Интегральные уравнения Краснов М.Л
..pdf20 |
|
|
|
Глава 1. Интегральные уравнения Вольтерра |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Пример |
3. С помощью |
р |
езольвенты |
найти |
р |
е |
ше |
ни |
е |
инте |
гр |
ального |
||||||||
|
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ср(х) =е"'2 + 1z е"'2-t2 cp(t) dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
2 |
2 |
|
|
.Л = |
|
есть R ж, t; |
|
= |
||||||
Решение. |
Резольвента ядра |
|
при |
|
|
||||||||||||||||
К ж, t) = е"' |
|
|
1 |
1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
решением-t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
е"'-1е"'2 2 |
см. |
задачу 26 . Согласно формуле( |
(7) |
данного интегрального( |
|||||||||||||||||
уравнения-t ( |
является функция) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[>
Задачи для самостоятельного решения
Используя результаты предыдущих задач, найти с помощью резольвент решения следующих интегральных уравнений:
|
ер( ) |
|
|
Jо |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
jо |
|
|
||
36. |
ж = |
е"+ |
|
"' e"'-1cp(t) dt. |
|
|
37. |
ср ж |
sinж + 2 |
ж |
e"'-1cp(t) dt. |
||||||||||
|
ер( ) = |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
ер( ) =е |
., |
|
j 2+ соsж |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"' |
|
2+ cost |
|
||||
38. |
жЗ"' |
- Jо |
3"'-1cp(t) dt. |
|
|
39. |
|
sinж+ |
о |
|
cp(t) dt. |
||||||||||
ж |
|
|
|
|
|
ж |
|
|
|
|
|
||||||||||
40. |
ср ж |
1- 2ж- |
z |
.,2 |
t |
2cp(t) dt. |
41. |
ср ж |
е"2+2"' + 2 |
"' |
е"2-12cp(t) dt. |
||||||||||
|
( ) = |
|
|
|
|
J |
е - |
|
|
|
|
|
( ) = |
|
|
|
Jо |
|
|
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ер(ж) = 1 + ? |
|
!о "' |
1 ++ |
ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
42. |
+ |
|
1 |
t22 cp(t) dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Замечание. |
Однозначная разрешимость интегральных уравнений Волътер |
|||||||||||||||||||
|
ра 2-ro рода |
|
|
ср(ж) = f(ж) + .\ j"' |
К(ж, t) cp(t) dt |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет место при значительно более общих предположениях относительно |
||||||||||||||||||||
|
ц |
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
t), |
нежели их непрерывность. |
|
|
|
|||||||
|
функ ии / ж и ядра К ж, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Теорема. Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода (14); у ко |
||||||||||||||||||||
|
торого ядра К(х, t) |
|
и функция |
f(x) принадлежат соответственно |
§ 4. Эйлеровt> интегралы |
21 |
. поi)проетранствам L2(П0) и L2(0, а), имеет одно и только одно реше ние uз пространства L2(0, а).
Эrо решение дается формулой
J?(x) = J(x) + Л Jz R(x, t; Л) J(t) dt,
о
где резольвента R(x, t; Л) оnределяется nри nомощи ряда
00
R(x, t; Л) = 2::ЛvKv+l (x, t), v=O
составленного из итерированных ядер и сходgщегося почти всюду.
Задача для самостоятельного решения
43. |
Показать, |
что |
уравнение |
|
|
|
|
(х) fо"' |
t''-1 (t) dt (0::;,; х, t ::;,; l) |
имеет, кроме непрерывного решения (х) =О, бесконечное множество разрыв |
ных решений вида
где С -
tp(x) |
Сх'н, |
произвольпая постоянная.
§ 4. Эйлеравы интегралы
rам.ма-функцией или эйлеровым интегралом функцИя Г(х), определяемая равенством
00 |
|
|
I |
|
Г(х) = J e |
-t |
|
|
|
e |
- |
dt, |
||
\) |
|
|
|
|
где х -любое комплексное число, Re х >·о. При
Г(1) |
00 |
|
= j e-t dt = 1 |
. |
|
|
|
о
2-ro рода называется
(1)
х = 1 получаем
(2)
Интегрируя по частям, из равенства (1) находим
|
|
00 |
|
|
dt = |
|
|
1 |
J |
t |
z |
Г(х + 1) |
|
Г(х) |
|
|
|
. |
||
х |
о |
e- t |
|
х |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(3)
22
Эrо равенство выражает основное свойство rамма-функции:
Г(х+ 1) = zГ(ж).
Исnользуя (2), nолучаем
Г(2) =Г(l +1) = 1 · Г(1) = 1, Г(З) = Г(2+1) =2 · Г(2) =2!,
Г(4) =Г(З+1) = З · Г(З) =3!,
и вообще nри целом nоложительном значении n
Г(n) = (n - 1)!.
Известно, что |
!00 |
е- |
|
dх=т· |
|
|
z1 |
y1i |
|
|
|
|
о
Положив в этом равенстве а:=t112, найдем
j00 e-tt(t/2)-t dt= ../i.
о
(4)
(5)
шем |
ывая |
выражение (1) |
для |
гамма-функции, nоследнее равенство запи- |
Учит |
|
|||
|
так: |
|
|
г{ ) = .Ji. |
|
|
|
|
Отсюда с nомощью основного свойства гамма-функции, выраженного равенством (4),находим
г |
( |
2 |
) |
=!2г |
( |
!2 |
) |
= !..fi |
' |
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. |
Вообще, как нетрудно убедиться, справедливо равенство
1 |
|
1 |
· |
3 |
· S • • |
• |
(2n- 1) |
r= |
Г (n+-) |
= |
|
|
|
|
· |
|
v'tr |
2 |
|
|
|
2n |
|
( n - целое nоложительное).
Зная значение гамма-функции nри каком-то значении аргумента, можно из равенства (3) вычислить значение этой функции nри аргументе,
уменьшенном на единицу. Наnример,
г ( )
Поэтому
|
|
|
|
г ( |
|
|
|
|
г |
(1 ) =v;r. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 ) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Действуя аналогично, найдем |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
........'--:+-.........:- ,= -2v;i,: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
41 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(- |
) |
|
|
г |
( |
- |
|
+ |
1 |
= |
fi |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
г |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
зv·л, |
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
г |
- |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- Vi |
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
= |
|
|
Нетрудно nроверитъ, что Г(О) = Г(-1) = ... = Г(-n) = . . |
Выше |
|||||||||||||||||||||
мы оnределищ1 |
Г(z) |
|
|
|
Re z >О. |
Указанный сn об |
ВЫЧ. Jf: |
СЛения |
Г(z) |
|||||||||||||
nродолжает эту |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· оо. |
|
||||||||||
функцию в левую nолуnлоскость, ·где |
Г(z) |
оnределена |
||||||||||||||||||||
|
для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
всюду, кроме точек z = -n (n- |
|
|
|
|
nоложительное и 0). |
|
|
|
||||||||||||||
Отметим еще следующие |
соотношения: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
целое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г(z)Г(l - z) Г(z)Г (z+ )
= =
-. 1[ |
, |
|
|
Stn7rZ |
|
|
|
|
- |
|
|
2 |
1-2:r7r1/2Г |
, |
|
|
|
(2z) |
вообще,
Г(z)r (z+ ; |
) |
|
) |
... г (z+ |
n |
: |
1 |
) |
( |
1r)<n:I)/2 |
< |
1 |
)-n:r |
|||||
|
г (z+ ; |
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
n |
|
г(nz) |
||||||
(теорем |
умно |
|
ения |
с |
а и |
е |
н р ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
ж |
Гау с |
|
Л |
жа д |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гамма-функция была оnределена Вейерштрассом |
||||||
1 |
|
|
. |
|
|
|
пения |
=ze z ll |
{ (t + .=-.)· |
|
|
. |
|
_ _ |
r |
. |
n |
, . |
n |
·: |
Г(z) |
n=l. |
|
nосредством урав-
(6)
где |
(1+ 2 + 3 + .. . + ;;;- ln т) = 0,57721 ... |
|||
7= 2 |
||||
|
l |
1 |
1 |
. |
24 Глава 1. Интеrральные уравнения Вольтерра
,__,.постоянная Эйлера. Из равенства (6) видно, что фунiЩия Г(z) анали· тична всюду, за исключением точек z = О, z = -1, z = -2, . . . , где она
имеет простые полюсы.
Приведем еще формулу Эйлера, которая получается из (6):
Она имеет место всюду, кроме точек z = О, z = -1, z =-2, . . ..
Задачи для самостоятельного решения
44.Показатъ, что
45.Показатъ, что
46.Показать, что
47.Доказать, что
Г'(l) =-"'(. |
|
|
|
|
|
|
|
Rez> О |
=Jо l(ln l)z-1 |
||||||
Г(z) |
|||||||
|
|
|
; |
|
dx. |
||
Г'(I) |
-гг'ОО)) =2In2. |
||||||
Г(I) |
|||||||
. |
|
|
l ·2 . . |
. |
(n - 1) |
||
Гz() =lim |
|
|
+ 1) |
. . |
. |
z(+ n - |
|
n-oo z(z |
|
|
z 1) n .
Введем эйлеров интеграл ФУ1:1,КЦ1fЮ:
1-ro рода В(р, q), так называемую бета
В(р, q) = j1 af-1(1- x)q-l dx (Re р >О, Re q > 0).
о
Сnраведливо следующее равенство, гралами Эйлера 1-ro и 2-ro рода:
В(р, q) =
устанавливающее связь между инте
Г(р) Г(q)
Г(р + q) .
§ 5. |
те |
ое |
е |
е |
25 |
Ин гральн |
уравн ние Аб ля и его обобщения |
|
Задачи для самостоятельного решения
48: Показать, что
В(р, q):::B(q,p).
49. Показать, что
В(р, q) == В(р + 1, q) + В(р, q + 1).
50. Показать, что
В(р + 1 , q) :::ЕВ(р, q + 1). q
51 . Показать, что
j1 ( 1 + :r)P-1( 1 - x)q-l dx = 2Р+Нв(р, q).
-1
•
52. Вычислить интеграл
1r/2
I = Jcos m-lx · sinn-l:r dx (Re т> О, Re n > 0).
о
§5. Интегральное уравнение Абеля
иего обобщения
|
Интегральным уравнением Абеля называется уравнение вида |
||
|
z |
|
(1) |
|
J dt=j(x), |
||
|
о |
vx=t |
|
где rp(x) - искомая функция, а f(x) - заданная функция. Это есть |
|||
интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода. |
|
||
ние: |
Уравнением Абеля называют также несколько более общее уравне- |
||
z |
|
|
|
|
rp(t) |
|
|
|
J |
|
|
|
х - t)a dt=f(x), |
(2) |
|
|
о |
( |
|
гДе а - постоянная, О < а< 1 (обобщенное уравнение Абеля). |
Функцию |
||
f(x) |
будем считать имеющей непрерывную производную на пекотором |
26,
отрезке
''"Dnma..l., Интегральные уравнения Вольrерра·
|
Заметим, что' 'при: • ' |
'" |
··1 |
: |
, |
,, |
' ' |
|
интегрн.::. |
[О, а}. |
t::r' |
2 |
ЯДро уравненИя' |
(2) |
|||||
|
|
не ' ' |
руемо с квадратом, т..е. не является L2-Функцией. Однако уравнение (2)
имеет решение, которое может быть найдено. следующим образом.
• Допустим, |
что реШение уравнения (2) |
существует. Заменим в урав |
||||||
нении х на 8, умножим обе части полученного равенства |
на |
|
d8 |
|
||||
|
_ |
|
|
1_ |
||||
и проинтегрируем по s •от О до х: |
|
|
|
8 |
|
|||
|
|
(х |
|
) |
а |
|||
z |
|
|
|
|
||||
z |
, |
|
|
|
|
|
|
|
J |
(х _d8s)1-a jо , (sI{J(t)t)a dt - jо (х _/(8)8)1-а d8• |
|
|
|
|
|
||
о |
|
|
|
|
|
Меняя слева порядок интегрирования, получим |
||||||
z |
|
z |
|
|
= |
|
j |
!p |
(t) dt j |
(х-8) |
1: |
||
(8-t)a |
||||||
о |
t |
|
||||
|
|
|
|
F(x),
(3)
где |
z |
. /(8) |
|
||
|
F(x) = / |
(Х- 8)l-а d8. |
|
о |
|
Во внутреннем интеграле (3) сделаем nодстановку 8 = t + у(х-t):
z |
(:с- 8) 1 -a(s - t)a |
1 |
ya(l - у)1-а = sin11't::r1. |
|
J |
=.jо |
Г |
||
t |
||||
|
d8 |
|
dy |
|
Тогда из уравнения (3) имеем z
sint::r1Г
J I{J(t) dt = -11'-. F(x),
о
или |
sina1r |
. ' |
|
z |
|
s |
) |
) ' |
|
I{JX( |
sint::r1Г (j |
f( |
|
. |
|||||
) = --F |
(х) = -- |
о · |
(:с- |
8) 1-а d8 |
z |
||||
. |
11' |
|
11' |
|
|
|
(4)
Итак, единственное решение уравнения (3) дается формулой (4),
с помощью интегрирования по частям можно переписать еще в |
||||||||
/{) |
|
11' |
[/(0) |
j |
(а:.__ ) |
|
] |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
(а:)= |
|
z1 -a + |
z |
. |
8 |
1-а ds . |
|
|
|
sint::r1Г |
|
|
/'(s) |
|
которую
виде
(5)
§ 5. Интегральное уравнение Абеля и eta обобщения
21,
Задачи для самостоятельного решения
53. а) Показать, что в случае f(z) Е С== const решением уравнения: Абеля (1) является циклоида. (Задача о тауоохроне: найТи кривую, сколюя: моль коrорой без трения, тяжелая частица дocrnraeт своеrо ro НJIЭKoro положения: за (ЩНО и то же время независимо от ее начального положения.)
б) Показатъ, что в случае /(ж) = 5ж решением уравнения: Абеля удут JiрЯМЫ!.'.
Решить |
||
|
"' |
|
54. |
1 |
|
о |
||
|
следующие интеrральные уравнения: |
||||||||
(t) |
d |
t |
= zn |
|
< |
|
|
|
rp |
" |
|
|
55. |
||||
z- |
t |
) |
|
|
(О |
|
а< 1). |
|
( |
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57• |
1Z,
о 1'"
о
rp(t) |
dt |
|
. |
г::::t |
--; |
||
vz- |
= sm z. |
||
|
|
rp(t)d |
t |
|
1 |
2 |
7 |
|
|
|
/ |
||
|
|
z--. |
|||
г::::- |
|
|
|
||
vre- t |
|
|
|
|
58. Решить двумерное уравнение Абеля |
|
|
= |
/(rt&, Уо) |
|
|||
fr |
rp(re, у) azау . |
• |
||||||
JJ |
( |
zo |
- |
re)2 |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
||||||
'J(Yo- у)2- |
|
|
|
|
|
|||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь область D - равнобедренный nрямоугольный треуrо,ЛЬНJIК с гипотенузой |
||||||||
на оси ОХ и с вершиной в точке (z0, Уо)· |
|
|
|
|
|
Рассмотрим интегральное уравнение |
|
:1 |
|
P |
P(t)dt |
J(ж- t) |
= ;.
(6)
(Л О, {З - о > -1 вещественное), являющееся
дальнейшим обобщением уравненияжАбеля)Р (2). Умножим обе части (6) на (z- (р. > -1) и от о до z:
в некотором смысле проинтегрируем по ж
J(z- z)P (/(ж- t)PVJ(t)dt) dz = J хл(z- |
||
% |
il: |
;; |
z)P dz. |
(7) |
(} |
о |
о |
Полагая в интеграле в правой части (7) ж = pz. получим |
z 1
х |
л(z |
х |
Р |
|
+ |
p |
|
l |
I |
- |
dx = zЛ |
|
+ |
|
1 p"(l- р)Р dp:::::zЛ+р+ В(Л + 1, р. + 1) = |
||||
|
) |
|
|
|
|
о |
о |
28 Глава 1. Интегральные уравнения Во11ьтерра
|
z |
+.и+l |
Г(Л+1) Г(JL+l) |
|
> Л |
0). |
|
|
. --"---;---'-.......;;. --:- |
||||
|
|
|
Г(Л+JL+2) |
(Л+JL+1 |
|
|
z |
Меняя порядок интегрирования в левой части (7), nолучим |
|||||
ж |
|
z |
z |
|
|
|
j (J<z-x)P(x-t)f1v>(t)dt)dx= j (j<z-x)P(x-t)fi dx)v>(t)dt. |
||||||
о |
о |
|
о |
t |
|
|
Положим во внутреннем интеграле nравой части (9)
х =t+p(z-t).
(8)
(9)
Тогда |
|
|
|
x =(z- t)P+fi+ |
j1 |
|
/(1- |
|
|
= |
|
||||
jz |
|
х |
Р(х - |
|
|
|
|
|
|||||||
t |
(z- |
) |
|
t)fi d |
|
|
|
l |
о |
|
|
р)"dp |
|
|
|
|
|
(z - t)P+f'+Iв(,в |
+l, JL+ |
1) |
|
|
;:; |
1) (z-t)1щнt. |
(10) |
||||||
|
= |
|
|
|
|
=Г( |
( |
|
|
Учитывая (8), (9), (10), из равенства (7) flайдем
|
} |
z |
+ |
Iv>(t) dt |
Г(,д+l |
|
о |
|
|
Г(,д+JL+2) |
|
|
Выберем JL так, чтобы JL+,в+1 =n, где
число. Тогда из (ll) будем иметь
( |
Л+1) |
A+p+l |
|
Г |
|
. (11) |
|
Г(Л+JL+2) z |
|
n - неотрицательное целое
|
Г(,д+1) |
|
z |
|
|
Г(Л+1) |
A+ - |
.В |
' |
||||
|
|
|
|
z n |
|||||||||
|
|
|
|
|
(z- t)nv>(t) dt = |
|
|
|
|||||
|
Г(n+1) j |
|
|
Г(.\+n-,в+1) |
|
||||||||
или |
|
z |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Г(Л+1) |
zA+n-,8 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
J |
(z- t) |
v>(t) dt |
- |
|
|
|||||||
|
n! |
|
|
Г(,д+l |
Г(Л+n |
,д+1) . |
|||||||
|
о |
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя обе части (12) n+ l раз no z, получим |
|
|
|||||||||||
v> |
(z) |
=Г(Л+1)(.\+n-,д)(Л+n-,д 1) ... |
(Л-,д) z -f.i-l |
||||||||||
|
|
|
|
Г(,д+l)Г(Л+n-J'+l) |
|
|
' |
||||||
или для Л |
/3+k #О (k =О, 1, ... , n) |
|
z |
Л-/Н |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
v>(z) - |
|
Г(Л+1) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
J' |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г(,д+1) Г(Л- |
|
|
|
|
(12)
(13)
Это и есть решение интегрального уравнения (6).
§ 5. Интегральное уравнение Абеля и его обобщения
Пример. Решить интегральное уравнение
z |
|
|
(t) it =х2• |
|
j(x- |
t) |
|||
о |
|
|||
|
|
.Л = 2. Так как .Л - f3 + k |
||
Решение. В данном случае f3 = 1, |
||||
О, 1, 2, ... , n), то по формуле (13) |
|
|
|
н-1 |
Г(З) |
|
|
||
<р(х) = Г(2)Г( 1) |
х |
= 2· |
Задачи для самостоятельного решения
29
-:1- О (k =
[>
Решить интегральные уравнения:
ж
1 |
1 |
3 |
3 |
- |
х |
2• |
59. j(х ..:_ t) |
|
<p(t) dt = х41 |
|
|
||
о |
|
|
|
|
|
|
z |
14<p(t) dt = х + х2• |
|
||||
61 . j(х - t) 1 |
|
|||||
о |
|
|
|
|
|
|
ж
60. j(x- t) 1/2<p(t) dt = 1rx.
о
62. jz (х - t)2<p(t) dt ;:", ж3•
о