Экзамен 2021 / tasks_done_v2
.pdf
№ 3.94
В СМО поступает в среднем λ = 70 заявок в час. Найти вероятность того, что за время = 10 минут в СМО поступит: а) ровно = 3 заявок; б) менее 3 заявок; в) более 2 заявок.
Λ = |
6070 |
= |
67 |
|
|
|
−Λ |
|
|
( 706 |
3 |
|
|
− 706 |
|
|
|
|||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
( = 3) = |
(Λ· ) |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
· |
|
|
= 0. 002 |
||||||||
б) |
! |
|
|
|
|
3! |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−Λ |
|
|
( 706 ) |
− 706 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
(Λ· ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( < 3) = |
∑ |
· |
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
· = 0. 0007 |
|||||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
! |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−Λ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( > 2) = 1 − ∑ |
|
(Λ· ) |
· |
|
= 1 − 0. 0007 = 0. 9993 |
||||||||||||||||
|
|
! |
|
|
||||||||||||||||||
=0
№ 3.97
По шоссе движется два простейших потока автомобилей с интенсивностями 0.7 и 0.9 авт/сек. Найти наиболее вероятное число автомобилей объединённого потока за 1 секунду. Какова вероятность того, что за 2 секунды проедет: а) 4 автомобиля; б) более 2 автомобилей объединённого потока?
λ = λ1 + λ2 = 1. 6; = 2
а) |
|
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
|
|
4 |
−3.2 |
|
|
|
|
|
|
( = 4) |
= |
|
· |
|
= |
(3.2) |
· = 0. 178 |
|
||||||
|
! |
|
|
4! |
−3.2 |
||||||||||
б) |
|
|
|
2 |
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
2 |
(3.2) |
|
|||
|
( > 2) |
= 1 − ∑ |
|
· |
|
= 1 − ∑ |
|
· = 0. 6201 |
|||||||
|
! |
|
|
|
! |
|
|||||||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
= 1
( ) |
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
|
= |
|
· |
|
· ( |
||
( +1) |
! |
|
|
|||
Наиболее вероятное = 0
и |
· −λ )−1 = |
λ+1 |
= |
1.6+1 |
|
= 1 |
|
|
|
№ 3.101
Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0.003 отказа в час. Найти вероятность того, что: а) за 300 часов работы не наступит ни одного отказа; б) за 100 часов работы наступит ровно 3 отказа; в) за 200 часов работы наступит чётное число отказов.
λ = 0. 003 а) = 300
( = 0) = (λ· )
!
б) = 100
( = 3) = (λ· )
!
в) = 200
2 2
(2 ) = ∑ (λ· )
(2 )!
=0
· −λ |
= −0.9 = 0. 406 |
|
|||||||||||
−λ |
|
(0.3) |
3 |
|
|
|
−0.3 |
|
|
|
|||
· |
|
= |
|
|
· |
|
|
= 0. 003 |
|||||
−λ |
3! |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
(0.6) |
2 |
|
|
−0.6 |
|
||||
· |
|
= |
∑ |
|
|
|
· |
|
= 0. 6506 |
||||
|
|
|
(2 )! |
|
|
||||||||
=0
№ 3.104
Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0.001 отказа в час. Найти вероятность того, что а) за 100 часов работы наступит более 4 отказов; б) за 200 часов работы наступит чётное число отказов. Найти наиболее вероятное число отказов за 200 часов.
λ = 0. 001 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0.1 |
|
|||||||
= 100 |
|
|
|
(λ· ) |
|
|
|
|
|
|
(0.1) |
|
|
||||||||||||||||
( > 4) = 1 − ∑ |
|
|
· |
|
|
|
= 1 − ∑ |
|
|
· |
|
≈ 0 |
|||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
||||||||||||||||||
б) = 200 |
|
=0 |
|
−λ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(0.2) |
|
−0.2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2 ) = ∑ |
|
(λ· ) |
|
· |
|
= ∑ |
|
· |
|
|
|
= 0. 8352 |
|
||||||||||||||||
|
|
2 ! |
|
|
|
|
2 ! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= 200 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
−λ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
|
(λ· ) |
|
|
|
|
+1 |
|
|
+1 |
|
|
|||||||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( +1) |
= |
|
! |
|
· |
|
|
· ( |
|
! |
|
· |
|
) |
= |
λ |
|
= |
0.2 |
|
|
||||||||
Наиболее вероятное = 0
№ 3.106
Поток вызовов, поступающих на АТС - простейший пуассоновский поток. Математическое ожидание числа вызовов, поступающих за 2 секунды, равно 7. Найти вероятность того, что: а) за 1 секунду поступит ровно 6 вызовов; б) за 1 секунду не поступит ни одного вызова. Найти наиболее вероятное число вызовов, поступающих за 3 секунды.
2
= ∫ λ( ) = 7, но для простейшего потока λ = τ = 72 = 3. 5
а) |
0 |
|
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
(3.5)6 |
|
|
−3.5 |
|
|
|
|
||
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( = 6) |
= |
|
|
! |
· |
|
= |
6! |
· |
|
= 0. 077 |
|
|||||
б) |
|
|
|
|
|
−λ |
|
−3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( = 0) |
= |
(λ· ) |
· |
|
= |
= 0. 03 |
|
|
|
||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|||||||||||
= 3 |
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
−1 |
|
+1 |
|
+1 |
|||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( +1) |
= |
! |
|
|
· |
|
· ( |
! |
· |
|
) |
= |
λ |
= |
10.5 |
||
Наиболее вероятное = 9 и = 10
№ 3.109
Даны 3 простейших пуассоновских потока с интенсивностями 1, 2 и 3 сооб/мин. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) поступит не более 2-х требований объединённого потока; б) поступит более 1 требования объединённого потока. Найти наиболее вероятное число поступающих событий за 1 минуту.
λ = λ1 + λ2 + λ3 = 6; = 2
а) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−λ |
|
2 |
|
(12) |
|
|
−12 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
( ≤ |
2) = ∑ |
(λ· ) |
· |
|
|
|
= ∑ |
|
· |
|
|
|
= 0. 0005 |
||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
=0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
=0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
−12 |
||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
|
|
|
(12) |
|||||||||||
|
( > |
1) = 1 − ∑ |
|
· |
|
= 1 − ∑ |
|
· |
= 0. 99992012 |
|||||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
! |
|
|||||||||||||||||||
= 1 |
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(λ· ) |
|
−λ |
|
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
|
+1 |
|
|
|
+1 |
|
|
||||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Наиболее вероятное |
|
· ( |
! и |
· |
|
) |
= |
λ = |
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||
( +1) = |
! |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 5 |
|
|
= 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ 3.111
Даны 3 простейших пуассоновских потока с интенсивностями 1.5, 1 и 2 требований/мин. Найти вероятность того, что за 3 минуты: а) поступит не более 3-х требований объединённого потока; б) не поступит требований. Найти наиболее вероятное число поступающих требований за 1 минуту.
λ = λ1 + λ2 + λ3 = 4. 5; = 3
а) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
−λ |
|
|
3 |
|
(13.5) |
|
−13.5 |
|
|||||
|
( ≤ |
3) = ∑ |
|
(λ· ) |
· |
|
|
= ∑ |
|
· |
|
|
|
= 0. 0007 |
|||||||||||
|
|
|
! |
|
|
! |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
−6 |
|||||
б) |
( = |
0) = |
|
(λ· ) |
|
|
· |
= |
−13.5 |
= 1. 371 · 10 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= 1 |
|
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
(λ· ) |
|
|
|
−λ |
|
−1 |
+1 |
|
+1 |
|||||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( +1) |
= |
|
! |
|
· |
|
|
|
|
· ( |
! |
· |
|
) |
= |
|
λ |
= |
4.5 |
||||||
Наиболее вероятное |
|
= 3 |
и |
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||