3.5. Операторный метод анализа пп в электрических цепях

Операторный метод расчёта ПП основан на использовании понятия об изображении функций времени. Путём прямого преобразования Лапласа переходят от действительных функций времени (оригиналов е(t), u(t), i(t)) к их операторным изображениям (Е(р), U(p), I(p)), называемыми функциями комплексной переменной р = σ + jω, где р - оператор Лапласа (комплексная частота в рад/с).

Составив посредством законов Кирхгофа систему алгебраических уравнений для изображений и решив её относительно изображения искомой переходной функции, определяют оригинал этой функции путём обратного преобразования Лапласа. Таким образом, операторный метод расчёта ПП позволяет свести решение системы дифференциальных уравнений для оригиналов к решению системы алгебраических уравнений для их изображений, что в значительной степени упрощает расчётные процедуры. Однако в отличие от классического метода, физически прозрачного, в операторном методе решение уравнений во многом формализовано.

Итак, оригиналом f(t) называют функцию времени: напряжение u₁(t), ток i₂(t) и т.д., а изображением F(p) оригинала называют функцию U₁(p), I₂(p) и т.д. комплексной переменной p = σ + jω.

Переход от оригинала к изображению записывают следующим образом: f(t) −−> F(p), переход от изображения к оригиналу F(p) −−> f(t), взаимные преобразования f(t) <—> F(p).

Поэтому операторное сопротивление резистора R = U_R(p)/I_R(p) = RI_R(p)/I_R(p) = R.

Для получения изображения производной функции, т.е. f¢(t), достаточно изображение оригинала умножить на оператор р и вычесть начальное значение функции f(t) при t = 0₊, т.е.﷟

d[f(t)]/dt = pF(p) – f(0₊).

При f(0₊) = 0 дифференцированию оригинала (во временной области) соответствует опе­рация умножения изображения на оператор р:

d[f(t)]/dt = pF(p).

Поэтому изображение напряжения u_L = Ldi_L/dt на элементе L равно U_L(p) = LpI_L(p). Откуда операторное индуктивное сопротивление катушки (в Ом×с)

X_L(p) = U_L(p)/I_L(p) = Lp.

Для получения изображения интеграла от функции времени f(t) в пределах от 0 до t дос­таточно разделить её изображение оригинала F(p) на оператор р, т.е.

тогда изображение напряжения при u_С(0₊) = 0₊ на конденсаторе

U_C(p) = (1/Сp)I_С(p).

Откуда операторное ёмкостное сопротивление конденсатора (в Ом×с)

X_С(p) = U_С(p)/I_C(p) = 1/(Cp).

На основании приведенных выше соотношений изображений напряжений и токов, а так­же выражений операторных сопротивлений пассивных элементов цепи составляют операторные схемы замещения в области комплексного переменного р.

В качестве примера на рис. 3.8а приведена схема замещения цепи во временной области при t(0_--) = 0 и соответствующая ей схема замещения (рис. 3.8б) этой же цепи в области комплексного переменного р.

Запишем соотношение уравнений состояния этих электрических схем:

Откуда операторный ток цепи, выражающий закон Ома в операторной форме,

где операторное полное сопротивление последовательной RLC-цепи (ветви)

По виду законы Кирхгофа в операторной форме отличаются от законов Кирхгофа для функций-оригиналов лишь заменой оператора t на оператор p и строчных букв обозначений оригиналов на прописные буквы обозначений изображений функций.

Запишем, например, уравнения первого закона Кирхгофа (1ЗК) для первого узла У1 и второго закона (2ЗК) для первого контура K1 контура цепи:

для оригиналов: для изображений:

1ЗК:

2ЗК:

Упражнение 3.3

Электрическая цепь при ННУ (u_C(0₋) = 0) с элементами R = 2 кОм и С = 1 мкФ (см. рис. 3.7) подключается к источнику постоянного напряжения u(t) = U = 1 В. Определить переходный ток i(t) в цепи операторным методом.

Решение. 1. Согласно условию задачи u_C(0₊) = u_C(0₋) = 0.

Изображения входных временных функций цепи, как и выражения временных функций (оригиналов по Лапласу) по полученным операторным выражениям чаще всего осуществляют по таблицам, приводимым в специальных справочниках. Приведем соответствия некоторых изображений и их функций времени:

а) постоянная величина, например, f(t) = U ---> U(р) = U/p (если U = 1, то 1 ----> 1/p и т.д.);

б) экспонента, заданная условием f(t) = e^-at ---> F(p) = 1/(p + а);

в) синусоида f(t) = sinw₀t ---> F(p) = w₀/(p² + w_o²).

2. Изображение входного напряжения U(р) = U/p

3. Операторное сопротивление цепи Z(p) = R + 1/(Cp).

4 Согласно закону Ома в операторной форме изображение тока

где a = 1/RC = 1/(2×10³×1×10^-6) = 2×10^-3 1/с – коэффициент затухания переходного процесса.

5. Воспользовавшись формулой соответствия изображения и оригинала по Лапласу, запишем оригинал – искомый ток

i(t) = (U/R)e^-at = 1/(2×10³)e^-0,002t = 0,5e^-0,002t мA.

Упражнение 3.4

О пределить операторным методом переходный ток i_L(t) и напряжение u_L(t) в цепи с параметрами: u(t) = U = 20 В, R₁ = 2 Ом, R₂ = R₃ = 4 Ом и L = 1 мГн (рис. 3.9а).

Решение.

Графики i_L(t) и u_L(t) представлены на рис. 3.9в.﷟

Вопросы для самостоятельного изучения

(возьмите в библиотеке СD по электротехнике по студенческому билету)

1. Переходные процессы при включении последовательных RL- и RC-цепей под синусоидальное напряжение.

Контрольные вопросы

1. При каких условиях в электрической цепи может возникнуть свободный ток?

2. Почему напряжения на конденсаторах и токи катушек индуктивности остаются неизменными в момент коммутации?

3. Как определяют порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в линейной цепи?

4. Каков физический смысл постоянной времени для цепи первого порядка?

5. Во сколько раз изменится постоянная времени последовательной RL-цепи, если: а) увеличить сопротивление R резистора в 2 раза; б) уменьшить индуктивность L катушки в 2 раза?

6. Во сколько раз изменится постоянная времени последовательной RС-цепи, если: а) увеличить сопротивление R резистора в 2 раза; б) уменьшить ёмкость С конденсатора в 2 раза?

7. Что такое коэффициент затухания колебаний для цепи второго порядка?

8. В каком виде следует искать общее решение неоднородного дифференциального уравнения?

9. Во сколько раз изменится свободная составляющая тока в последовательной RC-цепи за время t = t, t = 3t?

10. Изобразите кривые тока в RL-цепи (RC-цепи) при её подключении к источнику постоянного напряжения.

11. Предложите способ расчёта постоянной времени цепи, содержащей произвольное число резисторов и: а) одну катушку индуктивности; б) один конденсатор.

Литература и информационные источники

1. Сайт ИНФРА-М: ЭБС URL:www.znanium.com/ Марченко А.Л., Опадчий Ю.Ф. Электротехника и электроника. Учебник. В 2-х т. Том 1. Электротехника. – М.: Инфра-М. 2015, 2020. - 574 с. (Первый вход выполнить на территории МАИ. Получите в НТБ МАИ Логин и Пароль).

2. Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники. Учебное пособие для втузов. – М.: Физматлит, 2006, 2011. – 568 с. (Библиотека – 282 экз.).

3. Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электротехники. Компакт-диск (600 МБ). ПУМК по электротехнике. – М.: Дискарт, 2006. (Получите CD в библиотеке по студенческому билету).