2 сем экзамен / все лекции

4

pволны pволны pпласт .

Отсюда находим

pволны wc Sl .

Импульс единицы объема электромагнитной волны g wc ,

или в векторном виде

g c12 [EH].

При выводе предполагалось, что волна падает нормально на поверхность идеального металла. Однако это не может отразиться на окончательном результате, поскольку импульс электромагнитной волны есть характеристика самой волны и он не может зависеть от тел, с которыми волна взаимодействует

Излучение диполя

Из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны в вакууме возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с ускорением. Простейшей излучающей системой является электрический диполь, дипольный момент p которого зависит от вре-

мени. Дипольный момент может изменяться за счет изменения расстояния l между зарядами q и –q, а также вследствие изменения ориентации в пространстве оси диполя.

Напомним, что электрический диполь является простейшей моделью нейтрального тела. Поэтому основные закономерности дипольного излучения имеют весьма общий характер. Излучение электромагнитных волн нейтральными атомами и молекулами, а также различными радиотехническими устройствами в первом приближении можно рассматривать, как излучение диполя или системы диполей.

Строгий теоретический анализ излучения диполя основывается на решении системы уравнений Максвелла в трехмерном случае. Решение упрощается на больших расстояниях r от диполя, когда

r ,

где - длина волны излучения. В этом случае говорят об излучении в волновой зоне. Предполагается также, что характерный размер тела l значительно меньше .

Далее мы приведем без вывода основные результаты теоретического анализа при r l . Будем считать, что дипольный момент меняется по закону

и, что диполь находится в вакууме.

Итак, основные закономерности излучения диполя.

5

1.В волновой зоне излучение диполя представляет собой расходящуюся сферическую волну, то есть волновые поверхности являются сферами.

2.Вектор E в каждой точке волновой зоны направлен по касательной к меридиану сферической волновой поверхности, а вектор H - по касательной к параллели, причем так, что в каждый момент векторы E , H и вектор плотности потока энергии S [EH] составляют правую тройку.

H S p r E

3. Амплитуда волны уменьшается с ростом расстояния r от диполя как

где - угол между осью диполя и радиус вектором r точки, где наблюдается поле (см. рис.).

3. Интенсивность электромагнитной волны, то есть среднее значение плотности потока энергии, пропорционально произведению EmHm , значит, согласно (2):

6

Средняя по времени мощность излучения диполя равна.

P ( /2) 4 pm2 .

Зависимость мощности излучения от частоты очень сильная. Следовательно, радиостанции должны использовать высокие частоты. Мощность излучения при частоте 100 МГц превышает мощность излучения при частоте 100 Гц в 1024 раза!!

Формула (4) справедлива также для излучения заряда q, движущегося с ускорением. Если заряд q диполя покоится, а движется только заряд –q, то

ddt22p qa.

После подстановки в формулу (4) найдем:

Pt q2a2 .

Эта формула справедлива только для нерелятивистских зарядов.

Заметим также, что заряд, движущийся в вакууме с постоянной скоростью, не излучает.

1

5.Электрические колебания

5.1.Колебательный контур

Колебаниями в физике называют не только периодические движения тел, но и всякий периодический или почти периодический процесс, в котором значения той или иной физической величины повторяются точно или приблизительно.

Изучение электрических колебаний начнем с вывода уравнения колебательного контура. Так называется система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью C, катушки индуктивности L и проводника с омическим сопротивлением R.

R L C

Ограничимся изучением электрических цепей с сосредоточенными емкостями и индуктивностями, и будем считать переменные токи квазистационарными. Квазистационарность означает, что мгновенные значения силы тока i практически одинаковы во всех участках последовательной цепи. Это условие будет выполнено, если за время прохождения сигнала по цепи l/c (l -длина цепи, c - скорость света) сила тока меняется незначительно ( T , где T - период колебаний). Если принять l = 1 м, то токи можно считать квазистационарными при частотах f 1/T c/l 300 МГц.

Выбираем положительное направление обхода контура. Ток i считается положительным, если он течет в направлении обхода. Обозначим через q заряд той обкладки конденсатора, в которую втекает положительный ток (рис.). Тогда

(t) i UR UC .

где введены обозначения

2

Уравнение (1) называется уравнением колебательного контура.

5.2. Свободные колебания

Рассмотрим сначала случай, когда (t) 0и нет омического сопротивления. Тогда

Это уравнение гармонических колебаний. Его общее решение q qm cos( 0t )

содержит две произвольные постоянные qm и , которые определяются начальными условиями. Период собственных колебаний

T 2 LC .

Эта формула называется формулой Томсона. Ток и напряжение также меняются по гармоническому закону:

На рис. приведены соответствующие графики. Ток опережает напряжение по фазе. Как возбудить электрические колебания в контуре? ……..

В начальный момент времени вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе. Конденсатор начинает разряжаться, через катушку течет ток. Электрическая энергия конденсатора начинает превращаться в магнитную энергию катушки индуктивности. В некоторый момент заряд конденсатора обратится в ноль, а ток в контуре достигнет максимума. Начиная с этого момента ток, не меняя направления, начинает убывать. Однако он не сразу спадает до нуля, так как этому препятствует электродвижущая сила индукции. Ток "перезаряжает" пластины конденсатора: та, которая раньше была заряжена положительно, теперь будет приобретать отрицательный заряд. Возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток. В конце концов, ток обратится в ноль, а заряд на конденсаторе достигнет максимума. И так далее. И если бы не было потерь энергии, то такие колебания бы повторялись неограниченно долго.

Энергия конденсатора равна

3

Полная энергия

q2 W WC WL 2Cm

остается неизменной во времени.

5.3. Затухающие колебания

В этом случае ( (t) 0, R 0) решение дифференциального уравнения (1) при0 имеет вид

q q0e t cos( t ),

где 02 2 . Кривая q(t), представляемая этой формулой, не периодична. Однако

величина q периодически проходит через ноль и бесконечное число раз достигает максимума и минимума. В этом смысле процессы, описываемые этой формулой, являются колебательными. Они называются затухающими колебаниями. Величину

амплитудой затухающих колебаний. Она экспоненциально убывает во времени.

Время 1/ , за которое амплитуда убывает в e раз, называется временем затухания. Обратная этому времени величина называется коэффициентом затухания.

называется логарифмическим декрементом колебаний.

5.4. Вынужденные электрические колебания. Переменный ток

Рассмотрим электрические колебания, возникающие в том случае, когда в цепи имеется генератор, электродвижущая сила (t) которого изменяется периодически. Будем

рассматривать только такие токи, которые изменяются по синусоидальному закону. Это объясняется несколькими причинами.

Во-первых, многие технические генераторы переменного тока имеют ЭДС, изменяющуюся по закону, близкому к синусоидальному. Во-вторых, теория синусоидальных токов особенно проста, и поэтому на примере таких токов можно легко выяснить основные особенности электрических колебаний. В-третьих, согласно известной математической теореме Фурье всякая функция довольно общего вида может быть представлена в

виде суммы синусоидальных функций. Поэтому теория синусоидального тока позволяет

5

получать важные результаты и для тока, изменяющегося во времени по произвольному (несинусоидальному) закону.

Наконец, будем считать, что колебания являются установившимися. Иными словами, будем предполагать, что с момента начала колебаний прошло достаточно большое время, так что амплитуды тока и напряжения уже достигли своих постоянных значений и далее не изменяются.

5.5.Резистор в цепи переменного тока

5.6.Конденсатор в цепи переменного тока

5.7.Катушка индуктивности в цепи переменного тока

5.8.Последовательное соединение резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Резонанс напряжений

Этот материал изложен в Приложении-4 сборника описания лабораторных работ «Электричество и магнетизм». Эти вопросы войдут в экзаменационные билеты. Их следует изучить самостоятельно.

5.9. Метод комплексных амплитуд расчета цепей переменного тока

1. Для анализа цепей переменного тока широко используется метод комплексных амплитуд, который отличается от метода векторных диаграмм более удобной записью.

При помощи известной формулы Эйлера

ej cos jsin ,

( j - мнимая единица) гармонические колебания любой величины

f (t) fm cos( t 0)

можно представить в виде

f (t) Re fmej( t 0) Re Fmej t ,

где

Fm fmej 0

-так называемая комплексная амплитуда колебаний f (t) . Модуль комплексной амплиту-

Таким образом, при известной частоте комплексная амплитуда полностью характеризует гармонические колебания, определяя и ее амплитуду, и начальную фазу.

Пример: если f 5cos( t /3) , то комплексная амплитуда Fm 5ej /3 .

2. Представление колебаний в виде комплексных величин удобно, поскольку при выполнении широкого класса математических операций (линейных и вещественных) можно менять порядок выполнения математической операции и взятия реальной части.

6

Например:

Re(A) Re(B) Re(A B).

Re(A) Re( A), где - действительное,

Обычно удобнее работать с представлениями колебаний в виде комплексных величин, и лишь в самом конце вычислений взять реальную часть от полученного комплексного результата.

3. Пример: Найти амплитуду колебаний:

f acos t 2acos t /3 .

Решение: F aej t 2aej( t /3) aej t 1 2ej /3 Aej t , где

A a1 2ej /3 a 1 2cos /3 2jsin /3 a(1 1 2j3/2) a(2 j3).

Амплитуда колебаний fm равна модулю комплексной амплитуды A:

fm | A| a4 3 a7 .

5.Рассмотрим вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре, считая, что внешняя ЭДС изменяется синусоидально:

m cos t.

Наряду с действительными величинами

Нужно определить комплексные амплитуды заряда Qm, тока Im и напряжения Um. Подставляя в уравнение (1) Q Qmej t , E mej t , получим

2Qm 2 j Qm 02Qm m / L.

Следовательно,

Qm 02 ( m2 /L2)j .

Далее, при помощи (2) найдем комплексные ток и напряжение:

Конечно, эти решения лишь символически представляют вынужденные колебания. В них должны быть оставлены только реальные части. По существу осталось выполнить простую математическую процедуру – найти модули и аргументы комплексных величин. Проведем такие расчеты для тока. Комплексная амплитуда тока равна

Величину в скобках называют комплексным сопротивлением цепи:

R

Тогда

i im cos( t 0).

Заметим, что формула (3) для комплексного сопротивления цепи представляет собой сумму трех комплексных сопротивлений конденсатора

zC j1C ,

катушки

zL j L

ирезистора R. Оказывается, этот результат имеет общий характер. Комплексное сопро-

тивление любой цепи можно рассчитать по обычным правилам расчета цепей постоянного тока, если приписать емкости и индуктивности указанные выше комплексные сопротивления. Зная комплексные сопротивления можно рассчитать комплексные амплитуды, а затем и действительные амплитуды и начальные фазы.