посібник зно математика

Математика

УДК 1478.69

М 33

Укладачі:

Приньковський Іван Олексійович

Матвійчук Олена Панасівна

Паньшина Лілія Олексіївна

Мартишко Петро Степанович

Математика. Підготовка до ЗНО і ДПА/ Уклад. І. О. Приньковський [ та ін.]. – Львів: Підручники і посібники, 2019. – друк. 62 с., ел. 164 с.

Посібник призначений для підготовки учнів та абітурієнтів до ЗНО та ДПА. Його складено та ухвалено відповідно до чинної програми тестування з математики.

Для абітурієнтів, учнів 9 – 11 класів, студентів перших курсів та викладачів математики.

ISBN 978-966-06-3569-8

Алгебра та початки аналізу

Числа та вирази Ознаки подільності

 Ознака подільності числа 2

 Ознака подільності числа 10

Означення простого та складеного чисел

Натуральне число називається простим , якщо в нього тільки два натуральних дільники

— саме число і -1.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, ... — прості числа. Простих чисел нескінченно багато.

Натуральне число називається складеним , якщо воно має більше двох натуральних дільників.

6, 15, 130, ... — складені числа. 1 не є ні простим числом, ні складеним.

Щоб знайти відсоток числа b від числа а, треба дріб помножити на 100%.

Приклад 3. Скільки відсотків складає число 0,3 від 20?

Розв’язання. .

Відповідь: 1,5%.

Пропорції і відношення, пряма та обернена пропорційність

Пропорцією називається рівність двох відношень.

або .

Основна властивість пропорцій:

Добуток крайність членів членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів: якщо

, то

Властивості пропорцій

1.Добуток крайність членів членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів: .

2.Кожний крайній член пропорції дорівнює добутку її середніх членів поділеному на інший крайній член.

3.У кожній пропорції можна поміняти місцями або лише середні члени, або лише крайні, або і ті, й інші одночасно.

Приклади:

Якщо , то

Найчастіше вживані похідні пропорції

Масштаб — відношення відстані на карті до відповідної відстані на реальній місцевості.

Дві величини називаються прямо пропорційними , якщо зі збільшенням значень однієї

з них кілька разів значення другої збільшується у стільки ж разів.

Задача на прямо пропорційні величини

Сторона квадрата дорівнює 3 дм. Як зміниться периметр квадрата, якщо його сторону збільшити в 3 рази, в 4 рази, в 5 разів?

При збільшенні сторони квадрата в 3 рази (була 3 дм, стала — 9 дм), периметр збільшився також в 3 рази (був 9 дм, став — 36 дм).

Аналогічно, при збільшенні сторони квадрата в 4 рази (була 3 дм, стала — 12 дм), периметр збільшився також в 4 рази (був 12 дм, став — 48 дм).

Висновок: при збільшенні сторони квадрата в кілька разів, периметр збільшується в стільки ж разів.

Сторона квадрата прямо пропорційна його периметру.

Модуль числа та властивості модуля

Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від'ємного числа називається число, йому протилежне, модуль нуля дорівнює нулю.

Приклади знаходження модуля:

Геометричний зміст модуля

Задано відрізок .

На координатній прямій модуль — це відстань від початку координат до точки, що зображує дане число.

Модуль різниці двох чисел i — це відстань від між точками і на координатній прямій.

Властивості модуля

1.(Модуль будь-якого числа — невід'ємне число)

2.(Модулі протилежні чисел рівні)

3.(Величина числа не перевищує величина його модуля)

4. (Модуль добутку дорівнєю добуткові модулей співмножників)

6.

7.

8.

9. (Модуль суми не перевищує суми модулів доданків)

10.

Степінь із натуральним показником та його властивості

Степенем числа а з натуральним показником n, більшим за одиницю, називають добуток n множників, кожний із яких дорівнює а:

.

Першим степенем числа називають саме число: .

Наприклад: .

.

.

У записі число а називається основою степеня, n – показником степеня, - степенем, b – значенням степеня.

Властивості степенів

1. При множенні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники степенів додаються:

.

2. При діленні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники віднімаються:

або .

3. При піднесенні степеня до степеня основа залишається такою самою, а показники перемножуються:

.

4. При піднесенні до степеня добутку до цього степеня підноситься кожний множник:

.

5. При піднесенні до степеня дробу до цього степеня підносяться чисельник і знаменник:

.

Піднесення до степеня вважається арифметичною дією третього ступеня. Якщо вираз містить різні арифметичні дії, то спочатку виконується піднесення до степеня як дія вищого (третього) ступеня, потім множення і ділення (дії другого ступеня) і, нарешті, додавання і віднімання (дії першого ступеня).

Наприклад:

Степінь із цілим показником та його властивості

Нульовий степінь числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці. Нульовий степінь нуля не визначений.

- не визначений.

Якщо і , то . Вираз , де - не визначений.

Наприклад: .

Для степенів із цілими показниками характерні ті ж властивості, що й для степенів із натуральними показниками:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

6. При піднесенні дробу до степеня з від’ємним показником можна піднести обернений дріб до степеня з протилежним показником:

.

Одночлен та многочлен

Одночлени

Одночленом називається добуток чисел, змінних та їх натуральних степенів, а також самі числа, змінні та їх натуральні числа.

Наприклад: – одночлени.

Одночлен стандартного вигляду – одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені з різними буквеними основами.

Наприклад: - одночлени стандартного вигляду.

Коефіцієнтом одночлена називають числовий множник одночлена стандартного вигляду.

Наприклад: коефіцієнтами одночленів є відповідно числа 5, -3, -1, 1. Коефіцієнти 1 та -1 в одночленах не записують.

Щоб записати одночлен у стандартному вигляді, треба перемножити всі його числові множники й одержане число поставити на перше місце, а потім добутки однакових буквених множників записати у вигляді степенів.

Наприклад: .

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх буквених множників, що входять до одночлена.

Наприклад: степінь одночлена дорівнює 3+1+6=10.

Якщо одночленом є число, відмінне від нуля, то вважають, що його степінь дорівнює нулю.

Дії над одночленами

Щоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножити їх коефіцієнти і перемножити степені з однаковими основами.

Наприклад: .

Щоб піднести одночлен до степеня, треба піднести його коефіцієнт до цього степеня і помножити показник степеня кожної букви на показник степеня, до якого підноситься одночлен.

Наприклад: .

Щоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити коефіцієнт діленого на коефіцієнт дільника, до знайденої частки приписати множниками кожну змінну діленого з показником, що дорівнює різниці показників цієї змінної в діленому і дільнику.

Наприклад: .

Многочлени

Многочленом називається алгебрагічна сума кількох одночленів.

Наприклад: - многочлени.

Одночлени, з яких складається многочлен, називають його членами. Одночлен – окремий вид многочлена. Многочлен, який містить два або три доданки, називають відповідно двочленом або

тричленом.

Наприклад: - двочлени; - тричлени.

Подібні члени многочлена – це однакові одночлени, або одночлени, запис яких у стандартному вигляді відрізняється лише коефіцієнтами.

Наприклад: у многочлені перший і третій, другий і четвертий члени подібні.

Зведення подібних членів – це спрощення многочлена, коли алгебрагічна сума подібних членів замінюється одним членом. Щоб звести подібні члени, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на їх спільну буквену частину.

Наприклад: .

Стандартний вигляд многочлена – це запис многочлена, усі члени якого мають стандартний вигляд і серед них немає подібних.

Наприклад: - многочлени стандартного вигляду, а - многочлен нестандартного вигляду.

Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, із яких складається многочлен. Степенем довільного многочлена називають степінь тотожно рівного йому многочлена стандартного вигляду.