mat_an_lektsia_funk_mn_per_1-8
.pdf§8. Дифференциал 1-го порядка функции нескольких переменных
Дифференциалом df 1-го порядка в точке X0 дифференцируемой в этой точке функции f(x1; x2; : : : ; xm) называется главная часть полного приращения этой функции в точке X0, линейная относительно x1; x2; :::; xm
df = A1 x1 + A2 x2 + ::: + Am xm:
Дифференциалы независимых переменных по определению принимают равными их приращениям
|
|
|
dx1 = x1; dx2 = x2; : : : ; dxm = xm: |
|
|||||||
В теореме |
о необходимом условии |
дифференцируемости |
функции |
было показано, что |
|||||||
Ak = |
@f |
X0 |
: С учетом этого, дифференциал запишется в виде |
|
|||||||
@xk |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f |
|
@f |
|
@f |
|
(8.1) |
|
|
|
|
df = |
|
dx1 + |
|
dx2 + ::: + |
|
dxm; |
||
|
|
|
@x1 |
@x2 |
@xm |
||||||
где все частные производные вычисляются в точке X0:
Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) дифференцируема в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m); а каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n); причем x0k = 'k(T0): Для сложной функции
F (t1; t2; : : : ; tn) = f('1(t1; t2; : : : ; tn); '2(t1; t2; : : : ; tn); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tn))
запишем дифференциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dF = |
|
|
|
|
dt1 + |
|
|
|
|
dt2 + ::: + |
|
|
|
|
|
|
|
dtn: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@t1 |
@t2 |
|
@tn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставим сюда выражения для частных производных сложной функции |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
@F |
|
|
|
@f |
|
@'1 |
|
|
|
|
|
@f |
|
@'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|
@'m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ::: + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
k = 1; n: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
@tk |
@x1 |
|
@tk |
@x2 |
|
@tk |
|
@xm |
|
|
@tk |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим |
|
|
|
|
= |
@f |
|
@'1 |
|
|
|
|
|
@f |
|
|
@'2 |
|
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|
|
|
@'m |
dt1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dF |
|
+ |
|
|
|
|
+ ::: + |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
@x1 |
|
|
@t1 |
|
@x2 |
|
@t1 |
|
@xm |
|
@t1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
@f |
|
|
@'1 |
|
+ |
|
|
@f |
|
|
@'2 |
|
+ ::: + |
|
|
@f |
|
|
|
@'m |
dt2+ : : : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@x1 |
|
|
|
@t2 |
|
@x2 |
|
@t2 |
|
|
@xm |
|
|
|
@t2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
@f |
|
@'1 |
|
+ |
|
|
@f |
|
|
@'2 |
|
+ ::: + |
|
|
@f |
|
|
|
@'m |
dtn: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@x1 |
|
|
@tn |
@x2 |
|
@tn |
|
|
@xm |
|
|
|
@tn |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
@f |
@'1 |
|
|
@'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@'1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f |
@'2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
@'2 |
|
|
|
|
@'2 |
|
||||||||||||||||||||||
dF = |
|
|
|
dt1 + |
|
|
|
dt2 + |
|
|
|
dtn |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
dt1 + |
|
|
dt2 + |
|
dtn + : : : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
@x1 |
@t1 |
@t2 |
@tn |
@x2 |
@t1 |
@t2 |
@tn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|
|
|
@'m |
|
|
|
@'m |
|
|
|
@'m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
dt1 + |
|
|
dt2 + |
|
|
dtn : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@xm |
|
|
|
@t1 |
|
@t2 |
|
@tn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Заметим теперь, что выражения в каждой скобки представляет из себя дифференциал соот-
ветствующей функции 'k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@'k |
|
@'k |
|
@'k |
|
|
|
|
d'k = |
dt1 + |
dt2 + |
dtn; k = 1; m: |
||||||
@t1 |
@t2 |
@tn |
|||||||
21
В итоге дифференциал запишется в виде |
|
|
|
|||
dF = |
@f |
dx1 + |
@f |
dx2 + ::: + |
@f |
dxm; |
|
|
|
||||
@x1 |
@x2 |
@xm |
||||
что совпадает с формулой (8.1). Тем самым мы доказали свойство инвариантности формы дифференциала 1-го порядка: форма (8.1) дифференциала 1-го порядка не зависит от того, являются ли переменные x1; x2; : : : ; xm независимыми или же сами представляют из себя дифференцируемые функции новых переменных t1; t2; : : : ; tn.
|
Свойства дифференциала |
|
|
|
|
||||
1: |
d(Cu) = Cdu; C = Const; |
2: |
d(u v) = du dv; |
|
|||||
3: |
d(uv) = udv + vdu; |
4: |
d |
u |
|
|
= |
vdu udv |
: |
|
v2 |
||||||||
|
|
|
v |
|
|
||||
Доказательство. Докажем одно из этих свойств, например, третье. Остальные доказываются аналогично. Введем вспомогательную функцию F (u; v) = uv: Тогда,
d(uv) = dF = Fu0 du + Fv0dv = vdu + udv:
В силу свойства инвариантности формы дифференциала 1-го порядка, полученная формула будет справедлива и в случае, когда переменные u и v представляют из себя дифференцируемые функции каких-либо переменных.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Пусть функция f(X) дифференцируема в точке X0: Тогда, по определению (4.1)
f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + o( );
@f
где Ak = , = (X; X0) расстояние между точками X и X0: Или, расписав полное
@xk X0
приращение и воспользовавшись определением дифференциала 1-го порядка, получим f(X) f(X0) = df(X0) + o( ):
Если точки X и X0 |
достаточно близки, т. е. при достаточно малом справедливо прибли- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
женное равенство f df; следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(X) f(X0) + df(X0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 8.1. Вычислить приближенно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
(2; 02)2 + 5; 07: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Искомое число будем |
рассматривать как значение функции f(x; y) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
при |
x |
; |
|
|
y |
|
|
; |
|
|
|
|
x |
|
= 2 |
; y |
|
= 5 |
: |
Тогда |
dx |
|
|
|
x ; |
dy |
|
y = 0; 07; |
||||||||||
|
= 2 02 и |
|
= 5 07. Обозначим |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
= = 0 02; |
|
= p |
||||||||||||||||||||||||
f(x0; y0) = p |
|
= 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
22 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
) df(x0; y0) = 0; 025: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
df = |
|
|
dx + |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + y |
|
x2 + y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
fp( |
) |
|
|
( |
x |
; y |
|
) + |
|
( |
x |
; y |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||
Пользуясь приближенной формулой |
|
|
x; y |
|
|
|
f |
|
|
df |
|
|
, получим, что |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
f(2; 02; 5; 07) 3 + 0; 025 = 3; 025:
22