mat_an_lektsia_funk_mn_per_1-8

Теорема 4.3 Если функция f(X) дифференцируема в точке X0, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Из формулы (4.1) для полного приращения дифференцируемой функции имеем

f(X) f(X0) = f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm:

Если X ! X0; то x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0, а значит, все бесконечно малые функции k ! 0; k = 1; m: Следовательно, f ! 0 и тогда f(X) ! f(X0); что и означает по определению непрерывность функции в точке X0: Теорема доказана.

Производная сложной функции

Для функции одной переменной была ранее доказана формула для вычисления произ-

водной сложной функции

(f(u(x)))0x = fu0 (u(x)) u0x(x):

Теперь докажем формулу для вычисления производной сложной функции нескольких переменных.

Теорема 4.4 Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) дифференцируема в точке X0(x01; x02; : : : ; x0m); а каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n); причем x0k = 'k(T0): Тогда сложная функция

F (T ) = f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) = f('1(t1; t2; : : : ; tn); '2(t1; t2; : : : ; tn); : : : ; 'm(t1; t2; : : : ; tn))

является дифференцируемой в точке T0; причем

В этой формуле все производные по переменной tk вычисляются в точке T0, а производные по переменным x1; x2; : : : ; xm в точке X0:

Доказательство. Придадим переменным t1; t2; : : : ; tn в точке T0(t01; t02; : : : ; t0n) произвольные приращения t1; t2; : : : ; tn: Тогда переменные x1; x2; : : : ; xm получат приращения

x1; x2; : : : ; xm; которым в свою очередь соответствует приращение f: Так как функция f по условию дифференцируема в точке X0; то, согласно определению (4.2), ее полное приращение в этой точке представимо в виде

f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm;

где Ak = @f ; k = 1; m (что было доказано в теореме о необходимом условии диффе-

@xk X0

ренцируемости функции в точке), 1; 2; : : : ; m бесконечно малые при x1 ! 0; x2 !

0; : : : ; xm ! 0 функции, равные нулю при x1 = x2 = : : : = xm = 0:

11

Каждая из функций xk = 'k(t1; t2; : : : ; tn) дифференцируема по условию в точке T0. Тогда, применяя то же определение (4.2), полное приращение этих функций в этой точке представимо в виде

равные нулю при t1 = t2 = : : : = tn = 0:

Подставим эти выражения для xk в формулу полного приращения функции f и преобразуем полученное выражение

f = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm =

=(A1 + 1) x1 + (A2 + 2) x2 + : : : + (A1 + m) xm =

=(A1 + 1) (B11 t1 + B21 t2 + : : : + Bn1 tn + 11 t1 + 21 t2 + : : : + n1 tn)+ +(A2 + 2) (B12 t1 + B22 t2 + : : : + Bn2 tn + 12 t1 + 22 t2 + : : : + n2 tn)+

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

+(Am + m) (B1m t1 + B2m t2 + : : : + Bnm tn + 1m t1 + 2m t2 + : : : + nm tn) = = C1 t1 + C2 t2 + : : : + Cn tn + 1 t1 + 2 t2 + : : : + n tn:

Здесь мы раскрыли скобки, перегруппировали слагаемые и ввели следующие обозначения

C1 = A1B11 + A2B12 + : : : + AmB1m;

C2 = A1B21 + A2B22 + : : : + AmB2m;

: : : : : : : : : : : : : :

Cn = A1Bn1 + A2Bn2 + : : : + AmBnm;

1 = 1B11 + 2B12 + : : : + mB1m + (A1 + 1) 11 + (A1 + 2) 12 + : : : + (Am + m) 1m;2 = 1B21 + 2B22 + : : : + mB2m + (A1 + 1) 21 + (A1 + 2) 22 + : : : + (Am + m) 2m;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

n = 1Bn1 + 2Bn2 + : : : + mBnm + (A1 + 1) n1 + (A1 + 2) n2 + : : : + (Am + m) nm;

Очевидно, что каждая из величин C1; C2; : : : ; Cn является константой, независящей от

t1; t2; : : : ; tn: Покажем, что величины 1; 2; : : : ; n являются бесконечно малыми при

t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функциями. Для этого достаточно показать, что каждая из функций 1; 2; : : : ; m будет стремиться к нулю при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0.

12

По условию, каждая из функций xk = 'k(T ) дифференцируема в точке T0; а значит, по теореме 4.3 является в этой точке непрерывной, т. е. по определению непрерывной в точке функции

xk = 'k(T ) ! 'k(T0) = x0k при T ! T0; k = 1; m:

Значит, если t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0,то T ! T0, следовательно, xk ! x0k; т. е.

xk ! 0; k = 1; m: Тогда каждая функция k ! 0; так как является бесконечно малой при x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0. В итоге имеем, что 1; 2; : : : ; m являются бесконечно малыми функциями при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0. А так как каждая функция ki

тоже является бесконечно малой при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0, то очевидно, что и

1; 2; : : : ; n являются бесконечно малыми при t1 ! 0; t2 ! 0; : : : ; tn ! 0 функциями. Применяя равенство

f = f(X) f(X0) = f(x1; x2; : : : ; xm) f(x01; x02; : : : ; x0m) =

=f('1(T ); '2(T ); : : : ; 'm(T )) f('1(T0); '2(T0); : : : ; 'm(T0)) = F (T ) F (T0) = F

ивыражение, полученное ранее для f, получим

F = f = C1 t1 + C2 t2 + : : : + Cn tn + 1 t1 + 2 t2 + : : : + n tn:

Тогда, по определению (4.2), функция F (T ) дифференцируема в точке T0: Кроме того,

производные по переменным x1; x2; : : : ; xm в точке X0: Теорема доказана.

В случае, когда каждая из функций 'k зависит только от одной переменной t; то и слож-

ная функция будет F будет зависеть от одной переменной t: В этом случае, вместо частной

производной пишем обычную

13

§5. Производная по направлению. Градиент функции

Пусть функция f(x; y; z) определена в некоторой окрестности точки M0(x0; y0; z0): Проведем

т. е. вектор единичной длины, сонаправленный с осью. Запишем параметрическое уравнение

прямой , проходящей через точку параллельно вектору !

L M0 eL

8

> x = x0 + t cos ;

>

<

y = y0 + t cos ;

>

>

: z = z0 + t cos ;

Очевидно, что в точку M0 попадаем при t = 0:

Рассматривая значения функции f только в точках прямой L; получим сложную функ-

цию

F (t) = f(x(t); y(t); z(t)):

Если функция f(x; y; z) дифференцируема в точке M0; то по формуле для производной слож-

ной функции получим

dFdt = @f@x dxdt + @f@y dydt + @f@z dzdt = @f@x cos + @f@y cos + @f@z cos ;

здесь частные производные функции f вычислены в точке M0: Производная, вычисленная

no

Вектор @f@x ; @f@y ; @f@z называется градиентом функции f(x; y; z) и обозначается rf или gradf.

Используя введенные обозначения и формулу для вычисления скалярного произведения

векторов в координатах, можем записать производную по направлению следующим образом

Отсюда видим, что максимальное значение, равное jrfj; производная по направлению при-

функции f:

14

В случае, когда функция зависит от двух переменных x и y градиентом функции является

Пример 5.1. Найти градиент функции f(x; y; z) = x2y cos(2z + 10) в точке M0( 1; 2; 5):

Решение. Вычислим частные производные функции f в точке M0

Тогда, зная координаты градиента функции f в точке M0 (из предыдущей задачи), вычислим

производную по направлению вектора ! a

Так как производная функции в точке по направлению вектора ! положительна, то f M0 a

функция возрастает в этой точке в этом направлении.

15

§6. Производные неявно заданной функции

Часто приходится сталкиваться с задачами, когда переменная u; являющаяся по смыслу задачи функцией переменных x1; x2; : : : ; xm, задается посредством функционального уравнения

В этом случае говорят, что функция u задана неявно.

Теорема 6.1 Пусть непрерывная функция u = f(x1; x2; : : : ; xm) неявно задается уравнением (6:1) в некоторой области D Em+1, точка M0(x01; x02; : : : ; x0m; u0) 2 D: В области D

Доказательство. Возьмем произвольную точку M 2 D: Для любой точки M 2 D выполняется равенство F (M) = 0; что следует из уравнения (6.1). Тогда

F = F (M) F (M0) = 0 0 = 0:

Так как для функции F все частные производные непрерывны в области D; то они непрерывны и в точке M0 2 D: Тогда функция F дифференцируема в точке M0 (по теореме о необходимом условии дифференцируемости функции в точке). Тогда, по определению (4.2) полное приращение функции F в точке M0 можно представить в виде

F = A1 x1 + A2 x2 + : : : + Am xm + B u + 1 x1 + 2 x2 + : : : + m xm + u;

0; u = 0: По условию, функция u = f(x1; x2; : : : ; xm) непрерывна, следовательно, u ! 0

при xk ! 0; k = 1; m: Значит, функции 1; 2; : : : ; m; бесконечно малые функции при

xk ! 0; k = 1; m.

Так как F = 0; получим отсюда

m

X

(Ak + k) xk + (B + ) u = 0:

k=1

Так как число B 6= 0; а бесконечно малая функция при xk ! 0; k = 1; m, то можно подобрать xk; k = 1; m так, чтобы B + 6= 0: Поделим это равенство на B + и выразим

u

16

Так как функции 1; 2; : : : ; m; бесконечно малые при xk ! 0; k = 1; m, то величины

являются бесконечно малыми функциями при x1 ! 0; x2 ! 0; : : : ; xm ! 0.

Теперь преобразуем u следующим образом

Так как полное приращение функции u = f(x1; x2; : : : ; xm) представимо в виде (4.2), то функция дифференцируема в точке X0: В теореме о необходимом условии дифференцируемости функции в точке было показано, что

Теорема доказана.

Пример 6.1. Найти производные zx0 и zy0 от функции z(x; y), заданной неявно уравнением

3x4 4y3z + 4z2xy 4z3x + 1 = 0

при x = y = z = 1:

Решение. Обозначим F (x; y; z) = 3x4 4y3z + 4z2xy 4z3x + 1 и вычислим частные производные

17

§7. Частные производные старших порядков функции нескольких

переменных

Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) определена в области D 2 E2 и в каждой точке этой обла-

сти существует частная производная 1-го порядка @f : Эта производная представляет собой

@xi

функцию переменных x1; x2; : : : ; xm: Если существует частная производная по переменной xk

от частной производной @f ; то она называется частной производной 2-го порядка и обозна-

@xi

чается

При этом, если оба раза дифференцирование велось по одной и той же переменной (k = i), то производная называется повторной, если по разным (k 6= i) смешанной.

Аналогично вводится понятие производной любого порядка. При этом, если каждый раз дифференцирование будет вестись по одной и той же переменной, то получим повторную

производную, иначе смешанную.

вали сначала по переменной z, потом полученное выражение дважды продифференцировали по переменной y; а затем по переменной x:

Пример 7.1. Найти все частные производные 2-го порядка функции

f(x; y; z) = sin(2x + 3y) + 4xz3:

Решение. Вычислим частную производную по x, рассматривая y и z как постоянные,

@f@x = cos(2x + 3y) 2 + 4z3;

18

Заметим, что смешанные производные 2-го порядка, вычисленные по одним и тем же переменным, оказались равны. Однако эти равенства выполняются не для любой функции. Но прежде чем сформулировать соответствующее утверждение, введем понятие n раз дифференцируемой функции. Пусть функция f(x1; x2; : : : ; xm) определена в некоторой окрестности точки X0 и для этой функции в данной окрестности существуют все частные производные

(n 1)-го порядка. Если все частные производные (n 1)-го порядка являются функциями дифференцируемыми в точке X0; то функция f называется n раз дифференцируемой в точке X0: Из теоремы о достаточном условии дифференцируемости функции в точке следует, что для того, чтобы функция f была n раз дифференцируемой в точке X0 достаточно, чтобы все частные производные (n 1)-го порядка были непрерывными в точке X0:

Сформулируем теперь теорему о равенстве смешанных производных, рассмотрев сначала

функцию двух переменных.

Теорема 7.1 Пусть функция f(x; y) определена в некоторой окрестности точки M0 и в этой окрестности существуют производные fx0 ; fy0 ; fxy00 ; fyx00 , причем указанные смешанные производные непрерывны в точке M0: Тогда справедливо равенство

точки M0(x0; y0). Возьмем произвольную точку (x; y) 2 O(M0): Обозначим h = x x0; k = y y0: Пусть для определенности h > 0; k > 0: Введем вспомогательную функцию

'(x) = f(x; y0 + k) f(x; y0): k

Так как по условию в окрестности O(M0) существует частная производная fx0 , то для функции ' на отрезке [x0; x0 + h] существует производная

'0(x) = fx0 (x; y0 + k) fx0 (x; y0): k

И из существования производной функции ' на отрезке [x0; x0 + h] следует непрерывность этой функции на указанном отрезке. Тогда по теореме Лагранжа о конечных приращениях получим

Числитель правой части можно рассматривать как приращение функции fx0 ( ; y) на отрезке

[y0; y0 + k]. И так как по условию для функции f существует смешанная производная fxy00 ; то применяя еще раз теорему Лагранжа о конечных приращениях, получим

19

где 2 [y0; y0 + k]:

Введем теперь вспомогательную функцию

(y) = f(x0 + h; y) f(x0; y): h

Проводя аналогичные рассуждения, получим, что введенную ранее величину W можно представить в виде

W = f00 (e; );

yx e

где e2 [x0; x0 + h]; e 2 [y0; y0 + k]: В итоге, мы пришли к равенству

f00 ( ; ) = f00 (e; ):

xy yx e

Перейдем в этом равенстве к пределу при h ! 0 и k ! 0. Тогда ! x0; e! x0; ! y0; e ! y0

и в силу непрерывности смешанных производных в точке (x0; y0) (по условию) придем к равенству

fxy00 (x0; y0) = fyx00 (x0; y0):

Теорема доказана.

Обобщением этой теоремы является следующая:

Теорема 7.2 Если функция f(x1; x2; : : : ; xm) n раз дифференцируема в точке M0; то в этой точке значение любой смешанной частной производной n-го порядка не зависит от последовательности, в которой производились дифференцирования.

Примечание. Так, например, для некоторой четырежды дифференцируемой в точке M0

функции f(x; y; z) будут справедливы равенства

где все частные производные берутся в точке M0:

20