Е. А. Ровба - Высшая математика
.pdf
140 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
Пример 3.19. Уравнение x2 + y2 = 1 задает окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3.7).
y 
|
|
1 |
|
|
O |
x |
|
|
Рис. 3.7 |
||
Для значений аргумента x, |
лежащих за пределами отрезка |
||
[−1, 1], данное уравнение не имеет решений. Если x (−1, 1), то |
||||
√ |
2 |
√ |
2 |
|
решений два: y = |
1 − x |
, y = − |
1 − x . И только для двух значений |
|
аргумента x = −1 и x = 1 существует единственное решение y = 0. Таким образом, не накладывая ограничений на переменные x
и y, мы не можем утверждать, что приведенное уравнение задает функцию.
В данном случае построение таких ограничений не составляет труда. Мы можем, например, выбирать только те решения (x, y) уравнения окружности, которые принадлежат прямоугольнику −1 x 1, 0 y 1 (рис. 3.8).
y 
1
Ox
Рис. 3.8
Тогда всякому значению аргумента x соответствует единственное
√
значение функции y = 1 − x2. Если мы будем выбирать решения
из прямоугольника −1 x 1, −1 y 0 (рис. 3.9), то получим
√
функцию y = − 1 − x2. Эти две различные функции задаются неявно одним и тем же уравнением.
Для уравнения окружности нам удалось явно выразить переменную y через x. Подобные простые уравнения — скорее исключение, чем
3.2. Функциональная зависимость |
141 |
|
|
y 
1
Ox
Рис. 3.9
правило. Очень часто ни одна из переменных уравнения, неявно задающего функцию, не может быть выражена через другую. Свойства таких функций могут быть исследованы исключительно по определяющим их уравнениям.
Табличный способ
Предположим, что нас интересует зависимость расхода топлива от скорости движения легкового автомобиля определенной марки. В инструкции к автомобилю имеется табл. 3.1.
Т а б л и ц а 3.1
Скорость движения, км/ч |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
120 |
Расход топлива, л/100 км |
6,6 |
6,3 |
6,1 |
6,4 |
7,0 |
8,0 |
Из таблицы видно, что расход топлива изменяется в зависимости от скорости движения автомобиля. Если каждому значению скорости, записанному в первой строке таблицы, поставить в соответствие количество литров топлива, указанное во второй строке и в этом столбце, то получим функцию, заданную таблично. Областью определения этой функции является множество из 6 чисел, стоящих в первой строке. Множеством значений является также совокупность из 6 чисел второй строки.
С помощью таблицы часто задают функции, значения которых вычислить сложно. Например, широко известны таблицы тригонометрических функций, показательной и логарифмической функций и т.д.
Имеются способы перехода от функций, которые заданы таблично, к функциям, заданным аналитически. Такую процедуру можно проделать, как правило, лишь приближенно.
142 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
Графический способ
В данном случае предполагается, что задан график функции y = f(x) (рис. 3.10).
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
1 |
x |
x |
|||||
|
|
|
|
|
Рис. 3.10 |
|
|
|
Для того чтобы по некоторому значению аргумента x найти соответствующее значение функции, нужно построить на оси Ox точку x, затем провести из нее перпендикуляр к оси Ox, найти точку его пересечения с графиком и определить длину полученного перпендикуляра. Значение функции будет равно этому числу с соответствующим знаком. Такой способ задания функции называется графическим.
Примерами графического изображения могут быть записи самопишущих приборов (барографы, осциллографы и т.д.).
3.2.3. Понятия обратной и сложной функций
Определение 3.19. Пусть дана функция f : X → Y . Если каждому y Y соответствует единственное значение x X, для которого y = f(x) (рис. 3.11), то можно задать функцию ϕ : Y → X такую, что x = ϕ(y). Эта функция называется обратной к функции f(x) и записывается в виде
x = ϕ(y) = f−1(y).
Y
X
Рис. 3.11
3.2. Функциональная зависимость |
143 |
|
|
Поскольку функция f(x) является обратной к f−1(x), то функции f(x) и f−1(x) называют еще взаимно обратными.
Для нахождения обратной функции y = f−1(x) следует решить уравнение y = f(x) относительно переменной x.
Пример 3.20. Для функции y = 2x существует обратная функция x = y/2.
Пример 3.21. Для функции y = x2, заданной на отрезке [0, 1], существует обратная функция x = √y. Однако в случае, когда функция y = x2 задана на отрезке [−1, 1], обратной функции не существует, поскольку одному значению y может соответствовать несколько значений x. Например, y = 1 соответствуют x1 = −1 и x2 = 1.
Предположим, что для функции y = f(x), заданной на отрезке [a, b], существует обратная функция x = f−1(y). Пусть множеством значений функции f является отрезок [c, d]. Тогда этот отрезок является областью определения обратной функции f−1, а отрезок [a, b] — множеством ее значений. Графики функции y = f(x) и обратной к ней x = f−1(y) будут совпадать, если в первом случае аргумент откладывать вдоль оси Ox, а во втором — вдоль оси Oy (рис. 3.12).
y |
|
|
|
d |
|
|
|
|
y = f(x) |
|
|
|
x = f−1(y) |
|
|
c |
|
|
|
O |
a |
b |
x |
|
Рис. 3.12 |
|
|
y 
y = f(x)
d
c |
|
x = f−1(y) |
||
b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O a |
b c |
d |
x |
|
|
Рис. 3.13 |
|
|
|
Если же условиться и в случае функции f, и в случае обратной функции f−1 независимую переменную обозначать x, а зависимую — y, то для получения графика функции y = f−1(x) из графика y = f(x) нужно первый график зеркально отобразить относительно биссектрисы I и III четвертей координатной плоскости (рис. 3.13).
144 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
Определение |
3.20. Пусть заданы функции f : X → Y и |
g : Y → Z (рис. 3.14). Функция ϕ : X → Z, определяемая по формуле
ϕ(x) = g(f(x)), называется сложной функцией или суперпозицией функций y = f(x) и z = g(y).
Y
X
Z
Рис. 3.14
Пример 3.22. Функция z = √cos x является сложной функцией, а именно суперпозицией тригонометрической функции y = cos x и степенной функции z = y1/2.
Пример 3.23. Функция y = e2x+1 также является сложной функцией, представимой как суперпозиция линейной функции t = 2x + 1 и показательной функции y = et.
Пример 3.24. Для функции y = ln(x/2) найти обратную функ-
цию.
Р е ш е н и е. Очевидно, что данная функция определена на промежутке (0, ∞). Множеством ее значений является R. С помощью потенцирования находим ey = x/2. Значит, x = 2ey является обратной функцией к функции y = ln(x/2). Функция x = 2ey определена на R, множеством ее значений является промежуток (0, +∞). 
Пример 3.25. Представить сложную функцию y = arcsin 3x в виде суперпозиции соответствующих функций.
Р е ш е н и е. Данная сложная функция является суперпозицией степенной функции u = 3x и обратной тригонометрической функции y = arcsin u. 
3.2. Функциональная зависимость |
145 |
|
|
3.2.4. Элементарные функции
Значительную роль в математике и ее приложениях играет небольшой набор функций, которые принято называть основными элементарными функциями. Перечислим их.
1.Простейшей является постоянная функция y = C.
2.Степенная функция имеет вид y = xα, где α R. Примеры степенных функций с различными показателями приведены на рис. 3.15–3.20.
y |
|
|
y = x2 |
|
|
||||
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
1 |
x |
|
Рис. 3.15 |
|
|
||
y |
|
|
y = x1/2 |
|
|
||||
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
1 |
x |
|
Рис. 3.17
y 
y = x−1
O
x
y |
|
|
|
|
y = x3 |
1 |
|
|
O |
1 |
x |
Рис. 3.16 |
||
y |
|
y = x1/3 |
1 |
|
|
O |
1 |
x |
Рис. 3.18
y 
y = x−2
Ox
Рис. 3.19 |
Рис. 3.20 |
146 |
Глава 3. Предел последовательности и функции |
|
|
3. Показательная функция имеет вид y = ax, где a > 0 и a = 1. На рис. 3.21 и 3.22 представлены графики показательной функции в случаях, когда a > 1 и 0 < a < 1 соответственно.
y |
|
y = ax |
|
|
y |
|
y = ax |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
(a > 1) |
|
|
|
|
(0 < a < 1) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
x |
O |
|
x |
||
Рис. 3.21 |
|
|
|
Рис. 3.22 |
||||
4. Логарифмическая функция y = loga x задана для a > 0, a = 1. Ее графики для случаев a > 1 и 0 < a < 1 изображены на риc. 3.23 и 3.24 соответственно.
y |
y = loga x (a > 1) |
y |
|
|
|
|
|
O 1 |
x |
O 1 |
x |
y = loga x (0 < a < 1)
Рис. 3.23 |
Рис. 3.24 |
5. Тригонометрическими называются функции y = sin x (синус, рис. 3.25), y = cos x (косинус, рис. 3.26), y = tg x (тангенс, рис. 3.27) и y = ctg x (котангенс, рис. 3.28).
|
|
y |
|
|
|
y = sin x |
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
−π |
|
|
|
|
|
O |
π π x |
−π |
− |
π |
|
|
O |
|
x |
||||
|
−1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
−1 |
|
|
y = cos x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 3.25 |
Рис. 3.26 |
3.2. Функциональная зависимость |
|
|
|
147 |
||||
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
O |
π |
x |
π |
O |
π |
x |
− |
π |
π |
π |
|||||
2 |
2 |
|
|
− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
y = tg x |
|
|
|
y = ctg x |
|
|
|
Рис. 3.27 |
|
|
|
Рис. 3.28 |
|
|
6. Обратными тригонометрическими называются функции y = = arcsin x (арксинус, рис. 3.29), y = arccos x (арккосинус, рис. 3.30), y = arctg x (арктангенс, рис. 3.31) и y = arcctg x (арккотангенс, рис. 3.32), обратные к соответствующим тригонометрическим функциям.
y |
|
|
|
|
y |
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = arcsin x |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
−1 |
O 1 |
|
x |
|
2 |
y = arccos x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
O |
|
|
|
||
|
− π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
x |
|
|
Рис. 3.29 |
|
|
|
Рис. 3.30 |
|
||
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y = arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
y = arcctg x |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
O |
|
x |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− π2 |
|
|
|
O |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 3.31 |
|
|
|
Рис. 3.32 |
|
|||
Определение 3.21. Функция, полученная из основных элементарных функций с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции, называется элементарной функцией.
148 Глава 3. Предел последовательности и функции
Определение 3.22. Простейшими элементарными функциями являются целая рациональная функция, или алгебраический многочлен
P (x) = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + . . . + an−2x2 + an−1x + an, n Z+,
а также дробная рациональная функция
a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an
R(x) = b0xm + b1xm−1 + . . . + bm−1x + bm , n, m Z+.
Множество целых и дробных рациональных функций образует класс рациональных функций.
Определение 3.23. Функции, не являющиеся элементарными, называются неэлементарными.
Пример 3.26. Функция y = sign x (см. рис. 3.6) является неэлементарной.
Наше внимание будет сосредоточено преимущественно на элементарных функциях.
3.2.5. Основные характеристики функций
Определение 3.24. Функция f : X → Y , заданная на симметричном относительно начала координат множестве X, называется четной, если для всех x X верно, что f(−x) = f(x), и нечетной, если для всех x X имеет место равенство f(−x) = −f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной — относительно начала координат. Примером четной функции является функция y = x2 (см. рис. 3.15), нечетной — y = x3 (см. рис. 3.16). Функция y = 2x (см. рис. 3.21) имеет общий вид, т.е. не является ни четной, ни нечетной.
Определение 3.25. Функция f : X → Y называется возрастающей (убывающей) на множестве A X, если для любых x1, x2 A из того, что x1 < x2, следует неравенство f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)).
Определение 3.26. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
3.2. Функциональная зависимость |
149 |
|
|
Определение 3.27. Функция f : X → Y называется строго возрастающей (строго убывающей) на множестве A X, если для любых x1, x2 A из того, что x1 < x2, следует строгое неравенство f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
Определение 3.28. Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными.
Определение 3.29. Интервалы, на которых функция монотонна, называются интервалами монотонности этой функции.
Пример 3.27. Функция y = x2 (см. рис. 3.15) монотонно убывает на интервале (−∞, 0] и возрастает на интервале [0, +∞), но не является монотонной на всей числовой оси. В данном случае (−∞, 0] — интервал убывания, [0, +∞) — интервал возрастания.
Определение 3.30. Функция f : X → Y называется ограниченной, если
M > 0 x X |f(x)| M.
В противном случае, т.е. когда
M > 0 x X |f(x)| > M,
функция f называется неограниченной.
Пример 3.28. Функция y = arctg x (см. рис. 3.31) является ограниченной на R, так как для всякого x R верно неравенство
| arctg x| π/2.
Пример 3.29. Функция y = tg x (см. рис. 3.27) является неограниченной на интервале (−π/2, π/2), так как не существует числа M > 0 такого, чтобы для всех x (−π/2, π/2) имела место оценка
| tg x| M.
Определение 3.31. Функция f : X → Y называется периодической, если существует такое число T = 0, что для всякого x X значение x+T также принадлежит области определения X и f(x+T ) = f(x). При этом число T называют периодом функции. Наименьший положительный период называют основным периодом.
Пример 3.30. Периодическими являются все тригонометрические функции, например y = sin x (см. рис. 3.25). В качестве ее периода могут выступать числа ±2π, ±4π, ±6π, . . . . Основной период всегда единственный. В данном случае он равен 2π.