- •Часть 1
- •Введение
- •1. Особенности машинной арифметики, точность вычислений на эвм (Лабораторная работа №1)
- •2. Изучение понятия Обусловленности вычислительной задачи (Лабораторная работа №2)
- •3. Решение нелинейных уравнений
- •3.1. Общие сведения
- •3.2. Метод бисекции (Лабораторная работа №3)
- •3.3. Метод хорд (Лабораторная работа №4)
- •3.4. Метод Ньютона (Лабораторная работа № 5)
- •3.5. Метод простых итераций (Лабораторная работа №6)
- •3.6. Курсовая работа по дисциплине и варианты заданий
- •4. Численное интегрирование
- •4.1. Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. (Лабораторная работа №6)
- •4.2. Формула Гаусса. (Лабораторная работа №7)
- •Библиографический список
- •1. Особенности машинной арифметики, точность вычислений на эвм 5
3.3. Метод хорд (Лабораторная работа №4)
Пусть найден отрезок [a, b], на котором функция меняет знак. Для определенности положим (a)>0, (b)<0. В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значенияc0, c1, . . . точек пересечения хорды с осью абсцисс, как это показано на рис.1.
Сначала находится уравнение хорды АВ:
Для точки пересечения ее с осью абсцисс (x=c0, y=0) получается уравнение
Далее сравниваются знаки величин (a) и (с0) и для рассматриваемого случая оказывается, что корень находится в интервале (a, c0), так как (a)(с0)<0. Отрезок [c0,b] отбрасывается. Следующая итерации состоит в определении нового приближения c1 как точки пересечения хорды АВ1 с осью абсцисс и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение (cn) не станет по модулю меньше заданного числа (см. подраздел 3.1).
Алгоритмы методов бисекции и хорд похожи, однако метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса, причем успех его применения, как и метода бисекции, гарантирован.
В лабораторной работе №4 предлагается, используя программы - функции HORDA и Round из файла methods.cpp (файл заголовков metods.h, директория LIBR1), найти корень уравнения с заданной точностьюEps методом хорд, исследовать скорость сходимости и обусловленности метода.
Для данной работы, как и для лабораторной работы №3 задаются индивидуальные варианты нелинейных уравнений (см. подраздел 3.6).
Порядок выполнения лабораторной работы №4:
Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки[Left, Right], на которых функция удовлетворяет условиям применимости метода).
Составить подпрограмму - функцию вычисления функции , предусмотрев округление значений функции с заданной точностьюDelta с использованием программы Round.
Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограммеf(x), HORDA, Round и индикацию результатов.
Провести вычисления по программе. Теоретически и экспериментально исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.
В подразделе 3.7 приводится текст программы - функции HORDA, предназначенной для решения уравнения методом хорд.
3.4. Метод Ньютона (Лабораторная работа № 5)
В случае, когда известно хорошее начальное приближение решения уравнения , эффективным методом повышения точности является метод Ньютона. Он состоит в построении итерационной последовательностисходящейся к корню уравнения. Достаточные условия сходимости метода формулируются теоремой, приведенной в[1,7].
Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 2). Если через точку с координатами провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью Ох будет очередным приближением xn+1 корня уравнения .
Для оценки погрешности n-го приближения корня предлагается пользоваться неравенством
где М2-наибольшее значение модуля второй производной на отрезке[a,b]; m1-наименьшее значение модуля первой производной на отрезке[a,b]. Таким образом, если тоЭто означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро (имеет место квадратическая сходимость). Из указанного следует, что при необходимости нахождения корня с точностью итерационный процесс можно прекращать, когда
(3.1)
Рассмотрим один шаг итераций. Если на (n-1)-м шаге очередное приближение xn-1 не удовлетворяет условию окончания процесса, то вычисляются величины и следующие приближение корняПри выполнении условия(3.1) величина xn принимается за приближенное значение корня с, вычисленное с точностью .
В лабораторной работе № 5 предлагается, используя программы-функции NEWTON и ROUND из файла methods.cpp (файл заголовков methods.h, директория LIBR1), найти корень уравнения с заданной точностью Eps методом Ньютона, исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.
Для данной работы вид функции задается индивидуально каждому студенту преподавателем из числа вариантов, приведенных в подразделе 3.6.
Порядок выполнения лабораторной работы №5.
Графически или аналитически отделить корень уравнения (т.е. найти отрезки[Left, Right], на котором функция удовлетворяет условиям сходимости метода Ньютона).
Составить подпрограммы - функции вычисления ,, предусмотрев округление их значений с заданной точностьюDelta.
Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к подпрограммам ,, (x), Round, NEWTON и индикацию результатов.
Выбрать начальное приближение корня x0 из [Left, Right] так, чтобы >0.
Провести вычисления по программе. Исследовать скорость сходимости метода и чувствительность метода к ошибкам в исходных данных.
Для приближенного вычисления корней уравнения методом Ньютона предназначена программа - функцияNEWTON, текст которой представлен в подразделе 3.7.