Интегральные уравнения Краснов М.Л

§ 6. Ура внения Фредгол ьма.

Основные понятия

31

Пределы и егрцро1*Ufия а и ,Ь в урщ е ЯJ( (Н, (2) и (3) мoryr быть

как конеЧными, так и бескон ЧНымИ. ·

·

· ·

·.·

Решением интегральных

уt)&.Внеиий {1), (2)

ц (3) назывilется

лю­

бая функция tp(z) ,

при подстЗновке которой

в

уравнения

последн ие

обращаются в тождества относительно z Е (а, Ь) .

Пример 1 .

Задача о распределении яркости света.

Согласно закону геометри­

-· ·-·

·

' А'

ческой оптики изображение объ­

екта nодобно самому объекту, так

'-- · · - - -·

что отрезок отображается в отре­

Вl

ни

; -·' -· ·rl - - •0'

зок, причем мины этих отрез­

Изоб

S(s)

8

r раже

е

ков, вообще говоря, различны.

/

При

ной системе линз

1

в приборе

выберем масшта .

11 .

задан

так,

бы на осях Ot и

в

чтобы

р

Прибор

двух взаимноОс'оответствую­

шик точек T(t) и

S(s)

имело

·

д11Я

ме-

А

f ·

06 кт

сто равенство в = t (рис. l).

--'--1- l -+i ----'-'-_.....,1'-В'--- ·t

Светящаяся точка T(t)

о·--

T(t)

екта АВ влияет

на

освещение

объ­

.

Рмс. 1

. .

всего изображения А1В', nриЧем

наибольшая яркость освещения nриходится на точку S(в). Таким .образом,

' Ин:.

тенсивность освещения К

(т. е.

яркость света) явЛяется функцией в и t,

т.е.

К = K(s, t).

:Е rJ(t11)K(s, tc)At o,

(4)

lr

где суммированиераспространяетсяno всемуобъекту - отрезку

Пустьмина

отрезка АВ равна

Переходя в сумме

(4)

t:.t11 -

О,

получим

к пределу nри max

АВ.

' ,

яркости изображения в виде

расnределение .

l.

g(s) = Jо 1

(5)

K(s, t)rJ(t) dt.

32

Глава 2.

Интегральные уравнения Фредгольма

.

которое дает заданную яркость изображения, тогда g(s) будет данной функци

ей, а ч(s) '-

искомой, и, следовательно, (5) будет интегральным уравнением

Фредrольма

ro рода.

Большое физическое значение имеетвоцрос: когда изображение таково, что,

кроме геометрического1-

подобия, яркость изображения таюке nодобна яркости

объекта? В этом случае g(s) и q(s) пропорциональны, т. е.

l

g(s) = ч(s)!

ница яркости между точкой объекта и точкой изображения uмena всюду заранее

заданную величину

f(s),

.

е

.

тч(s) - g(s) = /(s),

(6)

т

ч обы

то (5), после замены в нем g(s)

из ( 6), лереходит в

f(s) = q(s) - jо 1

K(s, t)q(t) dt

- неодНородное интеrраnьное уравнение Фредrолъма 2-ro роДа. Здесь искомой

фунКЩfей является 11(

s).

У'(х) = sin Т

1>

Пример 2.

Показать,

что функция

решением

11"% является

интегрального уравнения Фредгольма

.

1

К(х, t)!p

(t)dt = l'

где ядро имеет вид

411"2 1о

!р(х) -

х

х(2 - t)

2

K(x, t)

= { t(2 - х)

'

t

х 1 .

2

'

Решение. Левую часть уравнения заnишем в виде

(z)- :2 j1 K(z, t) (t) dt = (х)- :2 { j" К(х, t) (t) dt+ j1

К(х, t) (t) dt

}

=

о

о

"

§ 6. Ура внения Фредгольма.

Основные понятия

33

== <р(х)-

2

{

t 2- ж

.

1

z

2- t

}

'11"

4

{

Jо

У <p(t) dt + Jz

<p(t)dt

= <p(z)- :

2 ж jо

t <p(t)dt+ i ]<zz

-t) <p(t) dt }·

{

о

ж

'11":1:

, будем иметь

nодставляя в nолученное выражение вместо <р(х) функцию sin

sin 2- 4 (2 - ж)

1.,

t sin2

dt + ж

1(2- t)-2- dt

}

=

11':t

11'2

'Ift

sin

t

lt=

= s n

2

11'2

{

(2- ж) (-

!.

cos

t +

22 sin

)

+

i

'11":1:

4

'If

11'

. t=O

'11"

2

2

lt=l }

[

11'

'Ift

2

z

2- t

'll"t]

+ ж ---cos -- 2sin

-

' t=

= -.

х

ж

2

1

1

2

2

;t

решение

2

2,

а это означает,

согласно определению,

sin Т

так, получаем

данного=

t>

есть

11'

интегрального уравнения.

что <р(ж) =

64.

<р(ж) = l,

<р(ж) +jz(1 e"'t - l)<p(t) dt = e"' .....x

о

65.

<р(х) = 2е" (ж- ) ,

<р{ж) + 2/1 e"'-1<p(t) dt = 2же"'.

о

66.

<р(х) = 1 -

2sinж

<p(z)-

..

.. ,

cos(ж +t)<p(t)dt = 1 .

--1 - 2

1

jо

;5 (4ж312- 7) ,

<р(х) = у'Х,

, t) <p(t)dt = v'X

67.

(х)- /

К(х

<р

о

ж(2- t)

O x t,

--2-

К(х, t)

{ t(2---2-ж),,

t z l.

· § 7: Меfод' О[1ределителей фредгольма ·

37

ь

}

K(z, t) = /1(z)/2(t)

и /"

tl(z)/2(z) dz = А,

то

D(.\) = 1 - .\А,

D(z, t;

Л) =:= /1(z)/2(t)

77.

K(z, t) = 2z - t;

О z 1 , О t l.

78. К(х, t) = x2t - xt2;

О z 1 , О t 1.

79.

K(z, t) = sin z cost;

О z 211',

О t 211'.

80.

K(z, t) = sin z - sint;

O x 2i,

O t · 211'.

§ 8. . Итернрованные ядра. Построение резольвенты

39

ядер:

-l z I.

-l t l.

81 .

K(z,t) = z +t + l;

82.

K(z,t) = 1 + 3zt;

-0

ж l ,

О t 1 .

83.

К(ж,t) = 4жt - ж2;

- 0 z l,

О t 1.

84. К(ж,t) =е"'-1;

-о ж l,

О t 1 .

85.

К(ж,t) = sin(z+t);

-0

ж 271',

О t 271'.

86.

К(ж, t) = z - sht;

- l

ж 1,

- 1 t 1 .

С помощью резольвенты решить следующие интегральные уравнения:

21r

1

87.

(ж) - . ЛJsin(ж +t) (t)d t =l.

88. (z) - .\ J(2ж t) (t) dt = .

о

о

h

1

89.

(ж) - j sinzcost (t)dt = cos2z.

90. (z) + J e"'-1 (t) dt = е"'.

о

о

1

tp(z) - Л j11

К(ж, t) tp(t) dt = f(z).

( 1)

а

гаем

00

+

Фn(х)Лn

,

(2)

tр(ж} == /(z)

L: