2 сем экзамен / все лекции

Волновая оптика

Свет - сложное явление: в одних случаях свет ведет себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых частиц. Будем сначала изучать волновую оптику - круг явлений, в основе которых лежит волновая природа света.

Частоты видимого света лежат в диапазоне

(0.40 0.75)1015 Гц.

Соответствующие длины волн зависят от параметров среды. В вакууме для видимого света

(0.40 0.76) мкм.

Электромагнитная волна характеризуется векторами E и H . Однако, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрические действия света вызываются в основном колебаниями вектора

напряженности E . Его будем называть световым вектором. Показатель преломления n некоторой среды определяется как

n c/V ,

где c - скорость света в вакууме, V - фазовая скорость в данной среде. Поскольку

V c/ ,

то

n .

Для подавляющего большинства прозрачных веществ 1. Поэтому

n .

Среду с большим показателем преломления называют оптически более плотной. В веществе c показателем преломления n длина волны равна

Диэлектрическая проницаемость зависит от частоты электромагнитной волны. Этим объясняется дисперсия света – зависимость показателя преломления n от частоты или длины волны.

красный

фиолетовый

Дисперсия, в частности, приводит к разложению белого света в спектр при его преломлении в призме (рис).

Интенсивностью волны называется среднее по времени значение модуля плотности потока энергии:

1

I S ~ EmHm .

Так как в электромагнитной волне Hm ~ Em / ~ Emn, то интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора:

I ~ nEm2 .

Лучами называют линии, ортогональные волновым поверхностям. Энергия в изотропной среде распространяется вдоль лучей. Вектор Пойнтинга направлен по касательной к лучу в изотропной среде.

Поляризация света

Волну, в которой направление колебаний светового вектора E упорядочено каким-либо образом, называют поляризованной.

Волна называется линейнополяризованной или плоскополяризованной, если электрический

вектор E все время лежит в одной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью колебаний или плоскостью поляризации.

Естественный свет, испущенный нагретыми телами, не является поляризованным: в нем в каждый момент времени векторы E, H и k хотя и остаются взаимно перпендикулярными, но

направление вектора E (и H ) беспорядочно изменяется с течением времени. Это связано с тем, что естественный свет обусловлен наложением волн, одновременно излучаемых огромным числом атомов нагретого тела.

Линейно поляризованный свет можно получить, пропустив естественный свет через устройство, называемое поляризатором. Поляризатор сильно поглощает световые волны, в которых электрический вектор перпендикулярен некоторой плоскости, называемой плоскостью пропускания поляризатора. Если же электрический вектор волны параллелен плоскости пропускания поляризатора, то такая волна проходит через поляризатор без поглощения (рис.).

поляризатор

Плоскость пропускания поляризатора

2

Если на пути естественного света интенсивности I0 поставить один за другим два поляризатора так, что угол между их плоскостями пропускания равен , то на выходе получим плоскополяризованный свет интенсивностью I (I0 /2)cos2 (рис.).

Закон Малюса был открыт в 1810 году. В том же году Малюс создал количественную корпускулярную теорию поляризации света, объяснившую все известные к тому времени поляризационные явления.

Явление поляризации считалось доказательством корпускулярной теории света и опровержением волновой теории. Но в 1821 году Френель создал волновую теорию поляризации света. Более чем за 40 лет до предсказания Максвеллом электромагнитных волн.

Монохроматическая световая волна – это волна, в которой все 3 проекции на координатные оси вектора напряженности совершают гармонические колебания с одной и той же частотой. Если волна распространяется вдоль оси X, то Ex 0 и

В частном случае, когда фазы волн совпадают ( 1 2 ), формула (1) описывает плоскополяризованный свет:

3

E

Ez E2 Ey ,

1

Вектор напряженности лежит в плоскости YZ и параллелен прямой z (E2 / E1)y.

Это уравнение эллипса, его описывает конец вектора напряженности. Такой свет называют эллиптически поляризованным. При E1 E2 получаем свет, поляризованный по кругу. При произвольных значениях фазового сдвига 1 2 получаем также эллиптически поляризованную световую волну с наклонной ориентацией осей эллипса (см. рис.)

Электромагнитная волна на границе раздела

Выясним, что происходит при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух однородных изотропных прозрачных диэлектриков, магнитная проницаемость которых равна 1. Ограничимся частным случаем перпендикулярного падения света на границу раздела диэлектри-

ков с показателями преломления n1 и n2 . Обозначим E , E1, E2 и H , H1 , H2 электрические и

магнитные составляющие поля в падающей, отраженной и преломленной волнах. Для падающей и отраженной волн эти векторы определены в первом диэлектрике вблизи его границы, а для пре-

ломленной (прошедшей) волны – во втором диэлектрике. Учтено, что векторы E , H и волновой вектор k образуют правую тройку.

Воспользуемся непрерывностью тангенциальных составляющих E и H на границе раздела: 4

Hz H1z H2 z .

Вэлектромагнитной волне электрическое и магнитное поля связаны соотношениями:

Из этих формул следует:

1)Вектор E2 всегда сонаправлен с вектором E - это означает, что оба вектора колеблются синфазно и при прохождении волны через границу раздела фаза не претерпевает скачка.

2)Это же относится и к векторам E1 и E , но при условии, чтоn1 n2 . Если же n1 n2, то

направление вектора отраженной волны E1 противоположно вектору E , то есть колебания происходят в противофазе. Другими словами, при отражении волны от оптически более плотной среды ее фаза изменяется скачком на .

Коэффициенты отражения. Интенсивность I волны пропорциональна Em2 . Поэтому коэффициент отражения равен:

Заметим, что не зависит от направления падающей волны на границу раздела: из среды 1 в среду 2, или наоборот.

Формулы Френеля Похожим способом можно рассмотреть падение плоской электромагнитной волны на границу раздела двух диэлектриком под произвольным углом падения .

Приведем основные результаты такого рассмотрения. 1) Выполняется закон отражения.

3)Амплитуды преломленной и отраженной волн зависят от поляризации падающей волны. Так для отраженной волны:

(формулы Френеля). Первая формула относится к волне, поляризованной в плоскости падения, а вторая к волне, перпендикулярной этой плоскости.

4)Из формул Френеля следует, что при угле падения, удовлетворяющем условия

/2,

волна, поляризованная в плоскости падения отражаться не будет. В этом случае sin cos и, следовательно

5

tg n2 /n1.

Этот угол называют углом Брюстера – угол падения, при котором отраженная волна оказывается линейно поляризованной перпендикулярно плоскости падения.

5)Качественное объяснение состоит в том, что в этом случае направление колебаний диполей (показаны на рис), возбужденных во второй среде волной, поляризованной в плоскости падения, оказывается параллельным направлению отраженной волны. Но диполь не излучает волну в направлении своих колебаний.

неполяризованный поляризованный

n1

n2

частичнополяризованный

Интерференция световых волн

Интерференция возникает при наложении волн, создаваемых двумя или несколькими источниками, колеблющимися с одинаковыми частотами и некоторой постоянной разностью фаз. Такие источники называются когерентными.

При интерференции света интенсивность в области перекрытия световых волн имеет характер чередующихся светлых и темных полос. При использовании белого света интерференционные полосы окрашены в различные цвета спектра.

6

Рассмотрим два когерентных источника S1 и S2. Пусть в испускаемых источниками волнах векторы напряженности E совершают колебания в одном направлении. Тогда в некоторой точке

P, удаленной от источников на r1 и r2, проекция вектора E на некоторое направление зависит от времени по закону:

E E1 cos( t kr1 1) E2 cos( t kr2 2)

E1 cos( t 1) E2 cos( t 2)

где k 2 / - волновое число, 1 kr1 1 и 2 kr2 2 - фазы колебаний в точке P. Воспользовавшись методом векторных диаграмм, найдем амплитуду результирующих колебаний

Em2 E12 E22 2E1E2 cos( 1 2 ).

7

Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды напряженности поля, то интенсивность в точке наблюдения P равна

I I1 I2 2I1I2 cos( 1 2),

где I1 и I2 - интенсивности в точке P от каждого источника в отдельности.

Из полученной формулы видно, что интенсивность в точке P не равна сумме интенсивностей падающих волн, а зависит от разности фаз колебаний волн в этой точке, причем разность фаз

1 2 1 2 2 (r2 r1)

зависит от положения точки наблюдения P. Величину r2 r1 называют разностью хода волн.

Тогда

1 2 1 2 2 .

Если начальные фазы и интенсивности I1 и I2 одинаковы, то

I 2I1 1 cos2 .

Интенсивность волны максимальна и равна I = 4 I1 в тех точках, для которых

то есть, когда разность хода равна целому числу длин волн. В этом случае колебания в точке P, вызванные источниками, происходят в одинаковых фазах.

Если

m 2 ,

то интенсивность волны в точке наблюдения P равна нулю (I = 0). В этом случае в точке P складываются колебания, смещенные по фазе на 2 m.

Замечание. Если интерферирующие волны проходят через среды с различными показателями преломления, то в формулах для условий максимума и минимума величину следует принять равной

n2dl n1dl .

Эту величину называют оптической разностью хода волн. В вакууме (n1 n2 1) оптическая разность хода «переходит» в геометрическую: r2 r1.

t

t

8

Распределение интенсивности света на плоском удаленном экране

Пусть свет от двух когерентных источников, находящихся на расстоянии d друг от друга, падает на экран, расположенный на расстоянии L от источников. Для увеличения светового потока и удобства наблюдения вместо точечных источников можно взять два линейных источника, например, две узкие ярко освещенные щели.

d

S2 L

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников (рис.).

Отсюда

(r2 r1)(r1 r2) 2xd .

Полагая, что d x L (более точные неравенства будут записаны позже), получим: r2 r1 2L,

Тогда для интенсивности света в плоскости экрана получим

I 2I1 1 cos2 Ld x .

Координаты максимумов интенсивности определяются формулой xm Ld m.

Посередине между соседними максимумами будут наблюдаться минимумы с нулевой интенсивностью.

Если источники света представляют собой тонкие нити (освещенные щели), перпендикулярные плоскости чертежа, то на экране будут наблюдаться чередующиеся светлые и темные полосы (интерференционная картина). Ширину интерференционной полосы определим как расстояние между соседними максимумами или минимумами:

9

x Ld .

Оценивая ширину полосы для L=1 м, = 0,6 мкм, d = 1 мм, получим x L /d 0,6 мм.

Интерференция характерна для волн любой природы и сравнительно просто наблюдается на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых волн. Наблюдать интерференцию световых волн можно лишь при определенных условиях. Дело в том, что свет, испущенный обычными источниками, не является монохроматическим. Свет можно рассматривать, как последовательность отдельных цугов синусоидальных волн. Причем фазы колебаний хаотически меняются при наложении волн, принадлежащих различным цугам:

1 2 1 2 2 .

Т.к. 1 2 меняется случайным образом, то устойчивой интерференционной картины не возникает.

Тем не менее, интерференцию световых волн можно наблюдать даже от обычных источников. Для этого волну, излучаемую одним источником света, разделяют тем или иным способом на две части и затем накладывают их друг на друга подходящим способом.

При этом необходимо иметь в виду следующее:

1.Свет никогда не бывает строго монохроматическим. Чем шире полоса частот излучаемого света, тем хуже условия для наблюдения интерференции. Дело в том, что интерференционные картины, образованные составляющими света с различными частотами, накладываются друг на друга и смазывают результирующую картину на экране.

2.Размеры источника должны быть достаточно малы. В противном случае каждый фрагмент источника создаст на экране свою интерференционную картину. Максимумы накладываются на минимумы и результирующая картина на экране смазывается.

Классические интерференционные опыты

Опыт Юнга

Первая экспериментальная установка для демонстрации интерференции света была предложена Юнгом (1807). Яркий пучок солнечного света освещал узкую щель S. Прошедший через щель свет образует расходящуюся волну, которая попадает на две узкие щели S1 и S2. Эти щели действуют как вторичные когерентные источники и на экране наблюдается система интерференционных полос. Положение светлых и темных полос на экране, а также ширину интерференционной полосы можно вычислить по формулам, приведенным на предыдущем слайде.

10