mat_an_lektsia_nesob_int_2roda

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§ 2. Несобственные интегралы II рода

b

R

Для определенного интеграла f(x)dx длина отрезка [a; b] должна быть конечной, а необ-

a

ходимым условием интегрируемости функции является ограниченность функции на этом отрезке. Если убрать условие конечности отрезка, то получим понятие несобственного интеграла I рода, как было показано на прошлой лекции. Теперь предположим, что не выполняется необходимое условие интегрируемости функции.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a; b). Будем называть точку b особой

для функции f(x), если

Независимо от того, существует ли этот предел, будем называть его несобственным ин-

Рис. 2.2

1

Примечание 1. Аналогично вводится понятие несобственного интеграла II рода для функ-

ций, имеющих на отрезе [a; b] любое конечное число особых точек.

Примечание 2. ¾Внешний вид¿ несобственного интеграла II рода такой же, как и у определенного интеграла. Поэтому, чтобы отличить один от другого, надо выяснить, есть ли у подынтегральной функции особые точки на отрезке [a; b]: Рассмотрим, например, два инте-

грала

0"

т.е. I1 расходится.

На отрезке же [1; 2] функция f(x) непрерывна, следовательно, I2 это обычный определен-

ный интеграл, который вычисляется по формуле Ньютона–Лейбница

2

Проверять функцию на интегрируемость на отрезке, по которому считается интеграл, надо всегда. Формальное применение формулы Ньютона–Лейбница может привести к ошибкам, как при нахождении, например, следующего интеграла

Значение интеграла получилось отрицательным, хотя подынтегральная функция очевидно положительна. Ошибка возникла из-за того, что подынтегральная функция неограничена на отрезке интегрирования [ 1; 1]; а следовательно, неинтегрируема на этом отрезке. Рассмотренный интеграл представляет из себя несобственный интеграл II рода с особой точкой x = 0. Так как особая точка лежит внутри отрезка интегрирования, то интеграл мы должны представить в виде суммы двух

Исследуем на сходимость, например, второй из них

0"

R1 dx

т. е. интеграл расходится. Значит, расходится и интеграл 1 x2 :

Интеграл вида

Z

sinx xdx

0

не является несобственным II рода, хотя казалось бы, что точка x = 0 должна быть особой для подынтегральной функции. Но, если вспомнить ¾замечательный¿ предел

lim sin x = 1 6= 1;

x!0 x

то получим, что x = 0 вовсе не особая точка. Доопределив подынтегральную функцию в точке x = 0 значением, равным 1, получим непрерывную, а следовательно, и интегрируемую функцию. Значит, это определенный интеграл, а не несобственный.

Интеграл вида

1

Z dx

xp

0

не является несобственным II рода при p < 0, так как

lim 1 = 0:

x!+0 xp

ДЗ: Исследуйте этот интеграл при p 0:

3

Свойства несобственных интегралов II рода

Cf(x)dx = C f(x)dx:

3. Пусть точка b является особой для функций f(x) и g(x), непрерывных на промежутке [a; b):

bb

RR

Примечание. Если оба интеграла f(x)dx и g(x)dx расходятся, то про сходимость

aa

b

R

интеграла (f(x) g(x)) dx ничего утверждать нельзя. Можно привести примеры таких

a

bb

RR

функций f(x) и g(x), для которых f(x)dx и g(x)dx расходятся, но, например, интеграл

5. Пусть точка b является особой для функций f(x) и g(x), непрерывных на промежутке

[a; b): Для всех x из этого промежутка выполняется неравенство f(x) g(x): Если при этом

bb

RR

сходятся интегралы f(x)dx и g(x)dx; то справедливо неравенство

aa

bb

ZZ

f(x)dx g(x)dx:

aa

6.(обобщенная формула Ньютона–Лейбница)

Пусть точка b является особой для функции f(x), непрерывной на промежутке [a; b): Функция F (x) является первообразной для f(x) на промежутке [a; b): Тогда

b

Z

f(x)dx = F (b) F (a);

a

где F (b) = F (b 0) = lim F (x):

x!b 0

4

Рассмотрим далее функцию f(x); непрерывную на промежутке [a; b) с особой точкой b: По

b

R

определению, сходимость интеграла f(x)dx следует из существования конечного предела

a

(2.2). Запишем критерий Коши существования конечного предела справа функции I(") в

точке " = 0:

8"~ > 0 9 (~") > 0 : 8"1; "2 2 O+(0) ) jI("1) I("2)j < ":~

Применим это утверждение для функции I(") и воспользуемся свойством аддитивности

по отрезку для определенного интеграла

Исследовать интеграл на сходимость по определению или с помощью критерия Коши может быть довольно трудно. В некоторых случаях проще воспользоваться признаками схо-

димости, которые будут приведены далее.

Теорема 2 (признак сравнения)

Пусть точка b является особой для функций f(x) и g(x), непрерывных и неотрицатель-

ных на промежутке [a; b): И для всех x из этого промежутка выполняется неравенство

Можно воспользоваться и следующим утверждением

Теорема 3 (признак сравнения в предельной форме)

Пусть точка b является особой для функций f(x) и g(x), непрерывных и неотрицательных на промежутке [a; b); причем в некоторой левой полуокрестности точки b функция g(x) не обращается в нуль. Тогда, если существует конечный предел

lim f(x)

x!b 0 g(x)

5

Признаки сравнения работают только для функций, неотрицательных на промежутке

[a; b): Если же функция неположительна на этом промежутке, то ее просто можно умножить на константу C = 1; тем самым поменяв знак на противоположный. Сходимость/расходимость интеграла при этом не изменится.

Если же функция не является знакопостоянной на промежутке [a; b); то интеграл на сходимость можно исследовать с помощью следующей теоремы.

Теорема 4 (об абсолютной сходимости)

Пусть точка b является особой для функции f(x), непрерывной на промежутке [a; b):

Тогда, если

Сходимость интеграла в этом случае называется абсолютной.

Примечание. В обратную сторону утверждение неверно. Существует такие функции, от которых интеграл сходится, но при этом интеграл от модуля функции расходится. Сходимость интеграла в этом случае называется условной.

Бета-функция Эйлера

Бета-функцией Эйлера (B-функцией) называется функция, заданная как интеграл вида

1

Z

B(x; y) = tx 1(1 t)y 1dt:

0

Функция определена при x > 0; y > 0:

Основные свойства.

3.

B(x; y) = (x) (y);(x + y)

где (x) гамма-функция Эйлера.

7 апреля 2020 г.

6