Вопросы к экзамену по АиГ 1 сем

Вопросы к экзамену по курсу «АиГ»

1. Матрицы и действия над ними.

2. Определители 2-го, 3-го и n-го порядка

3. Свойства определителей

4. Разложение определителя по строке и столбцу

5. Определитель произведения матриц

6. Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений

7. Обратная матрица и её вычисление

8. Свойства обратной матрицы и новый вывод формул Крамера

9. Определение n-мерных арифметических векторов и действий над ними

10. Линейная зависимость и независимость арифметических векторов

11. Максимальная линейно независимая подсистема векторов

12. Определение ранга матрицы. Теорема о ранге матрицы

13. Теорема о равенстве числа векторов в двух максимальных линейно независимых подсистемах векторов

14. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров

15. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований

16. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем на основе теоремы Кронекера-Капелли

17. Однородная система линейных уравнений. Свойства её решений

18. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и теорема о числе решений в её составе

19. Связь решений линейной неоднородной и соответствующей ей однородной систем

20. Метод Гаусса решения линейных уравнений

21. Основное соотношение между величинами направленных отрезков на числовой оси. Координаты на прямой, плоскости и в пространстве. Формула для вычисления величины направленного отрезка на прямой через координаты его начала и конца

22. Полярные координаты на плоскости и их связь с декартовыми прямоугольными координатами

23. Понятие свободного вектора. Теорема о проекции вектора на ось.

24. Координаты вектора и их вычисление по координатам его начала и конца

25. Длина вектора и формула для вычисления расстояния между двумя точками пространства

26. Линейные операции над векторами

27. Основные теоремы о проекциях векторов

28. Разложение векторов на компоненты

29. Скалярное произведение векторов и его свойства

30. Векторное произведение векторов и его свойства

31. Смешанное произведение векторов и его свойства

32. Общее уравнение прямой на плоскости

33. Уравнение прямой в отрезках

34. Нормальное уравнение прямой. Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости.

35. Общее уравнение плоскости

36. Уравнение плоскости в отрезках

37. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

38. Канонические уравнения прямой

39. Эллипс: уравнение, общий вид и свойства кривой

40. Гипербола: уравнение, общий вид и свойства кривой

41. Парабола: уравнение, общий вид и свойства кривой

42. Приведение уравнений линий второго порядка к каноническому виду

43. Эллипсоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности

44. Однополостный гиперболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности

45. Двуполостный гиперболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности

46. Конус второго порядка: уравнение, общий вид и свойства поверхности

47. Эллиптический параболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности

48. Гиперболический параболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности

49. Цилиндрические поверхности второго порядка

50. Определение и примеры линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность линейного пространства.

51. Базис линейного пространства и теорема о разложении вектора по векторам базиса

52. Преобразование координат при переходе к новому базису

53. Евклидово пространство. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского

54. Ортогональный и ортонормированный базис евклидова пространства. Процесс ортогонализации

55. Ортогональные (унитарные) матрицы

56. Определение и примеры линейного оператора

57. Матрица линейного оператора, её преобразование при переходе к новому базису

58. Действия с линейными операторами

59. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора

60. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов

61. Понятие сопряжённого и самосопряжённого оператора. Собственные числа самосопряжённого оператора

62. Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортогональном и нормированном базисе.