Е. А. Ровба - Высшая математика

по ней, в частности, разлагались бы n единичных векторов (1.29). Так как n > k, то, согласно следствию 1.5, система единичных векторов оказалась бы линейно зависимой, что противоречит теореме 1.19.

Следствие 1.6. Линейно независимая система b1, b2, . . . , bk, число векторов k которой меньше n, может быть дополнена до базиса всего n-мерного векторного пространства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В качестве bk+1 можно взять какой-либо вектор, не разлагающийся по системе b1, b2, . . . , bk. Существование такого вектора обеспечивает теорема 1.24. Повторяем эту процедуру, пока количество векторов в системе не станет равным n.

Замечание 1.22. На практике дополнять систему векторов до базиса удобнее всего с помощью единичных векторов.

Пример 1.36. Показать, что векторы

b1 = (1, 2, 1), b2 = (−1, 1, 1), b3 = (1, 1, 2)

образуют базис, и разложить вектор a = (6, 2, 1) по этому базису.

Р е ш е н и е. В примере 1.12 было найдено, что определитель матрицы A системы b1, b2, b3 равен 5, т.е. матрица A невырожденная. Тогда по следствию 1.5 система b1, b2, b3 линейно независима и образует базис.

Найдем коэффициенты a1, a2 и a3 разложения

a = a1b1 + a2b2 + a3b3

вектора a по данному базису. Для этого приравняем левую и правую части разложения покоординатно. Получим систему линейных уравнений относительно неизвестных a1, a2 и a3:

Эта система решена в примере 1.28, где было найдено, что a1 = 2, a2 = −3, a3 = 1. Выписываем искомое разложение:

a = 2b1 − 3b2 + b3.

Определение 1.81. Подмножество W пространства Rn будем называть подпространством, если для любых двух векторов a, b из W и любого числа k векторы ka и a + b принадлежат W .

Определение 1.82. Любую максимальную линейно независимую систему векторов подпространства W будем называть базисом этого подпространства.

Для подпространства имеет место утверждение, аналогичное теореме 1.23.

Теорема 1.25. Любой вектор подпространства может быть разложен единственным образом по базису этого подпространства.

Определение 1.83. Число векторов в базисе подпространства называется размерностью подпространства.

Замечание 1.23. Очевидно, что размерность подпространства n-мерного векторного пространства Rn не превосходит n.

Вектор неизвестных системы линейных уравнений по сути является n-мерным вектором. Это позволяет применять к решениям систем линейных уравнений теорию векторных пространств. Легко проверяется справедливость следующей теоремы.

Теорема 1.26. Множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными образует подпространство векторного пространства Rn.

Определение 1.84. Фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений называется базис ее подпространства решений.

В качестве следствия теоремы Кронекера — Капелли можно доказать результат, приведенный ниже.

Теорема 1.27. Если ранг r матрицы однородной системы линейных уравнений меньше числа n ее переменных, то фундаментальная система решений содержит n − r векторов.

Пример 1.37. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы уравнений из примера 1.30.

82 Глава 1. Линейная алгебра

Р е ш е н и е. В примере 1.30 было найдено общее решение: x1 = −7α + 13β, x2 = 23α − 47β, x3 = α, x4 = β, α, β R.

Чтобы получить фундаментальную систему решений, поочередно приравниваем нулю все свободные неизвестные, кроме одной, которой придаем какое-либо ненулевое значение, например 1. Такой прием гарантирует линейную независимость получаемых частных решений. В данном случае имеем два решения:

Фундаментальная система в данном случае содержит два решения, что полностью согласуется с теоремой 1.27.

1.3.8. Ортогональные системы векторов

В трехмерном пространстве скалярное произведение двух векторов определялось по формуле (1.22) через длины векторов и угол между ними. В n-мерном векторном пространстве Rn обычно поступают по-другому. Скалярное произведение вводят, отталкиваясь от координатного представления (1.23) векторов. Понятия модуля, или длины, а также угла между векторами определяются через скалярное произведение.

Определение 1.85. Скалярным произведением n-мерных векторов x = (x1, x2, . . . , xn) и y = (y1, y2, . . . , yn) называется число, равное сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

n

x · y = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn = xiyi.

i=1

Определение 1.86. Модулем n-мерного вектора x называется корень квадратный из скалярного произведения этого вектора на самого себя:

За основу понятия угла между векторами берется формула (1.25) для нахождения угла между трехмерными векторами через скалярное произведение.

Определение 1.87. Косинус угла между n-мерными векторами x и y определяется следующим образом:

Замечание 1.24. Можно доказать, что |x · y| |x||y|, и, таким образом, выражение, задающее косинус угла между векторами, как мы того и ожидаем, не превосходит по модулю единицы.

Замечание 1.25. Расстояние M1M2 между точками

M1(x1, x2, . . . , xn), M2(y1, y2, . . . , yn)

вычисляется по формуле

−−−−→ !

M1M2 = |M1M2| = (y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + . . . + (yn − xn)2.

−−−−→

Таким образом, оно равно длине вектора M1M2.

Из определения скалярного произведения вытекает справедливость следующих его свойств:

Определение 1.88. Евклидово пространство — это n-мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение.

Определение 1.89. Векторы x и y n-мерного пространства назовем ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. если x · y = 0.

Определение 1.90. Набор ненулевых взаимно ортогональных векторов b1, b2, . . . , bk будем называть ортогональной системой векторов.

Замечание 1.26. Для ортогональной системы b1, b2, . . . , bk справедливо, что bi · bj = 0, если i = j.

Пример 1.38. Простейшей ортогональной системой является система единичных векторов (1.29).

Теорема 1.28. Пусть вектор a представим в виде линейной комбинации векторов ортогональной системы b1, b2, . . . , bk:

a = a1b1 + a2b2 + . . . + akbk.

Тогда коэффициенты a1, a2, . . . , ak этого разложения могут быть найдены по следующим формулам:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для 1 i n домножим обе части разложения

a = a1b1 + a2b2 + . . . + ai−1bi−1 + aibi + ai+1bi+1 + . . . + akbk

скалярно на вектор bi:

a· bi = a1(b1 · bi) + a2(b2 · bi) + . . . + ai−1(bi−1 · bi) +

+ai(bi · bi) + ai+1(bi+1 · bi) + . . . + ak(bk · bi).

Всилу ортогональности системы b1, b2, . . . , bk все скалярные произведения в правой части, кроме bi · bi, обратятся в нуль. Значит,

a · bi = ai(bi · bi) = ai|bi|2,

откуда и выводятся представления коэффициентов (1.31).

Теорема 1.29. Ортогональная система векторов b1, b2, . . . , bk линейно независима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что

λ1b1 + λ2b2 + . . . + λkbk = 0.

т.е. все коэффициенты λi равны нулю, что и означает линейную независимость рассматриваемой ортогональной системы.

Следствие 1.7. Ортогональная система, состоящая из n векторов, образует базис n-мерного векторного пространства.

Определение 1.91. Базис, образованный ортогональной системой векторов, называется ортогональным базисом.

Определение 1.92. Ортогональный базис, длины векторов которого равны единице, называется ортонормированным.

Пример 1.39. Система единичных векторов (1.29) является ортонормированным базисом пространства Rn. Частный случай этого базиса — базис i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) в R3.

Теорема 1.30. Координаты вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора и соответствующих базисных векторов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость теоремы следует из формулы (1.31) с учетом того, что знаменатель |b2i | в силу ортонормированности системы равен единице.

Пример 1.40. Проверить, образует ли ортонормированный базис

и найти разложение вектора a = (2, −3, 1) в этом базисе.

Р е ш е н и е. Вычисляем попарные скалярные произведения:

Итак, система ортогональная. Несложно убедиться, что длины всех векторов системы равны единице, поэтому система ортонормированная. Количество векторов в системе равно размерности пространства R3. Значит, данная система образует ортонормированный базис.

Координаты a1, a2, a3 вектора a в базисе b1, b2, b3 найдем с помощью теоремы 1.30:

1.3.9.Собственные векторы и собственные значения

Определение 1.93. Число λ называется собственным значением квадратной матрицы A, если существует такой ненулевой векторстолбец X, для которого

При этом вектор-столбец X, удовлетворяющий равенству (1.32), называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному значению λ.

Преобразуем равенство (1.32):

AX = λX, AX = λEX, AX − λEX = O,

где O — нуль-матрица. Отсюда выводим матричное равенство

в развернутом виде представляющее собой линейную однородную систему уравнений с вектором неизвестных X.

Определение 1.94. Определитель основной матрицы однородной системы (1.33)

называется характеристическим многочленом матрицы A.

Определение 1.95. Уравнение

det(A − λE) = 0,

получаемое приравниванием нулю характеристического многочлена матрицы A, называется характеристическим уравнением, а его корни — характеристическими числами матрицы A.

Теорема 1.31. Число λ является собственным значением квадратной матрицы A тогда и только тогда, когда оно будет характеристическим числом этой матрицы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Число λ — собственное значение матрицы A тогда и только тогда, когда система линейных однородных уравнений (1.33) имеет ненулевые решения. Согласно следствию 1.2 это равносильно равенству нулю определителя основной матрицы рассматриваемой системы, т.е. характеристического многочлена. Последнее утверждение равносильно тому, что λ является характеристическим числом.

Определение 1.96. Совокупность всех собственных значений квадратной матрицы A с учетом их кратности как корней характеристического уравнения называется спектром матрицы A.

Свойства собственных векторов

1. Собственный вектор матрицы A соответствует единственному собственному значению.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если λ1 и λ2 — два собственных значения, которым соответствует собственный вектор X, то

AX = λ1X, AX = λ2X.

Вычитая эти равенства, имеем: O = (λ1 − λ2)X. Поскольку собственный вектор ненулевой, то λ1 = λ2.

2. Множество собственных векторов, соответствующих одному собственному значению λ, является подпространством векторного пространства Rn.

щие собственному значению λ, являются решениями однородной системы линейных уравнений (1.33) и поэтому в силу теоремы 1.26 образуют подпространство в Rn.

3. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть собственным векторам X1 и X2 соответствуют различные собственные значения λ1 и λ2. Если векторы X1 и X2 линейно зависимы, то по теореме 1.16 один из этих векторов, например X1, линейно выражается через другой, т.е. X1 = kX2, где k = 0. Тогда по свойству 2 вектор X1 соответствует собственному значению не только λ1, но и λ2, что невозможно в силу свойства 1.

Пример 1.41. Найти собственные значения и соответствующие им собственные векторы матрицы

Р е ш е н и е. Выписываем характеристический многочлен (1.34):

Имеем два собственных значения: λ1 = −1 и λ2 = 2.

Находим собственный вектор X1, соответствующий значению λ1, как ненулевое решение однородной системы (A − λ1E)X1 = O. Для решения этой системы приводим ее основную матрицу к ступенчатому виду:

любое значение. В качестве ненулевого можно выбрать, например, частное решение x = 1, y = −1, определяющее собственный вектор

X1 = (1, −1).

Аналогичным образом отыскиваем собственный вектор X2, соответствующий значению λ2, как ненулевое решение однородной системы (A − λ2E)X2 = O:

Общее решение этой системы имеет вид x = −2y, где y R. Отсюда следует, что можно, например, принять X2 = (−2, 1).