Экзамен 2021 / tasks_done_v2
.pdfСвойства (для работы №1)
1)(φ( )) = φ( ); φ( ) - неслучайная величина
2)(− ) =− ( )
3)(φ( )) = 0
4)( ) = ( )
5)( 1, 2) = [ центр( 1) · центр( 2)]= [ ( 1) · ( 2)]
6)центр( 1) = ( 1) − ( 1) = ( 1)
7)центр( 2) = ( 2) − ( 2) = ( 2)
8)( 1, 2) = [ ( )]
9)Используемые распределения: нормальное, равномерное дискретное, пуассоновское, экспоненциальное, биномиальное
Название |
Обозначение |
|
Плотность |
Мат. |
Дисперсия |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ожидание |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нормальное |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
− |
( − )2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( ; σ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
2πσ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Равномерное |
[ ; ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2− + 1 |
|||||
|
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
дискретное |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
−1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
||
Пуассоновское |
Π(λ) |
|
|
|
λ |
|
|
|
−λ |
|
|
|
λ |
|
|
λ |
||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Экспоненциальное |
(λ) |
|
|
λ |
−λ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
λ2 |
|
|||||||
Биномиальное |
( ; ) |
(1 − ) − |
|
|
(1 − ) |
|||||||||||||||||
10)Для равномерного распределения:
Свойства (для работы №2)
1) |
Для пуассоновского потока |
|
|
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
|
|
|||
2) |
|
|
|
наиболее вероятное k находится с помощью |
|||||||||
Для пуассоновского потока ( ) = |
! |
· |
|
|
−1 |
|
|
||||||
|
отношения |
( ) |
(λ· ) |
−λ |
· ( |
|
(λ· ) |
−λ |
) |
+1 |
; отношение |
||
|
|
( +1) = |
! |
· |
|
! |
· |
|
= |
λ |
|
||
сравнивается с 1
3)Интенсивность потока Эрланга k-го порядка совпадает с математическим ожиданием ( ): ( ) = λ
4) |
Плотность распределения: |
( )( ) = |
|
−1 |
|
−λ |
, ≥ 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ(λ ) |
|
|
||||||||||
5) |
|
|
|
2 |
|
2 |
( −1)! |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( ) = ( ) − ( ( )) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6) |
2 |
|
( +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Функция( ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
|
= |
|
λ |
|
|
|
|
|
|
−λ |
−1 |
(λ ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; при |
|
||||||||
|
( )( ) = ( ( ) |
< ) = 1 |
|
− |
|
|
∑ |
|
|
|
|
> 0 |
||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
||||||||||||
|
( )( ) = ( ( ) |
< ) = 0 |
; при |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
№ 1.11
Рассматривается случайная функция ( ) = (ω0 ), где U - случайная величина, распределённая по экспоненциальному закону ( 1λ ), ω0 -
константа. Найти математическое ожидание ( ), дисперсию ( ) и
корреляционную функцию ( 1, 2).
= |
1 |
= λ |
|
|
|
|
λ−1 |
1 |
|
2 |
|||
= |
1 |
|
= |
= λ |
|
|
(λ−1)2 |
λ−2 |
|
||||
( ) = ( ) = ( (ω0 )) = (ω0 ) · = λ (ω0 )( 1, 2) = [ центр( 1) · центр( 2)]= [ ( 1) · ( 2)]центр( 1) = ( 1) − ( 1) = ( 1)
центр( 2) = ( 2) − ( 2) = ( 2)
( 1, 2) = [ (ω0 )]= · (ω0 1) · (ω0 2)( 1, 2) = λ2 · (ω0 1) · (ω0 2)
( ) = ( , ) = λ2 · 2(ω0 )
№ 1.12
Рассматривается случайная функция |
|
−, где U - случайная |
||||||
величина, распределённая по |
экспоненциальному закону |
|
|
. Найти |
||||
|
( ) = λ |
|
ожидание |
|
|
, |
||
плотность распределения сечения, математическое |
|
(λ) |
( ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дисперсию ( ), σ ( ) и корреляционную функцию ( 1, 2). |
|
|
||||||
=
=
1
λ
1
λ2
( ) = λ −λ при ≥ 0; при < 0 ( ) = 0( ) = 1 − −λ при > 0; при ≤ 0 ( ) = 0
( ) = ( ) = (λ −) = λ − = λ − · 1λ = −
( 1, 2) = λ − |
= λ · · −1 · −2 = |
1λ |
· −1 −2 |
||||||
|
[ |
|
1] |
|
|
−2 |
|||
( ) = ( , ) = |
λ |
· |
|
|
|
||||
σ ( ) = |
( ) = |
1 |
|
· |
− |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
λ |
|
|
|
|
|
|||
№ 1.13
Рассматривается случайная функция ( ) = 2 2 + 2 , где U - случайная величина, распределённая по равномерному закону (− 1; 3). Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание ( ),
дисперсию ( ), σ ( ) и корреляционную функцию ( , ).
1 2
= |
+ |
|
= |
−1+3 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= −2 + 1 = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
−1 |
|
= |
|
24 |
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
12 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( ) = |
|
−1 |
= 41 |
при |
[− 1; 3] |
; при |
|
[− 1; 3] ( ) = 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( ) = 0 |
при |
; |
( ) |
= |
− |
при |
; иначе 1 |
||||||||||
( ) = ∫ |
|
|
< |
− |
|
< ≤ |
|||||||||||||||
−∞
( ) = ( ) = (2 2 + 2 ) = 2 2 · + 2 = 2 2 + 2( 1, 2) = [2 2 + 2 ]= 2 21 22 · + 0 = 4 21 22( ) = ( , ) = 4 4
σ ( ) = ( ) = 2 2
№ 1.14
Рассматривается случайная функция ( ) = 3 − + 1, где U - случайная величина, распределённая по закону (0, 4). Найти закон распределения сечения этой случайной функции ( ), её математическое ожидание ( ),
дисперсию ( ), σ ( ) и корреляционную функцию ( , ).
1 2
= |
+2 |
|
= |
|
|
0+42 |
= 2 |
|
|
|||||||||||
= −2 |
+ 1 = 5 |
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
−1 |
= |
24 |
|
= 2 |
|
|
||||||||||||
|
12 |
|
12 |
|
|
|
||||||||||||||
( ) = |
|
−1 |
= |
41 |
|
|
|
[0; 4] |
[0; 4] ( ) = 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
; при |
|
|
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ ( ) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−∞при |
|
|
≤ 0 |
|
|
|
|||||||||
|
( ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( ) = − = |
4 |
|
0 < ≤ 4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( ) = 1 |
при |
|
|
> 4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( ) = ( ) = ( 3 − + 1) = 3 · − + 1 = 2 3 − + 1( 1, 2) = [ 3 − + 1]= 31 32 · − 0 + 0 = 2 31 32( ) = ( , ) = 2 6
σ ( ) = ( ) = 3 2
№ 1.15
Рассматривается случайная функция ( ) = (3 + 2), где U - случайная величина, распределённая по равномерному закону (− 2; 7). Найти плотность распределения сечения, математическое ожидание ( ),
дисперсию ( ), σ ( ) и корреляционную функцию ( , ).
1 2
= |
+ |
|
= |
|
−2+7 |
= 2. 5 |
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= −2 + 1 = 10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
−1 |
|
= |
|
99 |
|
= 8. 25 |
|
|
||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||
( ) = |
−1 |
= |
91 |
|
при |
[− 2; 7] |
; при |
[− 2; 7] ( ) = 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ ( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞при |
|
≤− 2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
( ) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+2 |
|
при |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( ) = − = |
9 |
|
|
− 2 < ≤ 7 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( ) = 1 |
при |
|
> 7 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( ) = ( ) = ( (3 + 2)) = · (3 + 2) = 2. 5 (3 + 2)( 1, 2) = [ (3 + 2)] = · (3 1 + 2) (3 2 + 2)
( 1, 2) = 8. 25 |
· (3 1 + 2) (3 2 + 2) |
|
( ) = ( , ) |
= 8. 25 · 2(3 + 2) |
|
σ ( ) = |
( ) = |
8. 25 · (3 + 2) |
№ 1.17 (задание)
Найти математическое ожидание ( ), корреляционную функцию ( , ),
1 2
дисперсию ( ) случайного процесса ( ). U, V - некоррелированные случайные величины для следующих случаев.
№ 1.17a
( ) = 2 + −(3; 2), (0. 5)= 3= 2
= 01.5 = 2
1= (0.5)2 =
0.251 = 4
( ) = ( ) = (2 + − ) = 2 · + · −( ) = 32 + 2 −
(1, 2) = [ 2 + − ]= · 21 22 + · 1 · 2 − 0(1, 2) = 221 22 + 4 · 1 · 2
( ) = ( , ) = 24 + 42
№ 1.17b
( ) = − 3 −3 +[0; 6], (10; 0. 5)= +2 = 3= − + 1 = 7
= 2 −1 = 48 = 4
12 12
= = 10 · 0. 5 = 5= (1 − ) = 10 · 0. 5 · (1 − 0. 5) = 5 · 0. 5 = 2. 5
( ) = ( ) = ( − 3 −3 + ) = · − 3 −3 +( ) = 3 − 3 −3 · 5 + = 3 − 15 −3 +( 1, 2) = [ − 3 −3 + ]= 1 2 · − 3 −3 1 −3 2 · + 0
−3 −3
( 1, 2) = 4 1 2 − 7. 5 · 1 · 2( ) = ( , ) = 4 2 − 7. 5 · −6