3.3. Описание пп. Начальные условия
Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами описываются линейными дифференциальными уравнениями по времени с постоянными коэффициентами. Эти уравнения составляют на основании законов Кирхгофа.
Если нужно найти, например, ток в k-ой ветви, то исключая последовательно остальные неизвестные токи (напряжения), получают одно дифференциальное уравнение, содержащее только ток ik и его производные до порядка n. Порядок дифференциального уравнения определяется конфигурацией цепи и характером её элементов, в общем случае он равен сумме элементов L и C в цепи.
При решении дифференциального уравнения постоянные интегрирования Аn определяют путём подстановки начальных значений тока и его производных при t = 0+, т.е. исходя из начальных послекоммутационных условий, которые подразделяют на независимые и зависимые.
Независимые начальные условия равны значениям токов в индуктивных элементах и напряжениям на ёмкостных элементах при времени t = 0+, записанные по правилам коммутации для каждого элемента L и C, т.е.
,
.
Они могут быть нулевыми (ННУ), когда iLk(0−) = 0 и uСk(0−) = 0, и ненулевыми. При ННУ ветви с индуктивными элементами при t = 0+ (в начальный момент после коммутации) как бы разомкнуты, а конденсаторы как бы замкнуты накоротко. В случае ненулевых начальных условий, т.е. когда iLk(0−) ≠ 0 и uСk(0−) ≠ 0, индуктивные катушки при t = 0+ эквивалентны источникам токов с токами Jk = iLk(0−), а конденсаторы эквивалентны источникам напряжения с ЭДС Ek = uСk(0−).
При расчёте сложных цепей число уравнений, полученных согласно 1ПК и 2ПК, недостаточно для определения всех постоянных интегрирования Аn. В этом случае записывают уравнения Кирхгофа и, учитывая независимые начальные условия, находят токи ik(0+) ветвей (кроме токов iLk(0−)), напряжения uk(0+) на элементах (кроме напряжений uСk(0−)) и производные
d[iL(0+)]/dt, d[uC(0+)]/dt, d2[iL(0+)]/dt2, d2[uC(0+)]/dt2 и т.д.
Начальные
(послекоммутационные) условия, найденные
по уравнениям Кирхгофа при t
= 0+
с
учетом независимых
начальных условий,
называют зависимыми.
3.4. Классический метод анализа пп в цепях первого порядка
Решение неоднородных дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в электрических цепях, проводят следующими методами: классическим и его разновидностью – методом переменных состояния, операторным, методом интеграла Дюамеля, спектральным и методом синтетических схем.
Чаще используют классический и операторный методы, реже метод расчёта с применением интеграла Дюамеля. В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, электронике, автоматике и в технике связи применяют спектральный (частотный) метод анализа, основывающийся на интеграле Фурье
Расчет ПП с использованием мгновенных значений напряжений и токов в ветвях цепи принято называть классическим методом.
Исследуем классическим методом переходные процессы в цепи (рис. 3.6а) при заданном постоянном напряжении U, ННУ и параметрах R и L, в частности, определим ток iL(t) и напряжение uL(t) на элементе L в переходном процессе.
Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи, полученное из составленного по второму закону Кирхгофа выражения RiL + LdiL/dt = U, имеет вид:
или
е
где
I0
= U/R;
t
=
L/R
-
постоянная
времени последовательной RL-цепи.
Как известно, полный интеграл полученного неоднородного уравнения первого порядка равен сумме частного решения iLу = I0 = U/R уравнения при t = ꝏ (для установившегося режима), определяемого видом заданного напряжения U на входе цепи, и общего решения iLсв однородного уравнения τ(diLсв/dt) + iLсв = 0, которое получается из неоднородного уравнения цепи, если принять в нём входное напряжение U равным нулю, т.е. искомый ток
iL = iLу + iLсв,
где iLу = I0 = U/R – установившийся ток при t = ꝏ ; iLсв – свободный ток, определяемый накопленной энергией в магнитном поле индуктивного элемента. При t = ꝏ ток iLсв стремится к нулю, так как процесс в цепи, обладающей конечным сопротивлением R, должен затухать при отсутствии в цепи источника напряжения или источника тока.
Решение однородного уравнения τ(diLсв/dt) + iLсв = 0 имеет вид
iLсв = Aept,
где A – постоянная интегрирования; p – корень характеристического уравнения τp + 1 = = 0, равный p = -1/τ = -a, где a = 1/τ = R/L [1/с] – коэффициент затухания переходного процесса.
Полное решение неоднородного уравнения первого порядка
iL = I0 + Aept = I0 + Ae-at = I0 + Ae-t/τ.
Постоянную интегрирования A определяют по начальным условиям. Положим, что при t = 0− ток iL(0−) = 0. Учитывая, что iL(0+) = iL(0−) = 0, из последнего уравнения (при t = 0+) следует, что iL(0+) = I0 + Ae−a· 0 = I0 + A = 0 находим: A = - I0.
Следовательно, переходный ток в индуктивном элементе L
iL(t) = I0 − I0e-at = I0(1 – e-at ) = I0(1 − e−t/τ).
На рис. 3.6б представлен график тока iL(t) в цепи. На графике отмечены следующие точки:
при: t = 0+, iL(0+) = 0;
t = τ, iL(τ) = I0(1 – e-1) = I0(1 – 1/e) ≈ I0(1 – 0,368) ≈ 0,632I0;
t = 2τ, iL(2τ) = I0(1 – e-2) = I0(1 – 1/e2) ≈ I0(1 – 1/7,39) ≈ 0,86I0;
t = 3τ, iL(3τ) = I0(1 – e-3) = I0(1 – 1/e3) ≈ I0(1 – 1/20,084) ≈ 0,95I0;
t = 4τ, iL(4τ) ≈ 0,97I0; t = 5τ, iL(5τ) ≈ 0,99I0; t = ꝏ, iL(ꝏ) = I0.
Анализ этих данных показывает, что ток в RL-цепи постепенно нарастает до своего установившегося значения и тем медленней, чем больше постоянная времени τ – время, в течение которого переходная величина (ток в нашем случае) изменяется на 0,632 от своего размаха I0. Если снять осциллограмму переходного тока, то значение τ можно определить по длине подкасательной, получаемой после проведения касательной из точки 0 до пересечения с горизонтальной линией (I0) и опускания перпендикуляра на ось абсцисс (или используя другие точки осциллограммы для проведения касательной, например, точку 0,632I0 или точку 0,86I0 (см. рис. 3.6б).
При инженерных расчётах время переходного процесса принимают равным tпп = 3τ, при этом переходная величина достигает порядка 0,95 своего установившегося значения. При более точных расчётах принимают tпп ≈ 5τ, при котором переходная величина, в нашем случае ток iL(5τ) ≈ 0,99I0.
Напряжение uL(t) на индуктивном элементе:
uL(t) = LdiL(t)/dt = Ld [I0(1 – e-at)]/dt = -L(-aI0e-at) = RI0e-at = Ue-at.
Переходное напряжение на элементе L в первый момент после включения цепи равно напряжению U источника, т.е. возникает скачком, затем стремится к нулю по показательному (экспоненциальному) закону.
На графике uL(t) (рис. 3.6в) длина подкасательной на оси абсцисс определяет постоянную времени τ цепи, в течение которого значение напряжения uL(0+) = U уменьшается в e ≈ 2,72 раза (приблизительно на 2/3 своего максимального значения). Чем больше τ, тем медленнее затухает напряжение.
Упражнение 3.2
Электрическая цепь при ННУ (uC(0−) = 0) с элементами R и С (рис. 3.7) подключается к источнику постоянного напряжения u(t) = U. Определить переходный ток i(t) в цепи и напряжение на конденсаторе uC(t).
Решение. 1. Согласно условию задачи uC(0+) = uC(0−) = 0.
2. Ток цепи при t ≥ 0+
i(t) = iy(tꝏ) + [i(0+)]e−t/τ,
где iy(tꝏ) = iy(0+) = 0, так как при t = ꝏ конденсатор заряжен до напряжения uC = U и ток
ICy(tꝏ) = 0.
3.
Послекоммутационный
ток
i(0+)
= U/R
= I0,
так как uC(0+)
= 0; постоянная времени цепи τ = RэC
= RC,
так как Rэ
= R.
4. Ток в переходном процессе i(t) = I0e−t/τ.
В момент коммутации ток i(0+) = iC(0+) ограничивается только величиной сопротивления R (конденсатор С как бы закорочен и его сопротивление равно нулю).
5. Напряжение uC(t) на конденсаторе
uC(t) = uСу(tꝏ) + [uC(0+) − uCу(0+)]e−t/τ,
где uCу(0+) = uCу(tꝏ) = U; uC(0+) = uC(0−) = 0.
Итак, напряжение на конденсаторе при t ≥ 0+
uC(t) = U(1 − e−t/τ),
график которого и тока i(t) (в относительных единицах) представлен на рис. 3.7б.
Примечание. Если сравнить графики переходного тока iL(t) и напряжения uL(t) в RL-цепи (рис. 3.6б и в) с графиками тока iС(t) и напряжения uС(t) в RC-цепи (рис. 3.7б), то можно заключить, что графики iL(t) и uL(t) взаимно дуальны и противоположны графикам iC(t) и uC(t), а графики iL(t) и uC(t), а также графики uL(t) и iC(t) внешне похожи, так как характер их изменения одинаковый.