Econometrics

Доведено, що ця характеристика має закон розподілу Стьюдента з кількістю ступенів свободи n 2 .

Якщо розраховане значення t-статистики перевищує критичне значення при ступені свободи n–2 та вибраному рівні значущості, то гіпотезу про наявність гетероскедастичності потрібно прийняти. У протилежному випадку вона відхиляється.

Розглянемо застосування тесту рангової кореляції для визначення наявності гетероскедастичності у статистичній інформації.

Приклад 7.5. Необхідно дослідити наявність гетероскедастичностіу статистичній інформації, поданій в табл. 4.2 (приклад 4.2).

Розв’язання

1.Побудуємо прості економетричні моделі, що описують залежність між прибутком та кожним з чинників. Наведемо ці моделі:

1)Y 3,07 0,624X1 ;

2)Y 19,90 0,935X 2 ;

3)Y 28,96 0,658X3 .

2.Розрахуємо залишки за цими економетричними моделями

(табл. 7.7).

Таблиця 7.7

16

Таблиця 7.8

17

3. Визначимо ранги для кожної з пояснювальних змінних та залишків. Для цього кожну змінну та кожний із залишків uij

пронумеруємо порядковим номером від одиниці до 20. Потім впорядковуємо кожну пояснювальну змінну та залишки, посортувавши їх від меншого до більшого (Exel, меню «Данные», розділ «Сортировка»). У результаті порядковий номер чисел цих показників зміниться і характеризуватиме ранг його в масиві.

Запишемо ранги пояснювальних змінних та ранг залишків у табл. 7.8.

4. Знайдемо різниці між рангами j-ї змінної та залишками, отриманими на основі цієї змінної, піднесемо їх до квадрата

(табл. 7.9).

18

5. Визначимо коефіцієнти рангової кореляції (простий мішаний момент):

6. Розрахуємо t-критерії для визначення статистичної значущості коефіцієнтів рангової кореляції Спірмена за формулою:

Критичне значення t-критерію для =0,05 і ступенів свободи n–2=18 дорівнює: t0,05крит 2,10 .

Порівнюючи розраховані t-критерії з критичним значенням, робимо висновок, що коефіцієнти рангової кореляції rX1u1 та rX2u2 є

статистично значущими. Звідси можна зробити висновок, що пояснювальнізмінні Х1 та Х2 можуть викликати гетероскедастичність.

7.3.6. Тест Парка. Для визначення наявності гетероскедастичності у статистичній інформації Р. Парк запропонував параметричний тест, в основі якого лежить визначення кількісної залежності між дисперсією пояснювальної змінної, яка може

19

викликати гетероскедастичність, та значеннями цієї змінної за функцією:

де 2xij —дисперсія j-ї пояснювальної змінної;

u2 —дисперсія залишків;

xij —i-те значення j-ї пояснювальної змінної;

uij —стохастичні залишки для i-го спостереження j-ї поясню-

вальної змінної.

Прологарифмувавши вираз, дістанемо:

де вираз vj ln(uj) замінено на vj.

Оскільки 2xij , як правило, невідомі, то Парк запропонував за-

мінити їх квадратами залишків. Розглянемо алгоритм тесту Парка.

Крок 1. Побудова рівняння регресії між змінною (Y) та відповідною пояснювальною змінною (Xj)

де ln u2 .

Якщо досліджуються кілька пояснювальних змінних, то таке рівняння регресії будується для кожної з них.

Крок 5. Перевірка статичної значущості оцінки параметра j

20

статистики більше за критичне значення t-критерію, для вибраного рівня значущості і ступеня свободи n–2, то є статистично

значущий. А це означає, що гіпотезу про наявність гетероскедастичності, що викликається Xj, не можна відхиляти. Зауважимо, що тест Парка не вичерпує проблему визначення гетероскедастичності, бо вона може існувати навіть якщо врахувати ті пояснювальні змінні, які в даному випадку не досліджуються, але вони впливають на залежну змінну. Тому поряд із цим тестом доцільно використовувати інші. Зокрема, тест Глейзера доповнює тест Парка аналізом гетероскедастичності, що викликається тими змінними, які не включено до економетричної моделі. Він може виявити наявність мішаної гетероскедастичності.

Приклад 7.6. Необхідно перевірити наявність гетероскедастичності у статистичній інформації, наведеній у табл. 4.2 (приклад 7.2), використавши параметричний тест Парка.

Розв’язання

1.Побудуємо прості економетричні моделі, які описують зв’язок залежної змінної з кожною з пояснювальних.

2.Визначимо залишки за кожною з моделей та піднесемо їх до квадрата:

21

3. Прологарифмуємо квадрати залишків та пояснювальні змінні і подамо їх у табл 7.10.

Таблиця 7.10

22

Побудуємо три економетричні моделі такого виду:

ln ui2 i j Xij ; де i ln u2 .

1)ln u12 35,313 8,002 X1 ;

2)ln u22 10,195 2,609 X 2 ;

3)ln u32 9,534 1,677 X 3 .

4. Розрахуємо t-критерії для перевірки статистичної значущості кожної з оцінок параметрів цих моделей:

а) для першої моделі:

23

5. Порівнюючи кожний із фактичних t-критеріїв із табличним, робимо висновки, що гетероскедастичність в досліджуваній статистичній інформації може існувати за рахунок кожного з чинни-

ків, бо t j tкрит .

Зауважимо, що висновки про наявність гетероскедастичності на основі декількох тестів не завжди збігаються. Це пов’язано з тим, що кожний із них побудований за певних вихідних припущень, тобто має свої переваги та недоліки. На наш погляд, тест Глейзера є найбільш простий і одночасно найбільш точний. Хоч і в даному випадку може бути присутня помилка специфікації рівняння регресії залишків від пояснювальної змінної.

7.4. Визначення матриці S

Щоб оцінити параметри моделі на основі інформації, коли існує гетероскедастичність і коли дисперсії залишків визначаються

M (uu ) u2 S, потрібно визначити матрицю S.

Спинимося на визначенні матриці S.

Оскільки явище гетероскедастичності пов’язане лише з тим, що змінюються дисперсії залишків, а коваріація між ними відсутня, то матриця S має бути діагональною і додатно визначеною, а саме:

24

Аби пояснити, чому саме такий вигляд має ця матриця, потрібно ще раз наголосити: за наявності гетероскедастичності для певних вихідних даних одна (або кілька) пояснювальних змінних можуть різко змінюватися від одного спостереження до іншого, тоді як залежна змінна має такі самі коливання, як і для попередніх спостережень.

Це означає, що дисперсія залишків, яка змінюватиметься від одного спостереження до іншого (чи для групи спостережень), може бути пропорційною до значення пояснювальної змінної Xj (або до її квадрата), яка зумовлює гетероскедастичність, або пропорційною до квадрата залишків.

Звідси в матриці S значення i можна обчислити, користуючись такими гіпотезами:

а) M (uu ) u2 xij , тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни пояснювальної змінної xij ;

б) M (uu ) u2 xij2 , тобто зміна дисперсії пропорційна до зміни

25