Скорости тел массами m1 и m2 после их абсолютно упругого центрального удара
′ |
|
(m1 − m2 )υ1 + 2m2υ2 |
′ |
|
(m2 |
− m1)υ2 |
+ 2m1υ1 |
|
|
υ1 |
= |
|
|
; υ2 |
= |
|
|
|
, |
m1 |
+ m2 |
|
m1 + m2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
где υ1 и υ2 – скорости этих тел до удара.
Скорость тел массами m1 и m2, движущихся соответственно со ско-
ростями υ1 и υ2, после абсолютно неупругого центрального удара
υ = m1υ1 + m2υ2 . m1 + m2
2.4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Момент инерции материальной точки
J = mr2,
где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.
Момент инерции системы (тела)
n
J = ∑miri2 ,
i=1
где ri – расстояние материальной точки массой mi до оси вращения. В случае непрерывного распределения масс
J = ∫r2dm .
Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m – масса тела) представлены в таблице.
Тело |
Положение оси вращения |
Момент инерции |
||
|
|
|
|
|
Полый тонкостенный |
Ось симметрии |
|
mR2 |
|
цилиндр радиусом R |
|
|||
|
|
|
|
|
Сплошной цилиндр |
То же |
|
1 mR2 |
|
или диск радиусом R |
|
2 |
|
|
Прямой тонкостенный |
Ось перпендикулярна стержню |
|
1 |
ml2 |
стержень длиной l |
и проходит через его середину |
|
12 |
|
То же |
Ось перпендикулярна стержню |
|
1 ml2 |
|
|
и проходит через его конец |
3 |
|
|
Шар радиусом R |
Ось проходит через центр шара |
|
2 mR2 |
|
|
|
5 |
|
|
13
Теорема Штейнера
J = Jc + ma2,
где Jc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; J – момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса вращающегося тела.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,
WKвр = Jz2ω2 ,
где Jz – момент инерции тела относительно оси z; ω – его угловая скорость. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без
скольжения,
WK = 12 mυc2 + 12 Jcω2 ,
где m – масса тела; υс – скорость центра масс тела; Jc – момент инерции телаотносительнооси, проходящейчерезегоцентрмасс; ω– угловаяскоростьтела.
Момент силы относительно неподвижной точки
M = rG, FG ,
где rG– радиус-вектор, проведенныйизэтойточкивточкуприложениясилы F .
Модуль момента силы
M = Fl,
где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).
Работа при вращении тела
dA = M zdϕ,
где dϕ – угол поворота тела; Mz – момент силы относительно оси z.
14
Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения
n
Lz = ∑miυiri = Jzω, i=1
где ri – расстояние от оси z до отдельной частицы тела; miυi – импульс
этой частицы; Jz – момент инерции тела относительно оси z; ω – его угловая скорость.
Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
MG = dLdt ; M z = Jz ddtω = Jzε,
где ε – угловое ускорение; Jz – момент инерции тела относительно оси z.
Закон сохранения момента импульса (момента количества движе-
ния) для замкнутой системы
L = const .
Напряжение при упругой деформации тела
σ= FS ,
гдеF – растягивающая(сжимающая) сила; S – площадьпоперечногосечениятела.
Относительное продольное растяжение (сжатие)
ε = ∆ll ,
где ∆l – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.
Относительное поперечное растяжение (сжатие)
ε′ = ∆dd ,
где ∆d – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.
Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) ε′ и относительным продольным растяжением (сжатием) ε
ε′ =µε,
где µ – коэффициент Пуассона.
15
Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)
σ = Eε,
где Е – модуль Юнга.
Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) тела
∆l |
1 |
ES |
(∆l)2 |
|
Eε |
2 |
|
WΠ = ∫ Fdx = |
= |
|
V , |
||||
2 |
l |
2 |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где V – объем тела.
2.5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Третий закон Кеплера
T12 = R13 ,
T22 R23
где T1 и T2 – периоды обращения планет вокруг Солнца; R1 и R2 – большие полуоси орбит этих планет.
Закон всемирного тяготения
F =G m1m2 , r2
где F – сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами m1 и m2; r – расстояние между точками; G – гравитационная постоянная.
Сила тяжести
P = mg ,
где m – масса тела; g – ускорение свободного падения.
Напряженность поля тяготения
G gG = mF ,
где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух ма-
териальных точек массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r друг от друга,
16
WΠ = −Gmr1m2 .
Потенциал поля тяготения
ϕ = WmΠ ,
где WП – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в данную точку поля.
Связь между потенциалом поля тяготения и его напряженностью
G |
= −gradϕ, |
G |
|
∂ϕG |
+ |
∂ϕ G |
+ |
∂ϕ G |
, |
|||
g |
или g |
= − |
∂x |
i |
∂y |
j |
∂z |
k |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где iG, Gj,kG – единичные векторы координатных осей.
Первая и вторая космические скорости
υ1 = gR0 , |
υ2 = 2gR0 , |
где R0 – радиус Земли.
Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета maG′= maG + Fин,
где aG и aG′ – соответственно ускорения тела в инерциальной и неинерциальной системах отсчета, FGин – силы инерции.
Силы инерции FGин = Fи + Fц + FК ,
где FGи – силы инерции, проявляющиеся при поступательном движении
системы отсчета с ускорением а0: Fи = −maG0 ; Fц – центробежные силы инерции (силы инерции, действующие во вращающейся системе отсчета на тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние R): Fц = −mω2R ;
FGК – кориолисова сила инерции, действующая на тело, движущееся со
скоростью υ′ во вращающейся системе отсчета.
FК = 2m[υ′,ωG].
17