Econometrics

Оскільки матриця S — симетрична і додатно визначена, то при S P P матриця P має такий вигляд:

Приклад 7.7. Згідно з даними табл.7.3 треба побудувати матрицю S, яка використовується для визначення дисперсій залиш-

ків M (uu ) u2 S , якщо побудова економетричної моделі пов’язана з явищем гетероскедастичності.

знайдемо i 1 , xi1 — дохід в і-му місяці. Тоді матриця S –1 запишеться так: xi1

26

27

7.5. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена)

Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність, є узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів слід скористатися узагальненим методом найменших квадратів. Розглянемо цей метод.

Нехай задано економетричну модель

в підрозд.7.3, можна записати співвідношення між цими матри-

28

Використовуючи (7.14), неважко показати, що

M (u*u* ) u2 ,

тобто модель (7.17) задовольняє умови (4.2), коли параметри моделі можна оцінити на основі 1МНК.

Звідси

29

Отже, ми розбили загальну суму квадратів для (7.17) на суму квадратів регресії і залишкову. За цими даними дисперсійний аналіз буде виконано для перетворених вихідних даних. Крім того, коли незалежну змінну Y * виміряно відносно початку відліку, а не у формі відхилення від середньої, то необхідно визначити її середнє значення і скористатись ним для корекції загальної суми квадратів і суми квадратів регресії.

Модель узагальненого методу найменших квадратів іноді специфікується у вигляді

Y XA u,

M (u) 0,

де V u2 S — відома симетрична додатно визначена матриця. То-

ді вираз для оцінки параметрів згідно з методом Ейткена запишеться так:

Приклад 7.8. Скориставшись даними табл. 7.3 (див. приклад7.2), знайдемо оцінки параметрів моделі за методом Ейткена.

Розв’язання

Оператор оцінювання методом Ейткена запишеться так:

Тому для того, щоб знайти оцінку вектора € , потрібно обчис-

лити:

A

1) добуток матриць

30

2) добуток матриць

3) матрицю, обернену до матриці X S 1 X :

4) матрицю

1 1,5998

X S Y 48,04 ; 5) оцінку параметрів моделі

Економетрична модель витрат на харчування запишеться так:

€

Y 2,0187 0,0141X .

R2 0,722, u2 0,083.

Подамо економіко-математичний аналіз характеристик економетричної моделі.

1.Коефіцієнт детермінації R2=0,722. Це означає, що на 72,2% варіація витрат на харчування залежить від загальних витрат.

2.Залишкова дисперсія u2 =0,083 показує, що розрахункові

значення витрат на харчування дуже близькі до фактичних. 3.Оцінка параметра моделі a€1 свідчить про те, що збільшення

загальних витрат на одиницю сприятиме граничному зростанню витрат на харчування на 0,014одиниць.

4.Економетрична модель, параметри якої оцінені методом

1МНК, має вигляд

€ =1,999+0,0145X,

Y

а залишкова дисперсія її u2 =0,097. Звідси, порівнявши її харак-

теристики з моделлю, параметри якої оцінені методом Ейткена, можна сказати, що оцінки параметрів моделі практично не зміни-

31

лись, але дисперсія залишків збільшилась, що впливає на ефективність оцінок.

7.6. Прогноз

Коли параметри економетричної моделі оцінюються узагальненим методом найменших квадратів, проблема прогнозування потребує спеціального дослідження. Це пов’язано з тим, що залишки моделі можуть мати систематичну складову, яку необхідно враховувати в точковому прогнозі.

Нехай Y XA u, коли M (u) 0, M (uu ) V, де V u2 S. Задача зводиться до того, щоб передбачити значення залежної

де W — вектор коваріацій поточних і прогнозованих значень залишків.

Сформулюємо лінійний прогноз:

де с — n-вимірний вектор, який має мінімізувати дисперсію прогнозу:

32

p y0 c Y X0 A u0 c (XA u) X0 A u0

c XA c u X0 A u0 (c X X0 ) A c u u0 .

Зумови незміщеності прогнозу випливає, що вектор с має задовольняти рівність

Достовірним можна вважати прогноз тоді, коли дисперсія 2пp буде мінімальною. Тому формулюємо задачу:

за умови незміщеності прогнозу:

c X X 0 =0.

Щоб розв’язати задачу (7.32), будуємо функцію Лагранжа f c Vc 2c W 2(c X X0 ) ,

де —(m–1)-вимірний вектор, компонентами якого є множники Лагранжа. Продиференціювавши функцію за невідомими параметрами с і та прирівнявши похідні до нуля, дістанемо рівняння

33

Розв’язавши їх, знайдемо c€:

Підставимо це значення в (7.28) і визначимо найкращий лінійний незміщений прогноз

метрів моделі на основі 1МНК.

Отже, для прогнозу можна використовувати співвідношення (7.33). Цей прогноз має дві особливості:

1) вектор прогнозних значень X 0 перемножується на вектор

оцінок € , обчислений згідно з узагальненим методом найменших

A

квадратів;

2) для оцінювання невідомих прогнозних залишків u0 засто-

совується матриця V, яка містить інформацію про взаємозалежність залишків базисного періоду та прогнозних.

Розглянемо приклад побудови економетричної моделі узагальненим методом найменших квадратів за наявності гетероскедастичності.

Приклад 7.9. Побудуємо економетричну модель прибутку за умови, що в статистичній інформації (табл. 4.2) існує гетероскедастичність.

Розв’язання

1. Дослідимо гетероскедастичність на основі тесту Гольфе- льда—Квандта.

Алгоритм:

1. Вибираємо ту пояснювальну змінну, яка може викликати гетероскедастичність залишків. У даному випадку припустимо, що інвестиції можуть викликати гетероскедастичність залишків.

2. Сортуємо статистичну інформацію за змінною Х1 (інвестиції).

34