Федеральное агентство связи

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

“Московский технический университет связи и информатики”

Кафедра информатики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

«Интерполяция функций»

по дисциплине

Численные методы

Выполнил: студент гр. БИН1907 Власов Андрей

Проверил: к.т.н., доцент Г.Сосновиков

Москва 2021 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

I. ЗАДАНИЕ

Общее задание, индивидуальный вариант 3

II. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Выполнение 4-7

I. ЗАДАНИЕ

Общее задание к работе

1. Выбрать индивидуальное задание из табл.:

• точку интерполяции x = a для интерполяции многочленом Ньютона;

• точку интерполяции x = b для интерполяции многочленом Лагранжа;

2. Для интерполяции в точке x = a выбрать из таблицы с интерполируемой функцией 4 подходящих узла для построения многочленов 1, 2 и 3-ей степени.

3. Перенумеровать узлы интерполяции для каждого из методов

интерполяции. Занести перенумерованные узлы в таблицы.

4. Выполнить вручную интерполяцию по заданной формуле заданной точке

x = a или x = b многочленами 1–й, 2–й и 3–й степени:

• заполнить таблицу конечных разностей (для интерполяционной формулы Ньютона);

• записать интерполяционные формулы для 1, 2 и 3-ей степени многочлена;

• выполнить расчеты по интерполяционным формулам для каждой степени многочлена; все промежуточные вычисления производить с сохранением всех значащих цифр, окончательные результаты округлять до 4 знаков после десятичной точки.

• занести полученные результаты в таблицу; для многочленов 1–й и 2–й степени вычислить и занести в таблицы и оценки погрешности интерполяции: модули разности между текущим Pk(x) (Lk(x)) и следующим Pk+1(x) (Lk+1(x))

значением многочлена.

5. Решить задачу интерполяции в точке с точностью 0.0001 на компьютере.

6. Объяснить полученные результаты и сделать выводы.

Индивидуальный вариант задания

Рисунок 1 – Индивидуальный вариант №1

II. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Точка интерполяции для формулы Ньютона a = 0.12.

Выбор и нумерация узлов.

Для ручной интерполяции в точке x = a = 0.06 по 1 формуле Ньютона

выбираем 4 узла из таблицы так, чтобы точка a = 0.06 оказалась между

узлами с номерами с 0 по 1 и добавляем узлы вправо:

Занесем в более удобную таблицу:

Ручной расчет по 1–й формуле Ньютона.

Заполним таблицу конечных разностей:

Запишем 1–ю интерполяционную формулу Ньютона для многочленов 1–й, 2–й и 3–й степени и выполним расчеты по ним.

Определим значение q:

Значение многочлена 1-й степени в т. x=0.06:

Значение многочлена 2-й степени в т. x=0.06:

Значение многочлена 3-й степени в т. x=0.06:

Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности

полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:

Выражения для многочленов 1, 2 и 3 степени могут быть

получены после соответствующих преобразований формулы:

В нашем случае они будут иметь вид:

P1 = -4.209+ 0.76x

P2 = -4.1985 + 0.445x + 2.1x^2

P3 = -4.2 + 0.5x + 1.5x^2 + 2x^3

Вывод. Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. а. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:

Можно утверждать, что разность между точным значением функции и

значением функции в т. x = 0.06 после 3-х итераций не превышает 0.0001.

2. Точка интерполяции для формулы Лагранжа b = 0.43.

Выбор и перенумерация узлов.

Для ручной интерполяции в точке x = b = 0.43 по формуле Лагранжа выбираем из таблицы 4 узла так, чтобы точка b = 0.43 оказалась в центре отрезка интерполяции: узлы с номерами с 6 по 9.

Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке с заданной точностью добавлять узлы симметрично относительно точки x.

Перенумеруем узлы интерполяции симметрично относительно точки х = b для использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицу вида:

Ручной расчет по формуле Лагранжа.

Запишем интерполяционные многочлены Лагранжа 1–й, 2–й и 3–й

степени и вычислим их значения в точке x = b = 0.43:

Занесем результаты в таблицу и вычислим оценки погрешности

полученных значений для многочленов 1–й и 2–й степени:

Выражения для многочленов:

L1 = 2.86x – 4.776

L2 = 3.9x^2 - 0.455x – 4.074

L3 = 2x^3+1.5x^2+0.5x-4.2

Вывод: получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. b. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством: |f(x)−Ln(x)|≤|Ln+1(x)−Ln(x)|

Можно утверждать, что разность между точным значением функции и значением функции в т. x=0.43 после 3-х итераций не превышает 0.0001.

Компьютерный расчет по формуле Лагранжа.

Код программы и результат:

Рис. 2 – Программный код функции func()

Рис 3. – Программный код функции main()

Рис 4. – Результат работы программы

Вывод. Полученные выражения многочленов 1, 2 и 3-ей степени, а также их

значения в заданной точке b=0.43 совпадают до 4 знака после десятичной

точки с ручным расчетом.