Экзамен 2021 / tasks_done_v2
.pdf
№ 3.49
Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является потоком Эрланга 5-го порядка с параметром λ = 40 авт/мин. Найти интенсивность данного потока, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию участка времени между автомобилями в потоке.
Интенсивность потока Эрланга k-го порядка совпадает с математическим
ожиданием ( ): ( ) = |
λ |
|
= |
405 |
= 0. 125 |
|
−λ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ(λ ) |
|
|
|||
Плотность распределения: |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|||||||||
( )( ) = |
( −1)! |
|
, ≥ 0 |
|||||||||||||||
( )( ) = |
|
−1 |
|
−40 |
|
|
|
|||||||||||
40(40 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( −1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
( +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
λ2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||
( ) = ( ) − ( ( )) = |
λ2 |
= |
1600 |
= 0. 031250 |
||||||||||||||
Функция распределения потока Эрланга k-го порядка:
|
−λ |
−1 |
(λ ) |
; при |
|
( )( ) = ( ( ) < ) = 1 − |
|
∑ |
|
> 0 |
|
|
! |
|
|||
|
|
=0 |
|
|
|
( )( ) = ( ( ) < ) = 0; при ≤ 0
№ 3.50
По шоссе в одном направлении движется два простейших потока автомобилей с интенсивностями λ1 = 1. 5 (авт/мин) и λ2 = 3 (авт/мин).
Найти наиболее вероятное число автомобилей объединённого потока за 5 минут, а также вероятность этого числа. Найти вероятность того, что за 6 минут проедет нечётное число автомобилей объединённого потока.
λ = λ1 + λ2 = 4. 5; = 5
( ) |
= |
(λ· ) |
· |
−λ |
· ( |
(λ· ) |
|||||
( +1) |
! |
|
|
|
|
! |
|||||
Наиболее вероятное |
|
= 21 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(λ· ) |
|
|
|
|
−λ |
|
|
( = |
21) = |
|
|
· −λ |
= |
||||||
|
! |
|
|||||||||
( = |
22) = |
|
(λ· ) |
|
· |
|
|
= |
|||
|
! |
|
|
|
|||||||
и· −λ )−1 |
= |
λ+1 |
= |
22.5+1 |
||
=21 |
22 |
−22.5 |
|
|||
(22.5) |
|
· −22.5 = 0. |
082 |
|||
21! |
22 |
|||||
(22.5) |
|
· |
= 0. |
084 |
||
22! |
|
|||||
= 6 |
45 |
2 +1 |
|
−λ |
30 |
27 |
2 +1 |
|
−27 |
|
(2 + 1) = |
∑ |
(λ· ) |
· |
|
= ∑ |
|
· |
|
= 0. 5 |
|
(2 +1)! |
|
(2 +1)! |
|
|||||||
|
=0 |
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
№ 3.52
Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0.1 отказа в минуту. Найти вероятность того, что: а) за 1 час работы наступит более одного отказа; б) за 2 часа работы не будет ни одного отказа; в) за полчаса будет чётное число отказов. Найти наиболее вероятное число отказов.
λ = 0. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
= 60 |
|
|
|
|
|
1 |
|
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|
|
−6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( > 1) = 1 − |
|
∑ |
|
|
· |
|
|
|
= 1 − |
∑ |
|
|
|
· |
= 0. 9826 |
|||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
||||||||||||||||||||
б) |
= 120 |
(λ· ) |
=0 |
−λ |
|
|
|
−12 |
|
|
|
=0 |
|
|
−6 |
|
|
|
||||||||||||
( = 0) = |
|
! |
|
· |
|
|
= |
|
|
= 6. 144 · 10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) |
= 30 |
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
−λ |
|
|
|
5 |
|
|
3 |
2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(2 ) = ∑ |
|
(λ· ) |
|
· |
|
= ∑ |
|
|
· |
|
= 0. 5012 |
|
||||||||||||||||||
|
|
(2 )! |
|
|
(2 )! |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
=0 |
|
|
−λ |
|
|
|
|
=0 |
|
−λ |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ) |
(λ· ) |
|
|
(λ· ) |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
+1 |
|||||||||||||||||
( +1) |
= |
! |
|
|
· |
· ( |
|
! |
|
· ) |
= |
λ |
|
|
= |
|
3 |
|
||||||||||||
Наиболее вероятное = 2 и = 3
№ 3.58
Поток автомобилей, движущихся по шоссе в одном направлении, является простейшим потоком с интенсивностью λ = 5 авт/мин. Инспектор выходит на шоссе, чтобы остановить первый попавшийся автомобиль. Найти плотность распределения того интервала T* между автомобилями, на который попадает инспектор, его математическое ожидание и дисперсию.
λ = 5
( ) = 5·(5· )( −1) −5 ( −1)!
=
=
1
λ
1
λ2
=0. 2
=0. 04
№ 3.64
В аэропорт прибывает простейший поток самолётов, в среднем 2 самолёта за 5 минут. Найти вероятность того, что а) за 10 минут прибудет не менее 3 самолётов; б) за 20 минут прибудет не более 5 самолётов; в) за 5 минут прибудет нечётное число самолётов.
λ = 25
а) |
|
|
; |
|
|
2 |
|
|
(λ· ) |
|
|
|
−λ |
|
|
|||
|
= 10 |
|
( ≥ 3) = |
1 − ∑ |
|
|
· |
|
= 0. 7619 |
|
||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
=0 |
|
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= 20 |
|
( ≤ 5) = |
∑ |
(λ· ) |
|
· |
|
|
|
= 0. 1912361 |
|
||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
2 +1 |
|
|
|
|
−λ |
|
|
|
|||
в) |
|
; |
|
|
30 |
(λ· ) |
|
|
|
|
|
|
(больше 30, уже нет |
|||||
|
= 5 |
|
(2 + 1) = |
∑ |
|
|
|
|
· |
|
|
= 0. 4908422 |
|
|||||
|
|
(2 +1)! |
|
|
|
|
||||||||||||
=0
различий)
№ 3.66
На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 2 вызова в минуту. Найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придёт ни одного вызова; б) придёт хотя бы 1 вызов; в) придёт чётное число вызовов.
λ = 2 |
; |
= 3 |
; |
= 0 |
−λ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
( |
= 0) = |
|
|
|
· |
|
= 0. 0025 |
||||||
|
|
(λ· ) |
|
|||||||||||
б) |
|
! |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
||
|
( |
≥ 1) = 1 − |
|
· = 0. 9975212 |
||||||||||
|
|
! |
|
|||||||||||
в) |
|
|
30 |
|
|
(λ· ) |
2 |
|
−λ |
|
(больше 30, уже нет различий) |
|||
|
(2 ) = ∑ |
|
|
|
|
· |
|
|
= 0. 5 |
|
||||
|
|
|
(2 )! |
|
|
|
||||||||
=0
№ 3.73
По шоссе в одном направлении движутся 2 простейших потока автомобилей с интенсивностями 2,5 и 3,5 машины в минуту соответственно. Найти вероятность того, что за время = 5 минут: а) не проедет ни одного автомобиля; б) проедет ровно 6 автомобилей; в) проедет менее 4 автомобилей; г) проедет чётное число автомобилей.
λ1 = 2. 5; λ2 = 3. 5; λ = λ1 + λ2 = 6
а) |
|
|
|
|
|
|
|
−λ |
|
|
|
−30 |
|
|
|
|
|
|
−14 |
|
|
|||||
= 5 |
|
|
(λ· ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( = 0) |
= |
|
|
· |
|
|
= |
|
|
|
|
= 9. 357 · 10 |
|
|
|
||||||||||
б) |
|
! |
|
|
−λ |
|
6 |
|
|
|
−8 |
|
||||||||||||||
( = 6) |
= |
|
(λ· ) |
|
· |
= |
|
30 |
|
|
|
· |
−30 |
= 9. 474 · 10 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
−10 |
|||||||||||
в) |
|
|
3 |
(λ· ) |
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
|
3 |
|
30 |
−30 |
|
|
|
||||||
|
( < 4) |
= |
|
∑ |
|
|
· |
|
|
= |
|
∑ |
|
|
· |
= 4. 661 · 10 |
|
|||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
||||||||||||||
|
|
30 |
=0 |
2 |
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
|
|
(λ· ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(2 ) = |
∑ |
|
|
|
· |
= 0. 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(2 )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
=0
№ 3.68
На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ = 2 вызова в минуту. Найти вероятность того, что за время = 3 минуты: а) не придёт ни одного вызова; б) придёт ровно 5 вызовов; в) придёт менее 5 вызвов; г) придёт чётное число вызовов.
а) |
( = 0) = |
|
|
· |
−λ |
= |
−6 |
= 0. 002 |
|
||||||||||||||
|
(λ· ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
! |
|
|
−λ |
|
5 |
|
|
|||||||||||||||
( = 5) = |
(λ· ) |
|
· |
= |
6 |
|
|
· |
−6 |
= 0. 16 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
! |
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|||||||||||||
в) |
|
|
4 |
(λ· ) |
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
4 |
|
|
6 |
|
|
−6 |
||||
|
( < 5) = |
∑ |
|
|
· |
|
= ∑ |
|
|
|
|
· |
|
= 0. 285 |
|||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
! |
|
|
||||||||||||
|
6 |
|
=0 |
2 |
|
|
|
−λ |
|
|
6 |
|
=0 |
|
|
|
−6 |
|
|||||
г) |
|
(λ· ) |
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
(2 ) = ∑ |
|
|
|
· |
= |
∑ |
|
|
|
|
· |
|
= 0. 5 |
|||||||||
|
|
(2 )! |
(2 )! |
|
|
||||||||||||||||||
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ 3.76
Система представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0.002 отказа в час. Найти вероятность того, что а) за 200 часов работы наступит более 2 отказов; б) за 100 часов не будет ни одного отказа; в) за 100 часов будет нечётное число отказов.
λ = 0. 002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
= 200 |
|
2 |
|
|
|
|
|
−λ |
|
2 |
|
(0.4) |
|
−0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( > 2) = 1 − |
∑ |
(λ· ) |
· |
|
= 1 − ∑ |
|
|
· |
= 0. 008 |
|||||||
|
! |
|
|
|
! |
|
||||||||||
б) |
= 100 |
(λ· ) |
=0 |
−λ |
|
|
−0.2 |
|
=0 |
|
|
|
|
|||
( = 0) = |
! |
· |
|
|
= |
|
= 0. 819 |
|
|
|
|
|
||||
в) |
= 100 |
|
|
|
(0.2) |
1 −0.2 |
|
|
(можно взять сумму до k = 5, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(2 + 1) = (1) = |
|
· |
|
= 0. 164 |
|
|
|
|
||||||||
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тогда вероятность будет изменяться очень незначительно)
№ 3.78
На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 9 вызовов в 2 минуты. Найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придёт ни одного вызова; б) придёт хотя бы 1 вызов. Найти наиболее вероятное число вызовов за 5 минут.
λ = |
29 |
= 4. 5; = 3 |
|
|
−λ |
|
−13.5 |
|
|
|
|
|
−6 |
||||||||
а) |
|
|
|
(λ· ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) ( = |
0) = |
|
|
· |
|
|
= |
|
= 1. 371 · 10 |
|
|
||||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( ≥ |
|
1) = 1 − ( = 0) = 1 |
− −13.5 = 0. 999 |
||||||||||||||||||
= 5 |
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
|
(λ· )+1 |
|
−λ |
−1 |
|
+1 |
|
+1 |
|||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
( +1) |
= |
|
! |
|
· |
|
|
· ( |
+1!и |
· |
|
|
) |
= |
λ |
= |
|
22.5 |
|||
Наиболее вероятное |
= 21 |
= 22 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ 3.82
Даны 3 простейших потока событий с интенсивностями λ1 = 0. 15 и λ2 = 0. 25 и λ3 = 0. 2 соб/мин. Найти вероятность того, что за 5 минут: а)
поступит не более 2-х требований объединённого потока; б) не поступит ни одного требования объединённого потока. Найти наиболее вероятное число требований за 10 минут.
λ = λ1 + λ2 + λ3 = 0. 6; = 5
а) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
−λ |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|||
|
( ≤ |
2) = ∑ |
|
(λ· ) |
· |
|
|
= ∑ |
|
|
· |
|
= 0. 4232 |
|||||||||||||||
|
|
|
! |
|
|
! |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
−λ |
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
( |
= |
0) = |
|
(λ· ) |
|
|
· |
|
= |
−3 |
= 0. 049 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= 10 |
= |
|
(λ· ) |
|
· |
−λ |
· ( |
(λ· ) |
· |
−λ |
) |
−1 |
= |
+1 |
|
= |
+1 |
|||||||||||
( ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
( +1) |
|
! |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
6 |
|||||||||||
Наиболее вероятное |
|
= 5 |
|
и |
|
= 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
№ 3.84
На АТС поступает два простейших потока вызовов с интенсивностями 10 и 5 вызовов в минуту. Для объединённого потока найти вероятность того, что за 3 минуты а) не придёт ни одного вызова; б) придёт хотя бы 1 вызов; в) придёт чётное число вызовов.
λ = λ1 + λ2 = 15; = 3; = 0
а) |
|
|
|
|
|
|
−λ |
|
−45 |
|
−20 |
|||
|
( = 0) |
= |
|
(λ· ) |
|
· |
|
= |
|
= 2. 862 · 10 |
|
|||
б) |
|
! |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
−45 |
|
||
|
( ≥ 1) = 1 − |
|
· |
|
= 1 − ≈ 1 |
|||||||||
|
|
! |
|
|
||||||||||
в) |
|
45 |
|
(λ· ) |
2 |
|
|
−λ |
|
|
|
(больше 30, уже нет различий) |
||
|
(2 ) = |
∑ |
|
|
|
· |
|
|
= 0. 5 |
|
|
|||
|
|
(2 )! |
|
|
|
|
|
|||||||
=0
№ 3.86
На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью 15 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за 5 минут придёт а) 3 вызова; б) хотя бы 2 вызова. Найти наиболее вероятное число вызовов за полминуты.
;
а) |
|
|
|
−λ |
|
|
|
3 |
|
|
−75 |
|
|
|
|
−28 |
|
|||
λ = 15 = 5 |
(λ· ) |
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( = 3) = |
|
· |
|
= |
|
· |
|
= 1. 883 · 10 |
|
|
|
|
|||||||
|
! |
|
|
3! |
|
|
|
1 |
|
−75 |
||||||||||
б) |
|
|
1 |
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
|
|
−75 |
|
(75) |
|
||||||
|
( ≥ 2) = 1 − ∑ |
|
· |
|
|
= 1 − ( |
|
+ |
|
· |
) ≈ 1 |
|||||||||
|
! |
|
|
|
|
|
1! |
|
||||||||||||
=0
= 0. 5
( ) |
|
(λ· ) |
|
−λ |
|
|
= |
|
· |
|
· ( |
||
( +1) |
! |
|
|
|||
Наиболее вероятное = 5
и |
· −λ )−1 = |
λ+1 |
= |
7.5+1 |
|
= 6 |
|
|
|
№ 3.89
По шоссе в одном направлении движутся 3 простейших потока автомобилей с интенсивностями 2.5, 3 и 3.5 автомобиля в минуту. Найти вероятность того, что для объединённого потока за 5 минут: а) проедет не более 3-х автомобилей; б) не проедет ни одного автомобиля; в) проедет нечётное число автомобилей.
λ = λ1 + λ2 + λ3 = 9; = 5
а) |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
−λ |
|
|
3 |
45 |
|
|
−45 |
|
|
−16 |
|
|
( ≤ 3) = |
∑ |
|
(λ· ) |
|
· |
|
|
= ∑ |
|
· |
|
= 4. 65 · 10 |
|
|||||||
|
|
|
! |
|
|
|
! |
|
|
||||||||||||
|
=0 |
|
|
|
−λ |
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
−20 |
|
|||||
б) |
( = 0) = |
|
(λ· ) |
|
· |
|
= |
−45 |
= 2. 862 · 10 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
! |
|
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|||||||||||
в) |
|
|
45 |
|
(λ· ) |
|
|
−λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(2 + 1) = |
∑ |
|
|
|
· |
|
= 0. 5 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
(2 +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
=0