Е. А. Ровба - Высшая математика

выполняется неравенство |xn| M. В противном случае она называется неограниченной.

Переформулируем это определение на языке кванторов. Последовательность {xn} называется ограниченной, если

M > 0 n N |xn| M.

Ясно, что последовательность является неограниченной, если для любого M > 0 найдется такое число n N, для которого |xn| > M. На языке кванторов это можно записать следующим образом:

M > 0 n N |xn| > M.

Определение 3.4. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку; ε-окрестностью точки x = a называется интервал (a − ε, a + ε).

Геометрической смысл ограниченной последовательности состоит в том, что все члены последовательности находятся в неко-

ограничена, так как для всякого n N верно, что |xn| = n1 1.

Пример 3.2. Последовательность

n, если n нечетное, xn = 1/n, если n четное,

является неограниченной, так как ее элементы могут принимать значения, б´ольшие любого наперед заданного числа M > 0.

Определение 3.5. Последовательность xn называется постоянной, если

a R n N xn = a,

т.е. все элементы последовательности равны некоторому числу a.

Например, последовательность 1, 1, . . . , 1, . . . является постоянной. Здесь для всякого n N имеет место равенство xn = 1.

3.1.2. Предел последовательности

Изучение предела последовательности начнем с примера.

Пример 3.3. Рассмотрим последовательность

n − 1 xn = n .

Из рис. 3.2, где изображены первые несколько элементов данной последовательности, видно, что они приближаются к значению a = 1.

Итак, видно, что по мере возрастания номера n элемент последовательности {xn} приближается к единице. В таком случае говорят, что число 1 является пределом последовательности {xn}.

Получив наглядное представление о сути предельного перехода, можно перейти к математически строгому определению.

Определение 3.6. Число a называется пределом последовательности {xn}, если для всякого числа ε > 0 существует номер Nε N такой, что для всех n > Nε имеет место неравенство |xn − a| < ε. На языке кванторов это записывается так:

ε > 0 Nε N n > Nε |xn − a| < ε.

Для обозначения предела используется выражение

a = lim xn.

n→∞

На основании рис. 3.2 мы уже сделали вывод, что

lim n − 1 = 1.

n→∞ n

Этому факту можно дать и строгое математическое доказательство, пользуясь введенным ранее определением предела последовательности (сделайте это самостоятельно).

Геометрический смысл предела последовательности состоит в том, что в любой ε-окрестности точки a находятся все члены последовательности начиная с некоторого номера Nε, зависящего, вообще говоря, от ε (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Пример 3.4. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

Р е ш е н и е. Зададим произвольное число ε > 0 и рассмотрим модуль разности между n-м членом последовательности и числом 1/2:

В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер Nε такой, что для всякого n > Nε выполняется неравенство

1

2(2n − 1) < ε.

Для отыскания номера Nε решим это неравенство относительно n:

где запись [x] означает целую часть числа x.

3.1.3. Бесконечно малые последовательности

Определение 3.7. Последовательность {xn} называется бесконечно малой (БМП), если

lim xn = 0.

n→∞

В соответствии с определением предела последовательности последовательность xn является бесконечно малой тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ε существует номер Nε такой, что для любого n > Nε выполняется неравенство |xn| < ε, т.е.

ε > 0 Nε N n > Nε |xn| < ε.

Пример 3.5. Последовательность xn = 1/n бесконечно малая, или, что то же самое, ее предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть БМП.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно доказать свойство для суммы двух БМП. Пусть {xn} и {yn} есть БМП. Зададим произвольное ε > 0. В соответствии с определением БМП для всякого положительного числа, в том числе и для ε/2, существуют номера N1 и N2 такие, что

По определению это означает, что последовательность {xn + yn} есть БМП.

2. Бесконечно малая последовательность является ограниченной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность {xn} бесконечно малая. Докажем ее ограниченность. По определению БМП для всякого ε > 0, в том числе и для ε = 1, существует такой номер Nε N, что для всякого n > Nε имеет место неравенство |xn| < 1. Положим теперь

M = max 1, |x1|, |x2|, . . . , |xNε | .

Тогда для всякого n N будет |xn| M. Это и означает, что последовательность {xn} ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности есть БМП.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {xn} и {yn} — соответственно бесконечно малая и ограниченная последовательности. Докажем, что последовательность {xnyn} бесконечно малая. Для этого зафиксируем ε > 0 и найдем такое число Nε N, что для всякого n > Nε будет |xnyn| < ε.

По определению ограниченной последовательности

M > 0 n N |yn| M.

По определению БМП для всякого положительного числа, в том числе и для ε/M, существует такой номер Nε N, что для всякого n > Nε верно неравенство |xn| < ε/M. Но тогда при n > Nε будет также верна оценка

ε

|xnyn| = |xn| · |yn| < M M = ε,

доказывающая свойство.

4.Произведение конечного числа БМП есть БМП.

До к а з а т е л ь с т в о. Справедливость этого свойства следует из того, что всякая БМП является ограниченной последовательностью, а произведение ограниченной последовательности и БМП есть

БМП.

5. Если БМП {xn} имеет постоянное значение a, т.е. для любого n N верно, что xn = a, то a = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения БМП следует, что каким бы малым мы ни выбрали число ε > 0, имеет место неравенство |a| < ε. А это возможно только в том случае, когда a = 0.

3.1.4. Бесконечно большие последовательности

Определение 3.8. Последовательность {xn} называется бесконечно большой (ББП), если для всякого A > 0 существует номер NA N такой, что для любого n > NA верно неравенство |xn| > A, т.е.

A > 0 NA N n > NA |xn| > A.

В таком случае пишут

lim xn = ∞.

n→∞

Если дополнительно известно, что последовательность {xn} для достаточно больших n сохраняет знак, т.е.

A > 0 NA N n > NA xn > A (xn < −A),

то к символу бесконечности ∞ добавляют соответствующий знак:

Примерами бесконечно больших последовательностей являются:

Свойства бесконечно больших последовательностей

1. ББП — неограниченная последовательность.

Замечание 3.1. Обратное, вообще говоря, не верно. Неограниченная последовательность может не быть ББП, в чем убеждает пример 3.2.

2.Произведение двух ББП есть ББП.

3.Сумма ББП и ограниченной последовательности есть ББП.

Замечание 3.2. Сумма двух ББП не обязательно является ББП. Например, последовательности xn = n и yn = −n бесконечно большие, однако сумма xn + yn = 0 бесконечно большой не является.

Следующая теорема иллюстрирует связь между БМП и ББП.

Теорема 3.1. Если последовательность {xn} есть ББП и все ее члены отличны от нуля, то {1/xn} есть БМП; и обратно, если {xn} — БМП, все члены которой отличны от нуля, то {1/xn} — ББП.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {xn} — ББП, все члены которой отличны от нуля. Докажем, что последовательность {1/xn} есть БМП. Зафиксируем ε > 0. По определению ББП для всякого A > 0, в том числе для A = 1/ε,

В этих условиях |1/xn| < 1/A = ε.

Итак, для всякого ε > 0 мы смогли подобрать такой номер Nε N, что при n > Nε верно неравенство |1/xn| < ε. В соответствии с определением это и означает, что последовательность {1/xn} бесконечно малая.

Пусть теперь {xn} — БМП, все члены которой отличны от нуля. Зафиксируем A > 0. По определению БМП для всякого ε > 0, в том числе для ε = 1/A,

1

NA N n > NA |xn| < ε = A.

В этих условиях |1/xn| > 1/ε = A. Таким образом, последовательность {1/xn} бесконечно большая.

3.1.5. Сходящиеся последовательности

Определение 3.9. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, —

расходящейся. Если

lim xn = a,

n→∞

то говорят, что последовательность {xn} сходится к a.

Простейшим примером сходящейся последовательности является БМП, а расходящейся — ББП.

Пример 3.6. Последовательность xn = (−1)n расходится.

Р е ш е н и е. Отметим, что данная последовательность имеет вид

−1, 1, −1, 1, . . . ,

и из геометрических соображений ясно, что ее члены не стремятся ни к какому пределу.

Выберем произвольное число a и, воспользовавшись определением, покажем, что оно не может быть пределом данной последовательности. Положим ε = 1/2. Тогда в ε-окрестность точки a не войдет хотя бы одно из чисел 1 и −1. Следовательно, за пределами этой окрестности будут лежать элементы данной последовательности со сколь угодно большими номерами.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Для того чтобы последовательность {xn} имела своим пределом число a, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {xn − a} была БМП.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если a = lim xn, то

n→∞

ε > 0 Nε N n > Nε |xn − a| < ε.

Это означает, что последовательность {xn − a} есть БМП. Достаточность. Пусть последовательность {xn − a} есть БМП.

Тогда

ε > 0 Nε N n > Nε |xn − a| < ε.

Это означает, что последовательность {xn} сходится к a.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть

Тогда последовательности {xn − a} и {xn − b} есть БМП. Введем обозначения: xn − a = αn, xn − b = βn. Последовательности {αn} и {βn} — БМП в соответствии со свойством 1. Имеем: xn = a + αn, xn = b + βn. Отсюда получим, что a + αn = b + βn и a − b = βn − αn. Так как {βn − αn} есть БМП, то в соответствии со свойством 5 БМП имеем b − a = 0, т.е. b = a.

3.Сходящаяся последовательность ограничена.

До к а з а т е л ь с т в о. Действительно, сходящаяся к a последо-

вательность {xn} представима в виде xn = a + αn, где αn — БМП. По свойству 2 последовательность {αn} ограничена, т.е.

M > 0 n N |αn| M.

В этих условиях

|xn| = |a + αn| |a| + |αn| |a| + M,

что и доказывает ограниченность последовательности {xn}.

Замечание 3.3. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Это следует из очевидной ограниченности последовательности, рассмотренной в примере 3.6.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем пункты а) и в). По свойству 1

xn − a = αn, yn − b = βn,

где {αn}, {βn} — БМП.

Для доказательства пункта а) покажем, что {(xn + yn) − (a + b)} является БМП. В самом деле,

(xn + yn) − (a + b) = (xn − a) + (yn − b) = αn + βn.

По свойству 1 БМП сумма двух БМП {αn} и {βn} сама является бесконечно малой, что и требовалось доказать.

Чтобы доказать пункт в), покажем что бесконечно малой является последовательность {xnyn − ab}:

xnyn − ab = xnyn − xnb + xnb − ab = xn(yn − b) + b(xn − a) = xnβn + bαn.

Отметим, что в силу свойства 3 сходящаяся последовательность {xn} ограничена. Значит, последовательности {xnβn} и {bαn} являются БМП как произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой. Сумма же двух БМП есть БМП по свойству 1 БМП.

Р е ш е н и е. При n → ∞ числитель и знаменатель стремятся к бесконечности (являются ББП). Следовательно, непосредственно применить свойство о пределе частного нельзя. Поэтому необходимо преобразовать общий член этой последовательности, разделив числитель

изнаменатель на n2 (на n в максимальной степени). Получим: