной случайного процесса, используя выведенную выше формулу

EX t ae t ' a e t

Найдем автоковариационную функцию производной случайного процесса по выведенной выше формуле:

Для нахождения дисперсии случайного процесса x t подставим t1 t2 t в

выражение для автоковариационной функции. Получим

2 x t 2 2e 2 t

Нормированная автоковариационная функция равна:

Можно провести проверку. К примеру, непосредственное нахождение характеристик случайного процесса после нахождения производной исходного случайного процесса:

X t A e t

EX t E A e t e t E A ae t

2.Пусть случайный процесс представляет собой гармоничное колебание со случайной начальной фазой

X t Acos wt

где A=const, w=const, – случайная величина, которая равномерно распределена на интервале 0,2

Легко можно найти, что

EX t 0

KX t1,t2 A2 cos t1 t2

2

Найдём математическое ожидание производной случайного процесса

E X t E X t ' 0 ' 0

Найдем автоковариационную функцию производной случайного процесса

14

так как у этих случайных процессов математические ожидания - константы, а автоковариационные функции являются функциями от t2 t1

В общем случае производная стационарного случайного процесса также стационарный случайный процесс, у которого

E X ' t 0

Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса находится по формуле:

3. В условиях примера о радиоактивности найдем математическое ожидание, дисперсию и автоковариационную функцию случайного процесса Y t ,

равного

t

Y t X z dz

0

Легко видеть, что.

Для получения дисперсии заменим t t1 t2 :

DY t 2 e t 1 2

2

4. Найдем математическое ожидание, дисперсию и автоковариационную функцию случайного процесса Y t , который равен интегралу от случайного

процесса из примера о гармоническом колебании. Математическое ожидание равно^

t

EY t 0dz 0

0

Автоковариационная функция равна:

15

A2

2 2 cos t2 t1 cos t2 cos t1 1

2A2

При t t1 t2 получим DY t 2 2 2cos t

Заметим, что характеристики преобразованного случайного процесса можно найти непосредственно после нахождение аналитической формулы для преобразованного процесса так, как это было сделано при «проверке» в примере о производной процесса радиоактивности выше. Однако, как правило, нахождение вероятностных характеристик, используя соответствующие действия над математическим ожиданием и автоковариационной функцией исходного случайного процесса проще. Так, если бы в последнем примере мы бы нашли интеграл от случайного процесса, а затем его характеристики, то это было бы намного сложнее.

Спектральное разложение стационарного случайного процесса

Сперва рассмотрим случайный процесс

X t mX Uk cos kt Vk sin kt

Предварительно найдем характеристики случайного процесса Xk t , общего члена рассмотренного выше ряда:

Xk t Uk cos kt Vk sin kt

Математическое ожидание этого процесса (гармонического колебания со

равенства нулю его математического ожидания, будет равна, повторяя уже проделанные в примере из подтемы «Стационарные процессы» вычисления:

KXk t1;t2 E Xk t1 Xk t2

E Uk cos kt1 Vk sin kt1 Uk cos kt2 Vk sin kt2

Dk cos k t2 t1 .

16

Теперь рассмотрим характеристики исходного случайного процесса X(t), заданного формулой, которую перепишем в виде:

X t Xk t mX

k 0

Математическое ожидание этого случайного процесса равно:

E X t mX E Xk mX

автокорреляционная функция случайного процесса X(t) равна сумме автокорреляционных функций составляющих:

KX t t1,t2 KXk t t1,t2 Dkcos k ,

k 0 k 0

где t2 t1

Можно сделать вывод о том, что поскольку у X(t) математическое ожидание постоянное, а автокорреляционная функция зависит только отt2 t1 , то этот случайный процесс – стационарный в широком смысле.

Найдем дисперсию этого случайного процесса. По свойствам автокорреляционной функции дисперсия равна значению этой функции при одинаковых значениях аргументов, а значит для стационарного случайного процесса дисперсия равна значению автокорреляционной функции в нуле,

t t 0:

DX t KX t t,t KX t | 0 Dk k 0

Теперь рассмотрим произвольный стационарный (в широком смысле)

k N , а коэффициенты разложения имеют вид:

17

Легко можно показать, что все DK≥0.

Полученное разложение называется спектральным разложением автокорреляционной функции случайного процесса X(t).

В начале раздела мы рассмотрели случайный процесс X(t) с произвольными значениями величин ωk и Dk. Возьмем значения этих величин ωk и Dk по полученным формулам для произвольного стационарного (в широком смысле) случайного процесса X’(t)= X(t). Тогда представление случайного процесса по формуле

X t mX Uk cos kt Vk sin kt

k 0

с соответствующими условиями из начала раздела со значениями для ωk и Dk по

(действительной формой спектрального разложения стационарного случайного процесса).

Можно сказать, что в этом случае происходит разложении исходной случайной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами (подобно тому, как музыкальный аккорд может быть выражен в виде суммы музыкальных звуков, которые его составляют).

Спектр графически изображен на следующем рисунке:

Итак, можно сделать вывод о том, что на интервале (-T,T) мы представили наш случайный процесс в виде суммы гармоник (гармонических колебаний) таких, что дисперсия всего процесса складывается из амплитуд всех гармоник

по формуле DX Dk . Таким образом можно определить, какие участки

k 0

спектра дают наибольший вклад в случайный процесс.

18

Однако, полученные разложения с формулами для ωk и Dk справедливы только на интервале (-T,T).

Напомним из курса математического анализа (высшей математики), что в ряд Фурье можно раскладывать только периодические функции. Поэтому, чтобы использовать ряд Фурье, автокорреляционную функцию на интервале (- T,T) доопределяют на всю числовую ось с периодом 2T. Но вне интервала (- T,T) сумма ряда не равна нашей автокорреляционной функции. Следовательно, необходимо увеличивать значение T.

Ответим на вопрос, что будет при этом меняться? К примеру, увеличим интервал в два раза, получив новое значение T’ = 2T. Тогда, число гармоник удвоится (появятся новые составляющие в спектре, в данном случае посередине между «старыми» составляющими, но уже с другими коэффициентами DK '):

Однако, дисперсия всего процесса также будет равна DX Dk ' Dk

останется той же, не смотря на увеличение числа гармонических составляющих.

Перейдем в представлении

к пределу при Т и используем обозначение

lim Dk S , где k .

0

При переходе к пределу представление KX (интегральная сумма для соответствующей функции на луче 0, ) преобразуется в интеграл:

KX S cos d

0

19

Назовем функцию S из полученного представления спектральной

плотностью стационарного случайного процесса для действительной формы спектрального разложения стационарного случайного процесса. Можно сказать, что для этой плотности автокорреляционная функции является ее косинус – преобразованием Фурье. Используя формулу обращения можно доказать, что

2

S KX cos d

0

Спектральная плотность S представляет собой зависимость дисперсии

случайного процесса от частоты, поэтому ее можно трактовать как количество мощности случайного процесса, приходящуюся на единицу частоты.

DX DX t K 0 S( )d

0

По аналогии с геометрическим смыслом несобственного интеграла перврго рода можно сказать, что дисперсия для стационарного процесса равна площади под графиком спектральной плотности.

При решении ряда прикладных задач проще использовать спектральную плотность в комплексной форме. Для этого доопределим спектральную плотность на отрицательную область значений , так, чтобы функция стала четной, одновременно уменьшив в два раза вся значения этой функции при положительных .

Заметим, что никакого физического смысла отрицательные частоты не имеют. Это просто удобная математическая абстракция.

Определение. Спектральной плотностью (случайного процесса) в

комплексной форме называется функция:

S*( )=1 S( ) при - < 2

20