Лаба 3

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

“ЛЭТИ”

кафедра физики

ОТЧЕТ

по лабораторно-практической работе № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ

ДИНАМИКИ ГАРМОНИЧСКИХ КОЛЕБАНИЙ

В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Выполнил Иванов А.А.,

Факультет КТИ

Группа № 2382

Преподаватель Кузьмина Н.Н.

Оценка лабораторно-практического занятия
Выполнение ИДЗ	Подготовка к лабораторной работе	Отчет по лабораторной работе	Коллоквиум		Комплексная оценка

“Выполнено” “____” ___________

Подпись преподавателя __________

РАБОТА 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Цель работы: исследование динамики затухающего колебательного движения на примере крутильного маятника, определение основных характеристик диссипативной системы.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер.

Применяемый в работе крутильный маятник (рис. 1) представляет собой диск 1, закрепленный на упругой стальной проволоке 2, свободный конец которой зажат в неподвижном кронштейне 3. На кронштейне расположено кольцо 4, масса которого известна. Кольцо 4 можно положить сверху на диск 1, изменив тем самым момент инерции маятника. На диске 1 установлен флажок, располагающийся под подставкой макета в ванночке с жидкостью. Поворачивая флажок, можно изменять момент сил сопротивления, действующих на маятник. Для отсчета значений угла поворота маятника служит градуированная шкала 5, помещенная на ободе диска 1.

Исследуемые закономерности

Крутильный маятник. При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, в результате деформации сдвига при закручивании подвеса возникает возвращающий момент упругих сил M = k, где k - коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств материала подвеса, его размеров и формы,  - угол поворота. При малых углах поворота, без учета сил трения в подвесе, крутильные колебания маятника являются гармоническими, а уравнение движения тела имеет вид

, где частота собственных колебаний гармонического осциллятора , I – момент инерции диска крутильного маятника. Сопротивление движению маятника (трение) создает тормозящий момент, пропорциональный скорости движения маятника, , где R - коэффициент сопротивления. С учетом сил сопротивления уравнение движения маятника принимает вид

и является уравнением движения осциллятора с затуханием. Колебания такого осциллятора уже не будут гармоническими. Коэффициент  = R/2I называют коэффициентом затухания. Если , движение крутильного маятника описывается уравнением затухающих колебаний

,

где - начальная амплитуда колебаний маятника,  = 1/ - время затухания, определяющее скорость убывания амплитуды A(t) маятника, численно равное времени, за которое амплитуда убывает в e раз (рис. 2), т.е.

при t =  ,  - частота колебаний осциллятора с затуханием, связанная с собственной частотой соотношением . Время затухания  также выражается через момент инерции I и коэффициент сопротивления R выражением .

Крутильный маятник как диссипативная система

Полная энергия колебаний маятника убывает со временем по закону

,

где - начальная энергия колебаний.

Убывание энергии происходит за счет совершения работы против сил трения. Энергия при этом превращается в тепло, идет процесс диссипации энергии. Скорость диссипации энергии (мощность потерь)

.

Помимо коэффициента затухания  (или времени затухания ) и мощности потерь P_d колебательная диссипативная система характеризуется также добротностью Q , позволяющей судить о способности системы сохранять энергию. Добротность определяется отношением запасенной системой энергии к потерям энергии за время T/2 = 1/. Легко видеть, что добротность

,

т.е. численно равна числу колебаний за время t = . За это время амплитуда колебаний уменьшается в e^  23 раза, а энергия колебаний в e^2  535 раз, иными словами, за это время колебания практически затухают.

В технике для характеристики колебательных систем с затуханием вводят декремент затухания (), или его логарифм – логарифмический декремент затухания ( = ln), определяя эти параметры через отношение амплитуд колебаний, соответствующих соседним периодам

или  = T.

ЗАДАНИЕ ПО ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ:

1.Определим средние значения интервалов времени t_1д, t_1к, t_2д, t_2к. Определим погрешности этих величин с доверительной вероятностью P = 95%.

N	1	2	3	4	5
t1д, c	9,74	9,84	9,58	9,75	9,58
t1к, c	13,19	13,28	13,20	13,30	13,15
t2д, c	22,93	22,68	22,10	22,32	22,15
t2к, c	12,21	12,24	12,38	12,18	12,10

Упорядочим таблицу в порядке возрастания:

N	1	2	3	4	5
t1д, c	9,58	9,58	9,74	9,75	9,84
t1к, c	13,15	13,19	13,20	13,28	13,30
t2д, c	22,10	22,15	22,32	22,68	22,93
t2к, c	12,10	12,18	12,21	12,24	12,38

R_t1д= t_{1д max} – T_{1д min} = 9,84-9,58=0,26 (с)

R_t1к= t_{1к max} – t_{1к min} = 13,30-13,15=0,15 (с)

R_t2д= t_{2д max} – t_{2д min} = 22,93-22,10=0,83 (с)

R_t2к= t_{2к max} – t_{2к min} = 12,38-12,10=0,28 (с)

Проверка на промахи:

= 0,34 < U_p,N =0,64 промаха нет

= 0 < U_p,N =0,64 промаха нет

= 0,13 < U_p,N =0,64 промаха нет

= 0,26 < U_p,N =0,64 промаха нет

= 0,3 < U_p,N =0,64 промаха нет

= 0,06 < U_p,N =0,64 промаха нет

= 0,5 < U_p,N =0,64 промаха нет

= 0,28 < U_p,N =0,64 промаха нет

По результатам проведенных расчетов заключаем, что в нашей выборке промахи отсутствуют. Продолжаем далее статистическую обработку.

Рассчитываем среднее значение по формуле

=9,69 (с)

=13,22 (с)

=22,43 (с)

=12,22 (с)

Рассчитываем СКО среднего по формуле

= 0,051(с)

= 0,028 (с)

= 0,16 (с)

= 0,046 (с)

Расчет случайной погрешности по формуле Δt = t_p,N *

при N=5, t_p,N =2.8, p=95%. Δt_1д = 0,142 (с)

Δt_1к = 0,078 (с)

Δt_2д= 0,448 (с)

Δt_2к = 0,128 (с)

Рассчитаем приборную погрешность,

Δ = 0,01 − цена деления секундомера ;

Θ_T = = 0,005

Найдём полную погрешность результата измерений.

Δ =

Δ_1д = 0,142 (с)

Δ_1к = 0,078 (с)

Δ_2д= 0,448 (с)

Δ_2к = 0,128 (с)

Запишем результаты в стандартной форме: t =

t_1д = 9,69 ± 0,14 с

t_1к = 13,22 ± 0,07 с

t_2д = 22,4 ± 0,4 с

t_2к = 12,22 ± 0,12 с

с p=95%

2. Вычислим периоды колебаний маятника с кольцом (T_к­) и без кольца (T_д) ,пользуясь методом переноса погрешностей, рассчитаем средние значения и полные погрешности.

Рассчитываем значение функции = f().

==(сек)

Вычисляем частные производные от функции

=

0,1

Вычисляем полную погрешность функции

0,0078 (сек)

Запишем результат измерения и округлим его.

(сек).

==(сек)

Вычисляем частные производные от функции

=

0,1

Вычисляем полную погрешность функции

0,0142 (сек)

Запишем результат измерения и округлим его.

(сек)

3. Определим момент инерции маятника по формулам

,

где – момент инерции кольца, T_дк=Т_к. Вычислим погрешность , пользуясь правилами расчета погрешностей косвенных измерений. А так же рассчитаем значение момента инерции диска маятника, исходя из его размеров и плотности материала. Сравним полученный результат с экспериментальным значением.

Рассчитаем значение момента инерции кольца по формуле: I_к=1/8*m*(), где - внешний диаметр кольца, m- масса кольца, - внутренний диаметр кольца.

I_к=1/8* 1,246*(0,247² +0,059²) = 0,01 (кг*м²)

Пользуясь методом переноса погрешностей, рассчитаем I_д:

Рассчитываем значение функции = f(,).

== = 0,01 (кг*м²)

Вычисляем частные производные от функции

=

-0,014

= 0,05

Вычисляем полную погрешность функции

0,7*10^-3 (кг*м²)

Записываем результат измерения и округляем его.

(кг*м²)

Найдем значение момента инерции для диска маятника, исходя из его размеров и плотности материала.

Формула для расчета:

I_д =, где - плотность материала, из которого изготовлен диск; h₀ – толщина диска маятника; D₀ – диаметр диска маятника.

I_д== 0,1641 (кг*м²).

Полученный результат больше экспериментального значения, скорее всего это связано с тем, что числа малы, а мы не учитываем все возможные погрешности.

4. Определим время затухания маятника. Пользуясь методом переноса погрешностей, для диска без кольца и с кольцом рассчитаем средние значения и полные погрешности времени затухания  маятника и погрешность  при P = 95%. Время затухания вычисляем по формуле

где t – время затухания, за которое амплитуда колебания уменьшается примерно в два раза.

Рассчитываем значение функции = f().

==(сек)

Вычисляем частные производные от функции

=

1,43

Вычисляем полную погрешность функции

0,17(сек)

Запишем результат измерения и округлим его.

(сек).

==(сек)

Вычисляем частные производные от функции

=

1,43

Вычисляем полную погрешность функции

0,572 (сек)

Запишем результат измерения и округлим его.

(сек)

5. Определим собственную частоту колебаний гармонического осциллятора. Пользуясь выражениями и , определим собственные частоты и _0к колебаний для диска без кольца и с кольцом. Вычислим их погрешности.

Определим собственную частоту колебаний гармонического осциллятора для диска с кольцом и без кольца:

Рассчитываем значение функции = f().

==(1/сек)

Вычисляем частные производные от функции

=

-3,6

Вычисляем полную погрешность функции

0,0252 (1/сек)

Запишем результат измерения и округлим его.

(1/сек).

==(1/сек)

Вычисляем частные производные от функции

=

-6,7

Вычисляем полную погрешность функции

0,0938 (1/сек)

Запишем результат измерения и округлим его.

(1/сек)

Определим собственные частоты и _0к колебаний для диска без кольца и с кольцом:

Рассчитываем значение функции = f().

==(1/сек)

Вычисляем частные производные от функции

=

0,997

= -0,000039

Вычисляем полную погрешность функции

0,03 (1/сек)

Запишем результат измерения и округлим его.

(1/сек).

==(1/сек)

Вычисляем частные производные от функции

=

0,998

= - 0,00000471

Вычисляем полную погрешность функции

(1/сек)

Запишем результат измерения и округлим его.

(1/сек)

6. Определим коэффициент кручения и модуль сдвига материала подвеса. Найдём коэффициент кручения и погрешность k.

= *

Рассчитываем значение функции = f()

= =

Вычисляем частные производные от функции

=

0,1298

= 42,1201

Вычисляем полную погрешность функции

0,032

Запишем результат измерения и округлим его.

.

Рассчитываем значение функции = f()

= =

Вычисляем частные производные от функции

=

0,952

= 22,6576

Вычисляем полную погрешность функции

0,033

Запишем результат измерения и округлим его.

.

Рассчитаем среднее значение модуля сдвига G по формуле:

,где l – длина подвеса, d – его диаметр, k – коэффициент кручения.

7. Определим полную энергию, мощность потерь и добротность маятника. Пользуясь соответствующими соотношениями, определим средние значения указанных величин.

_{Определяем полную энергию}

(Дж)

(Дж)

(Дж)

(Дж)

Определяем мощность потерь

(Дж/с)

(Дж/с)

Определяем добротность маятника

42

104

8. В соответствии с уравнением затухающих колебаний построим графики зависимости угла сдвига и амплитуды колебаний от времени для одного из наблюдений.

_{Построим графики для опыта с кольцом}

Вывод

Выполнив данную лабораторную работу, мы провели исследование динамики колебательного движения крутильного маятника. Во время этого исследования экспериментальным путем был получен ряд данных, на основании которых мы рассчитали период колебаний маятника без кольца и с кольцом, время затухания маятника, собственную частоту его колебаний, коэффициент кручения, модуль сдвига материала подвеса, а также определили полную энергию, мощность потерь и добротность маятника. В процессе выполнения данной работы выяснилось, что колебательная система характеризуется достаточно малой потерей энергии и большой добротностью, что свидетельствует о хорошей способности системы сохранять энергию.