Интегральные уравнения Краснов М.Л
..pdf1
80 |
Глава 2. Интегральные уравнения Фредгольма |
|
|||||||||||||||
Теорема 2. |
|
Есл и для уравнения (1) |
|
имеет место первый случай аль |
|||||||||||||
тернативы, то он имеет место и для сопряженного уравнения |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
ь |
|
|
|
|
) |
|
(3) |
|
|
|
|
ф(х) - |
|
K(t, х) ф(t) dt = g |
x |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jа |
|
|
( |
|
|
|||
Однородное интегральное уравнение (2) и сопряженное к нему уравнение |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ф(х) - Л |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
K(t, х) ф(t) dt = О |
|
|
(4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jа |
|
|
|
|
|
|
|
имеют одно и то же конечное число линейно независимых решений. |
|||||||||||||||||
Замечание. |
|
Если функции ip1 (х), 1р2 |
(х), . . . , ip,. (x) являются решениями |
||||||||||||||
однородного уравнения |
|
|
|
то их линейная комбинация |
|
||||||||||||
|
ip(x) = CtiPt (x) |
|
Clipl(x) + . . . |
|
C,.ip"(x) = |
|
" |
|
|||||||||
|
+ |
+ |
Е ck/Pk(a:), |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
(2), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=l |
|
||
где Ck |
(k = 1, |
|
. . . , n) - nроизвольвые nостоянные, также является реше |
||||||||||||||
нием этого уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема 3. |
Необходимым и достаточным условием существования ре |
||||||||||||||||
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
шения rp( х) неоднородногоуравнения ( 1) во втором случае альтернативы |
|||||||||||||||||
является условие ортогональности правой части этого уравнения, |
т. е. |
||||||||||||||||
функции J(x) , к любому решению ф(х) |
сопряЖенного к уравнению (2) |
однородного уравнения (4):
jь f(x) ф(х) dx = О.
а
(5)
Замечание. При выnолнении условия (5) уравнение (1) будет иметь бес конечное множество решений, так как этому уравнению будет удовлетво рять любая функция вида 1р(х) + (х) , где <р(х) - какое-нибудь решение
уравнения (1), а (х) - любое решение соответствующего однородного уравнения (2). Кроме того, если уравнению (1) удовлетворяют функции
I P t (x) и ip2 (x ) , то в силу линейности уравнения их разность ip1 (x) - <р2(а:)
есть решение соответствующего однородного уравнения (2).
На практике особенно важное значение имеет альтернатива Фред гольма. Вместо того чтобы доказывать, что данное интегральное уравне ние (1) имеет решение, часто бывает проще доказать, что соответствующее
однородное уравнение (2) или сопряженное к нему уравнение (4) имеют только тривиальные решения. Отсюда в силу альтернативы следует, что уравнение (1) действительно имеет решение.
§ 13. Альтернатива Фредrольма |
8 1 |
3амечаннfl. I) Если ядро К(х, t ) интегрального уравнения (1) симмеrрично, т. е.
К(х, t) =: K(t, х),
то однородное соnряженное уравнение (4) совnадает с однородным уравне нием (2), соответствующим уравнению (1).
2)В случае неоднородноrо интеrраль оrо уравнения с вырожденным
ядром
ь" ak(x) Ьk(t)] tp(t) dt = f(x)
а
условие (S) ортоrональности правой части этого уравнения дает n равенств
|
ь |
j(t) Ьk(t) dt = О (k = 1, 2, . . . , n). |
|
|
Пример 1 . |
j4 |
|
||
Решение. Имеем |
lf'(X) - ,\ Jо 1 |
(S:c2 - 3) t21p(t) dt = ez. |
|
|
|
tp(x) = C.\(5z2 - 3) + е'", |
|
||
|
|
(6) |
||
|
|
|
|
(7) |
Подставляя (6) в (7), nолучим
с= ел J1 (St4 - Зt2) dt + J1 t2e1 dt,
оо
откуда
С = е - 2.
Данное уравнение при любых А имеет единственное решение tp(x) = = Л(е - 2)(5х2 - 3) + е"',
а соответствующее однородное уравнение
<р(х) л j<sx21 - 3) t2p(t) dt = = о
о
имеет единственное нулевое решение: <р(х) = : О.
82 |
Глава 2. |
Интегральные уравнения Фредгольма |
|
Пример 2 . |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
<р(х) - Л |
|
|
|
j sin ln x <p(t) dt = 2х. |
|
Решение. |
Имеем |
о |
|
rр(ж) = С>.sin ln ж + 2ж, |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
где С = J <p(t) dt. Подставляя выражение <p(t) в интеграл, |
найдем |
||
о |
|
1 |
|
|
|
С = С>.1 sin ln t dt + 1, |
|
откуда |
|
о |
|
|
|
|
c (I + ) =
Если >. =/::-.2, то данное уравнение имеет
<р(ж) 22>. sin ln
= --+ > .
l.
единственное решение ж + 2ж;
соответствующее однородное уравнение |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
<р(ж) - >. 1sin ln ж<p(t) dt = О |
|
|
|
|
|
о |
|
|
имеет только нулевое решение: <р(ж) = О. |
|
|
|||
Если |
же |
>. = |
-2 , то данное уравнение не имеет |
решений, так как правая |
|
часть f(ж) |
= |
2ж |
не ортогональна к функции sin 1n ж; |
однородное уравнение |
|
имеет бесконечное множес |
|
|
|||
(О · С = О) |
|
|
тво решений, так как из уравнения для определения С |
||
следует, что С - произвольная постоянная; |
все эти решения даются |
формулой |
· |
Пример З. |
<р(ж) = ё sin ln ж |
(ё = -2С). |
1> |
||
|
11" |
cos (а: + t) <p(t) dt = cos За:. |
|
|
<р(х) - Л |
J |
|
||
о |
|
|||
|
|
|
|
Решение. |
Перепишем уравнение в виде |
|
11" |
|
<р(ж) - >. j(cos жcost - sin жsint) <p(t) dt = cos Зж. |
|
о |
Отсюда имеем
<р(ж |
) |
= С |
>.cos ж- C |
J..sin |
ж +cos Зж, |
(8) |
|
1 |
2 |
|
где
|
§ 13. Альтернатива Фре.о.гольма |
|
83 |
|||
|
|
" |
|
" |
|
|
С = |
j |
P(t) cos t dt, |
·с2 = j P(t) sin t dt |
. |
(9) |
|
1 |
|
|
|
оо
Подставляя(8) в (9), получим
С1 = j" (С1 Л cos t - С2Л sin t + cos Зt) cost dt,
|
|
|
|
|
|
|
|
о" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 = j(С1Л cos t - С2Л sint + cos Зt) sin t dt, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
с11( 1 - Л |
о |
|
|
|
) |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
.. |
||||
|
|
|
|
" cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2t dt |
|
+ С2 |
Л |
|
.. sin t cos t dt = |
|
" cos Зt cos t dt, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
" |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
||||
или |
|
|
|
|
|
о |
|
|
+ |
|
( |
|
|
о |
" |
|
|
) |
|
о |
|
|||||
|
-С |
Л |
Jо |
cos t sin t dt |
С2 |
|
|
|
Л |
Jо |
|
|
fо |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
sin t dt |
|
= |
|
cos Зt sin t dt, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ с ( - л |
) = О, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 (2 |
1 |
+ |
Л ) = |
|
|
|
|
(1(}) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о. |
|
|
|
|
Определитель этой системы равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(Л) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с. |
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Р(х) - Л j.. cos (z |
+ t) 'P(t) dt = О |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 - л ! |
|
l. |
+ Л 1r2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ECJIИ |
|
|
|
1r |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Л # ±- ( (Л) # 0), то система (10) имеет единственное решение |
|||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
= о, следовательно, данное уравнение имеет единственное решение |
||||||||||||||||||||||
'Р(ж) |
= cos Зх, а соответствующее ему однородное уравнение |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет только нул евое решение: !p(z) = О. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
с2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) nринимает вид |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Если Л = - , то система |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1r |
|
|
|
|
|
{ |
|
|
, · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = о. |
|
|
|
|
|
86 Глава 2. Интегральные уравненii!Я Фредгольма
Здесь а == 1 , {3 = 1 , так что условие1 |
|
(1 |
5) не удовлетворяется3 |
: уравнение (16) |
||||||||||||
неразрешимо. Пусть теп рь имеем4 |
уравнение |
|
4' |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
<р(х) == |
Jо |
xt |
2 |
<p(t) dt + х - |
|
(17) |
|||||
где |
а = |
1 , f3 |
== -4. |
Лри этих значениях параметров |
а |
и f3 условие (1 |
5), очевидно, |
|||||||||
выполняется и, значит, уравнение |
( |
17) разрешимо. Его решение имеет вид |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
Ci |
- |
|
|
<р(х) = 4Сх + х - 4 == С1х - 4, |
|
|
|||||||||
г;-.:е |
произвольпая постоянная( |
, откуда, в соответствии с общей теорией, |
||||||||||||||
видно, что решение уравнения 17) |
|
не единственно. |
|
|
1> |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
При каких значениях параметров разрешимы следующие интегральные уравне ния?
1 82. <р(х) = .\ J1 xt<p(t) dt + ах2 + {Зх + 1'·
-1
1 83. <р(х) = .\ j1 (х + t)<p(t) dt + ае" + {Зх.
о
w/2
1 84. <р(х) = .\ jxt<p(t) dt + ах + {3 sin х.
о
Нефредгольмовы интегральные уравнения
Если в интегральном уравнении
|
|
|
|
|
|
1а |
|
|
|
|
<р(х) = /(ж) + Л |
ь |
|
|
|
||||
|
К(х, t)<p(t) dt |
|
(18) |
|
|||||
ядро К(х, t) удовлетворяет условию |
|
|
|
|
|||||
|
ь |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
а |
К2(х, t) dx dt < +оо |
|
(19) |
|
|||
(а, Ь могут быть и |
|
) |
|
|
( 18) |
|
|
||
1 |
1 |
|
, |
то для уравнения |
справедливы |
j' |
|||
|
бесконечными |
|
|
||||||
теоремы Фредгольма. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|