посібник зно математика

За теоремою синусів знаходимо b і с:

.

Задача 3. Дано а, b, с. Знайти: , , (розв’язування трикутника за трьома сторонами).

Розв’язання

Користуючись теоремою косинусів, знаходимо: ,

звідси .

Аналогічно знаходимо . Тоді .

Паралелограм та його властивості

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Наприклад: чотирикутник ABCD – паралелограм, оскільки

.

Упаралелограма:

1.Протилежні сторони рівні. AB=CD, AD=BC.

2.Протилежні кути рівні. .

3.Діагоналі точкою перетину діляться навпіл. АО=ОС, ВО=ОD.

4.Кожна діагональ розбиває паралелограм на два рівних трикутники. .

5.Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює

180°. .

6.Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін: або

.

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї сторони на пряму, що містить протилежну сторону (або відстань між протилежними сторонами).

Наприклад: MN і ВК – висоти.

Ознаки паралелограма

1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник паралелограм.

Наприклад: якщо АО=ОС, ВО=ОD, то ABCD – паралелограм.

2. Якщо в чотирикутника дві сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

Наприклад: якщо , AB=CD (або , AD=BC), то ABCD – паралелограм.

3. Якщо в чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

Наприклад: AB=CD і AD=BC, то ABCD – паралелограм.

Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості

Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі.

Наприклад: паралелограм ABCD – прямокутник, оскільки

.

Ознаки прямокутника

1.Якщо у паралелограма один із кутів прямий, то цей паралелограм – прямокутник.

2.Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то цей паралелограм – прямокутник.

Властивості прямокутника

Прямокутник має всі властивості паралелограма, крім того, діагоналі прямокутника рівні.

Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Наприклад: паралелограм ABCD – ромб, оскільки AB= BC=CD=AD.

Ознаки ромба

1.Якщо у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то такий паралелограм – ромб.

2.Якщо у чотирикутника сторони рівні, то такий чотирикутник – ромб.

Властивості ромба

Ромб має всі властивості паралелограма, крім того:

1.Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. Наприклад: у ромба ABCD .

2.Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. Наприклад: і .

Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Квадратом називають ромб, у якого всі кути прямі.

1.У квадрата всі кути прямі і всі сторони рівні.

2.Діагоналі квадрата рівні і перетинаються під прямим кутом.

3.Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів. Кожна діагональ квадрата утворює зі стороною кут 45°.

Площа чотирокутників

1. Площа прямокутника

Площа прямокутника дорівнює добутку двох його суміжних сторін:

.

Площа прямокутника дорівнює половині квадрата його діагоналі, помноженої на синус кута між діагоналями:

.

2. Площа квадрата

Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони:

Площа квадрата дорівнює половині квадрата його діагоналі:

3. Площа паралелограма

Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони (основи) на висоту, проведену до неї:

Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними:

Площа паралелограма дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними:

4. Площа ромба

Площа ромба дорівнює добутку квадрата його сторони на синус кута ромба:

Площа ромба дорівнює півдобутку його діагоналей:

5. Площа трапеції

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту:

Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту:

Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то , де h – висота трапеції.

Вектори на площині

1. Поняття вектора

Вектор – напрямлений відрізок певної довжини, у якого один кінець вважається початком вектора, а інший – кінцем вектора.

Вектори позначаються двома великими латинським літерами зі стрілкою над ними або однією маленькою латинською літерою зі стрілкою над нею.

Наприклад: вектор (А – початок вектора, В – кінець вектора) та вектор .

2. Координати вектора

Координати вектора , що має початок в точці А і кінець в точці В, дорівнюють різниці відповідних координат точок В і А.

Координати вектора на площині

Якщо початком вектора є точка А(хА;уА), а кінцем – точка В(хВ;уВ), то

.

3. Довжина вектора

Довжина вектора (абсолютна величина, або модуль) – довжина відрізка, що зображує вектор.

Позначення: .

Довжина вектора на площині

Якщо є вектор , то , де – модуль вектора, – його координати.

4. Рівні вектори

Рівні вектори – вектори, які мають однаковий напрямок і рівні довжини.

Наприклад: рівні вектори . Позначення: .

Рівні вектори мають рівні координати. Якщо координати векторів рівні, то вектори рівні.

Рівність векторів на площині

Якщо , то

.

Якщо

,то .

5.Протилежні вектори

Протилежні вектори – вектори, які мають протилежні напрямки і рівні довжини.

Наприклад: протилежні вектори . Позначення: .

Протилежні вектори мають протилежні відповідні координати. Якщо відповідні координати двох векторів протилежні, то вектори протилежні.

Протилежні вектори на площині

Якщо маємо і , то

Якщо маємо і

,то .

6.Сума векторів

Нехай дано два вектори .

Візьмемо довільну точку А і побудуємо вектор , що дорівнює . Від точки В відкладемо вектор ,

що дорівнює .

Сумою векторів є вектор , тобто вектор, що з’єднує початок першого вектора з кінцем другого вектора (так зване правило трикутника).

Для двох векторів (ОА і ОС) зі спільним початком (О) їхня сума зображується діагоналлю паралелограма (ОВ), побудованого на цих векторах, до того ж початок вектора-суми збігається з початком цих векторів.

Сума векторів на площині

7. Різниця векторів

Різницею векторів є вектор , тобто

вектор, що з’єднує кінці векторів і і напрямлений від від’ємника до зменшуваного.

Координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат вектора – зменшуваного і вектора – від’ємника.

Різниця векторів на площині

Якщо або , то . Координати вектора дорівнюють добутку числа на відповідні координати вектора .

Множення вектора на число на площині

9. Колінеарні вектори

Два ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Наприклад: вектори – колінеарні.

Якщо вектори колінеарні, то їхні відповідні координати пропорційні. І навпаки, якщо відповідні координати двох векторів пропорційні, то ці вектори колінеарні.

Колінеарність векторів на площині

Якщо є вектори і вони колінеарні, то .

Якщо є вектори і , то – колінеарні вектори.

10. Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів. Позначення таке саме, як і для добутку чисел, –

.

Скалярний добуток двох векторів на площині

Якщо є вектори , то .

Теорема. Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Отже, .

Кут між двома векторами зі спільним початком визначається, як і звичайний кут.

Якщо є два довільні вектори і , то кутом між ними називається кут між рівними їм векторами зі спільним початком.

Кут між спів напрямленими векторами вважається таким, що дорівнює нулю.

11. Ознака перпендикулярності векторів

Якщо вектори перпендикулярні, то їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Многогранники

У стереометрії, крім точок, прямих та площин, розглядають просторові геометричні фігури, не всі точки яких лежать в одній площині. Прикладом просторової фігури може служити геометричне тіло – частина простору, яку займає предмет.

Куб, прямокутний паралелепіпед, тетраедр – приклади геометричних тіл.

Куб – це тіло, поверхня якого обмежена шістьма рівними квадратами.

Прямокутний паралелепіпед – це тіло, поверхня якого обмежена шістьма прямокутниками.

Тетраедр – це тіло, поверхня якого обмежена чотирма трикутниками.

Правильним тетраедром називається тіло, поверхня якого обмежена чотирма рівними правильними трикутниками.

Многогранником називається тіло, поверхня якого обмежена числом плоских многокутників. Многокутники, що обмежують поверхню тіла, називають гранями,

сторони граней – ребрами, вершини граней – вершинами многогранника.

Призми

Призма (n-кутна) – це многогранник, у якого дві грані рівні n-кутники, які лежать у паралельних площинах, а інші n граней – паралелограми.

Многокутники називаються основами призми, а паралелограми – бічними гранями. Сторони бічних граней та основ називаються ребрами призми. Кінці ребер називаються

вершинами призми. Бічними ребрами називаються ребра, які не належать основам.

Властивості призми

1.Основи призми паралельні і рівні.

2.Бічні ребра паралельні і рівні.

3.Бічні грані – паралелограми.

Висотою призми називається перпендикуляр, проведений із точки верхньої основи на площину нижньої основи.

Наприклад: ОО1 – висота призми.

Діагоналлю призми називається відрізок, який з’єднує дві вершини, які не належать одній грані.

Наприклад: АС1, АD1 – діагоналі призми.

Діагональним перерізом призми називається переріз її площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані.

Наприклад: АА1СС1 – діагональний переріз призми.

Прямою призмою називається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площини основ. Призма, яка не є прямою, називається похилою.

Правильною призмою називається пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник.

Наприклад: правильні трикутна, чотирикутна та шестикутна призми.

Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, основи якої є паралелограмами.

Властивості паралелепіпеда

1.Протилежні грані паралелепіпеда попарно рівні та паралельні.

2.Усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці та діляться нею навпіл.

Паралелепіпед називається прямим, якщо в нього бічні ребра перпендикулярні до основ. Прямий паралелепіпед має всі властивості паралелепіпеда, і, крім того, бічні грані прямого паралелепіпеда є прямокутниками.

Прямий паралелепіпед, основами якого є прямокутники, називається прямокутним.

Усі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, які виходять з однієї вершини, називаються лінійними розмірами (або вимірами) прямокутного паралелепіпеда.

Властивості прямокутного паралелепіпеда

1.Усі діагоналі рівні.

2.Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Наприклад: .

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Піраміди

Пірамідою (n-кутною) називається многогранник, у якого одна грань є довільним n-кутником, а інші n граней – трикутники, які мають спільну вершину. N-кутник називається основою, а трикутники – бічними гранями. Спільна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.

Наприклад: піраміда SABCD, ABCD – основа;

– бічні грані піраміди; S – вершина піраміди; SA, SB, SC, SD – бічні ребра.

Висотою піраміди називається перпендикуляр, проведений із вершини піраміди на площину основи.

Наприклад: SO – висота піраміди.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний многокутник, а висота піраміди співпадає з центром цього многокутника.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведеної із вершини піраміди, називається її апофемою.